聶 磊，馬萬經(jīng)

（同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804）

車道功能劃分是根據(jù)交叉口進(jìn)口車道車流模式將車道與交通流進(jìn)行匹配［1］。車道功能劃分是交通設(shè)計的重要內(nèi)容，其合理性直接關(guān)系到交叉口空間資源利用和運行效率［2-5］。

車道功能分專用車道和合用車道兩種。其中，合用車道是交叉口車道功能設(shè)置的常用形式，常規(guī)合用（共享）車道是指直行、左轉(zhuǎn)及右轉(zhuǎn)三者之間共用或合用一條車道，包括直行左轉(zhuǎn)合用車道、直行右轉(zhuǎn)合用車道、直行與左右轉(zhuǎn)合用車道及左右轉(zhuǎn)合用車道等［6］。以往許多研究更多關(guān)注獨立的左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)車道功能［7-10］，對合用車道功能布置研究較少，往往側(cè)重于研究合用車道通行能力、飽和流量等［11-12］。另外，許多研究［13-15］將合用車道構(gòu)成車道組，作為一個整體進(jìn)行研究，忽略不同合用車道功能會導(dǎo)致車道流量不均衡分布，車道飽和度無法做到均衡，影響交叉口通行效率，甚至得出錯誤結(jié)論。

傳統(tǒng)的交叉口機(jī)動車道功能劃分［7，16-17］主要考慮道路幾何條件、交通流量情況，根據(jù)經(jīng)驗提出左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)車道設(shè)置條件，或提出某一試算方案，缺乏理論和模型的指導(dǎo)。

Wong等［18-20］建立了基于車道的邏輯變量反映每個車道是否能夠允許通行到各出口方向，每個進(jìn)口車道功能變量數(shù)等于交叉口進(jìn)口數(shù)乘以進(jìn)口車道數(shù)，變量數(shù)較多，而且變量與進(jìn)口車道數(shù)量直接相關(guān)，模型通用性不夠。白玉［7］和王京元等［8］以流向的車道數(shù)建立了車道功能矩陣，更適用于獨立功能車道布置，但對合用車道的表達(dá)不很直觀。張鵬等［9］、馬萬經(jīng)等［10］提出基于 Ring-Barrier［15］相位的車道功能向量模型，但車道功能模型做了簡化，沒有考慮直右、直左右、左右等合用車道，應(yīng)用受限。趙靖等［2-4，21］提出了動態(tài)車道及出口道左轉(zhuǎn)的車道功能優(yōu)化模型，但沒有考慮出口道的優(yōu)化。

基于以上分析，本文建立基于車道等飽和度的交叉口車道功能優(yōu)化模型，模型以交叉口流量、各進(jìn)出口和路段車道數(shù)為輸入，以進(jìn)口流量比最小和進(jìn)口流量比方差最小為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建約束條件保證各車道功能齊備、流量與車道功能匹配、合用車道均衡飽和度、進(jìn)出口道車道數(shù)平衡。然后，通過LU分解和枚舉算法，能夠一次生成所有可行的車道功能劃分方案并進(jìn)行優(yōu)化。最后，實例驗證表明，交叉口車道功能優(yōu)化模型有效。

1 車道功能優(yōu)化模型

1.1 模型輸入

（1）交叉口流量：Qi，j，i，j∈ {1，2，3，…，N}，i，j代表方向或進(jìn)口序號，南進(jìn)口為1，序號順時針增加，N為交叉口進(jìn)口數(shù)。

（2）交叉口第i個進(jìn)出口總車道數(shù)：Li。

（3）交叉口第i個進(jìn)口路段車道數(shù)：Bi。

1.2 模型變量

δi，k為第i個進(jìn)口第k種車道功能的車道數(shù)，k={0，1，2，…，7}，共計N×8個變量，若N=4，則有32個整數(shù)變量。8種車道功能中k=0代表出口道，k=1～7分別代表左轉(zhuǎn)（掉頭或左轉(zhuǎn)掉頭）、直左車道、直行車道、直左右車道、左右車道、直右車道、右轉(zhuǎn)車道，如圖1所示。

1.3 模型約束

1.3.1 進(jìn)出口道數(shù)量約束

第i個進(jìn)口的進(jìn)口道車道數(shù)和出口車道數(shù)之和等于總車道數(shù)，第i個進(jìn)口第k種車道功能的車道數(shù)大于等于0，出口道數(shù)不小于路段基本車道數(shù)，不大于出口車道數(shù)+1。

1.3.2 合用車道約束

合用車道的數(shù)量至多一條，否則進(jìn)口內(nèi)部車道就將產(chǎn)生沖突。若有直左右車道，則直行、直左、左右、直右車道數(shù)量均為0，否則將產(chǎn)生沖突。

若δi，4=1，則δi，2= δi，3= δi，5= δi，6=0，即

若δi，5=1，則δi，2= δi，3= δi，4= δi，6=0，即

1.3.3 車道功能模式

進(jìn)口車道數(shù)：Mi=Li-δi，0，根據(jù)車道功能不同，進(jìn)口車道功能一般可以分為4種模式，模式I為獨立的左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)車道，進(jìn)口道為3組獨立的車流（車道組）；模式II為具有直左合用車道，沒有直右合用車道；模式III為有直右合用車道，沒有直左合用車道；模式IV為有直左右合用車道或同時具有直右和直左車道，整個進(jìn)口道為一個車道。

模式I的方案組合數(shù)可以表達(dá)為左轉(zhuǎn)車道數(shù)分別為1，2，3，…，Mi條情況下的直行和右轉(zhuǎn)專用車道功能方案組合數(shù)之和。同理，模式II的組合數(shù)可以表達(dá)為直左合用車道在左側(cè)開始第1車道、第2車道、…、第Mi車道情況下同時有直行和右轉(zhuǎn)專用車道方案和全部為右轉(zhuǎn)專用車道方案組合數(shù)之和。模式III和模式II類似，組合數(shù)相同。模式IV-1的組合數(shù)為Mi。模式IV-2的組合數(shù)可以表達(dá)為直行車道數(shù)為0、1、2、…、Mi－2條情況下同時有左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)專用車道方案、只有左轉(zhuǎn)和只有右轉(zhuǎn)的方案組合數(shù)之和。4種模式的組合數(shù)和模型表達(dá)如表1所示。

進(jìn)口車道功能組合數(shù)量隨著進(jìn)口車道數(shù)呈現(xiàn)拋物線增長。若出口道數(shù)也是可變的，則進(jìn)口道車道功能組合將成倍增加。如圖2所示。

1.3.4 流量與車道功能匹配

若某個流向流量大于0，則必須有該流向的車道功能。同理，若某個流向流量等于0，則禁止該流向的車道功能。

表1 進(jìn)口道車道模式Tab.1 Approach lane function pattern

圖2 進(jìn)口車道數(shù)與車道功能組合關(guān)系Fig.2 Approach lane count and lane function count

式（7）、（8）中：Qi，(i+1)modN為左轉(zhuǎn)流量；Qi，(i+2)modN為直行流量；Qi，(i+3)modN為右轉(zhuǎn)流量。mod運算為除法運算后的余數(shù)。

1.3.5 車道組流量等飽和度

對于模式Ⅰ，左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)都是獨立車道，各流向的車道流量都是平均分配，每種車道功能的每個車道的流量比和飽和度都是相同的。而對于模式Ⅱ～Ⅳ，合用車道與多個車道共同構(gòu)成車道組，如果按照車道組整體進(jìn)行優(yōu)化，默認(rèn)車道組內(nèi)所有車道流量均衡分配，完全共享，按等飽和度原則分配車道流量是偏樂觀和理想的。有些車道功能方案設(shè)置了合用車道，但實際車道流量無法完全共享做到等飽和度，所以采用將車道作為優(yōu)化對象更符合實際。對于存在直行左轉(zhuǎn)合用車道的模式Ⅱ和直行右轉(zhuǎn)合用車道的模式Ⅲ，同樣存在上述問題。如果這些方案合用車道流量不均衡，無法做到等飽和度或等流量比，從本質(zhì)上來講應(yīng)轉(zhuǎn)化為模式Ⅰ，所以，這些不合理的車道功能方案應(yīng)予以舍棄。

（1）模式Ⅱ

直行和左轉(zhuǎn)合用車道構(gòu)成一個車道組，根據(jù)排隊理論，車道組內(nèi)部車道的飽和度相同，由于車道組在信號控制中是共用一個信號燈組，綠燈時間也相同，所以車道組內(nèi)部車道的流量比也應(yīng)相同。即

式中：qxi，2和qxi，3為i進(jìn)口直左合用車道中的左轉(zhuǎn)和直行流量；Si，1=1 650 pcu.h-1、Si，2=1 800 pcu.h－1和Si，3=1 550 pcu.h－1分別為左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)飽和流量［13］；θ為左轉(zhuǎn)流量對直行流量折算系數(shù)θi=Si，2/Si，1，有

若滿足約束（10），則左轉(zhuǎn)和直行合用車道流量為 (Qi，(i+1)modN+Qi，(i+2)modN)/(δi，1+δi，3)，右轉(zhuǎn)單車道流量為Qi，(i+3)modN/δi，7，否則無法做到車道組內(nèi)車道等飽和度，在這種條件下采用合用車道模式不合理，車道功能應(yīng)該調(diào)整為模式Ⅰ。

（2）模式Ⅲ

等飽和約束條件為

式 中 ：φ=Si，2/Si，3為 右 轉(zhuǎn) 流 量 對 直 行 流 量 折 算系數(shù)。

若滿足約束（11），則左轉(zhuǎn)流量為Qi，(i+1)mod4/δi，1，直行和右轉(zhuǎn)合用車道流量為 (Qi，(i+2)mod4+Qi，(i+3)mod4)/，否則車道布置不合理。

（3）模式Ⅳ-1

等飽和約束條件為

Si，0=min(Si，SL，Si，SR)，Si，SL為直行左轉(zhuǎn)合用車道飽和流量，Si，SR為直行右轉(zhuǎn)合用車道飽和流量。

（4）模式IV-2

等飽和約束條件，分為8種情況。

情況1，δi，1＞ 0且δi，3＞ 0且δi，7＞ 0為保證進(jìn)口各車道的流量守恒和車道等飽和度，可表達(dá)為如下方程組：

化簡后可表達(dá)為矩陣形式為

即

同理可以得到情況2～8的約束，如下。

情況2，δi,1=0且δi,3＞ 0且δi,7＞ 0 。

即

即

即

即

即

即

即

上述方程為線性方程組，可以采用LU分解法求解。如果矩陣A的秩和增廣矩陣［A B］的秩相同，且都是7，則線性方程組有唯一解；若其秩相等但小于7，則線性方程組有無窮解；如果矩陣A的秩與增廣矩陣［A B］的秩不相同，則無解。只有當(dāng)解X的所有元素都不小于0，才是可行解。

因上述模型是線性方程組，若交叉口流量同比例增長，則各車道的流量也同比例增加，流量比也是同比例增加。

1.3.6 交叉口進(jìn)出口道車道平衡

一般情況下，出口道車道數(shù)要大于等于左側(cè)右轉(zhuǎn)車道、對向直行車道和右側(cè)左轉(zhuǎn)車道的車道數(shù)。

左側(cè)右轉(zhuǎn)車道，滿足

對向直行車道，滿足

右側(cè)左轉(zhuǎn)車道，滿足

1.3.7 左轉(zhuǎn)專用車道約束

根據(jù)HCM2000手冊，有

該約束選擇性使用，若車道數(shù)較多，則開啟，可大幅度減少計算量；若車道數(shù)不多，建議可不采用該約束，盡量得到全局最優(yōu)解。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

流量比是可以充分反映交叉口時空資源的重要參數(shù)，對于模式Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2，相位方案一般選擇單口放行，可選擇進(jìn)口流量比最小為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化進(jìn)口車道功能方案。

式中：l為進(jìn)口車道序號

對于模式Ⅱ，直左車道和直行車道流量比相同，對于Ⅳ-1和Ⅳ-2整個進(jìn)口各車道流量比相同。

對于模式Ⅰ和Ⅲ，可采用的相位方案較多，嚴(yán)格意義上需要結(jié)合相位和信號配時進(jìn)行交叉口整體優(yōu)化，本文予以簡化，以進(jìn)口車道的流量比方差最小為優(yōu)化目標(biāo)。

1.5 模型算法

由于單個進(jìn)口車道數(shù)一般不超過10條，其所有車道功能方案有限，所以可以采用枚舉法進(jìn)行求解。

1.5.1 生成進(jìn)口所有可能車道功能方案

根據(jù)輸入和約束（1）～（6），生成各進(jìn)口道的可能車道功能。

1.5.2 篩選滿足流量匹配、出口車道約束方案

根據(jù)約束（7）～（8）、（21）～（23），篩選滿足流量匹配和出口車道約束的所有方案。

1.5.3 篩選滿足車道等飽和約束的方案

（1）選擇某一個車道功能方案。

（2）根據(jù)車道方案的模式，采用車道等飽和度約束，判斷是否選入備選方案。

①若為模式Ⅰ，選為備選方案，返回（1）。

②若為模式Ⅱ，滿足約束（9）～（10），選為備選方案，否則返回（1）。

③若為模式Ⅲ，滿足約束（11），選為備選方案，否則返回（1）。

④若模式為Ⅳ-1，滿足約束（12），選為備選方案，否則，返回（1）。

⑤若模式為Ⅳ-2，根據(jù)8種情況和約束（13）～（20），采用LU分解法求解各車道分配流量，若流量均為為非負(fù)，則選為備選方案，否則返回（1）。

（3）所有車道功能方案枚舉結(jié)束，生成所有等飽和的車道功能可行方案。

1.5.4 針對不同車道功能模式，選擇不同目標(biāo)函數(shù)

（1）將模式為Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2的方案歸并為集合F24，模式Ⅰ和Ⅲ為一個集合F13。

（2）計算方案集合F24進(jìn)口各車道流量比，各車道流量比的最大值作為進(jìn)口流量比。

（3）集合F24流量比最小值對應(yīng)的方案為模式Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2對應(yīng)的最優(yōu)方案。

（4）計算方案集合F13進(jìn)口車道流量比方差，并選出最小值對應(yīng)的方案為模式Ⅰ和Ⅲ對應(yīng)過的最優(yōu)方案。

2 模型驗證與分析

2.1 交叉口基本參數(shù)

本文以張家港的人民路－長安路四叉十字路口為案例，如圖3所示。各路口均是進(jìn)口4條車道，出口3條車道。信號相位為對稱放行4相位。

交叉口高峰小時流量見表2。

圖3 交叉口交通設(shè)計圖Fig.3 Layout of intersection and signal groups

2.2 車道功能方案優(yōu)化

2.2.1 車道功能生成

以南進(jìn)口為例，4條車道，根據(jù)公式計算，總共25種可能的車道功能布置方案，具體如表3所示。

表2 交叉口流量表Tab.2 Traffic demand

經(jīng)出口道和合用車道等飽和約束驗算，3個方案不滿足出口車道約束，13個方案不滿足等飽和約束，9個方案是可行方案，其中模式Ⅰ有3個，模式Ⅱ有3個，模式Ⅲ有3個，流量比（按照左轉(zhuǎn)、直行、右轉(zhuǎn)的順序）和目標(biāo)函數(shù)值如表4所示。

表3 南進(jìn)口所有車道功能方案表Tab.3 All lane function of southern arm

由表4可知，方案1～3屬于模式Ⅱ，根據(jù)式（25）可得方案3為最優(yōu)；方案4～9屬于模式Ⅰ和Ⅲ，根據(jù)式（26）可得方案7為最優(yōu)。同理，分別計算另外三個進(jìn)口最優(yōu)車道布置方案，綜合得到交叉口推薦方案如表5所示。

2.2.2 交叉口車道功能優(yōu)化

每個進(jìn)口有2個方案，4個進(jìn)口組合有16個方案，但考慮到進(jìn)口選擇模式Ⅳ和Ⅴ，則對向進(jìn)口選擇模式Ⅳ和Ⅴ更優(yōu)，東西進(jìn)口只能采用E1-W1和E2-W2，方案減少為8組，按照單口放行及Dural-Ring相位方案，以交叉口關(guān)鍵流量比最小為目標(biāo)，計算結(jié)果如圖5。

2.2.3 結(jié)果分析

8組方案，交叉口最小流量比之和為0.888～1.051，模式Ⅳ整體合用車道的E2-W2方案普遍優(yōu)于專用左轉(zhuǎn)的E1-W1方案。因S2方案為模式Ⅱ而不是模式Ⅳ，其結(jié)果均劣于S1。

根據(jù)圖4的原車道功能方案，其關(guān)鍵流量比之和為1.062，最優(yōu)方案的關(guān)鍵流量比之和為0.888，減少了16.4%，效益提升明顯。

表4 南進(jìn)口車道功能可行方案Tab.4 Feasible lane function of southern arm

表5 交叉口各進(jìn)口最優(yōu)車道功能方案表Tab.5 Optimal Lane function of all arms

圖5 交叉口關(guān)鍵流量比Fig.5 Critical flow factor of intersection

經(jīng)優(yōu)化，交叉口最優(yōu)車道功能方案為S1-N2-E2-W2，車道功能布置如圖6所示。

經(jīng)計算驗證，交叉口流量按等比例增加或減小，其最優(yōu)車道功能方案保持不變，流量比呈現(xiàn)等比例線形調(diào)整。如圖7所示。

圖6 交叉口最優(yōu)車道功能布置Fig.6 Optimal lane allocation plan of intersection

圖7 交叉口流量與關(guān)鍵流量比的變化Fig.7 Flow and versus critical flow factor at intersection

3 結(jié)論

（1）本文建立了交叉口車道功能優(yōu)化模型，模型考慮進(jìn)出口道車道平衡、車道功能不沖突、車道等飽和度等約束，目標(biāo)函數(shù)根據(jù)不同車道模式采用進(jìn)口流量比最小和進(jìn)口流量比方差最小。

（2）經(jīng)實例驗證，交叉口車道功能優(yōu)化模型簡單有效，能夠給出每個進(jìn)口推薦備選車道功能方案。模型可以較大程度降低交叉口關(guān)鍵流量比之和，提高交叉口交通設(shè)計的效率和精度。

（3）以整個交叉口關(guān)鍵流量比最小為目標(biāo)，模式4因車道整體合用其流量比最小，效率更高更具優(yōu)勢，但其相位方案只能單口放行，對行人和非機(jī)動車通行不利。因此，下階段還需將行人、非機(jī)動車通行因素納入模型一并考慮。