王春生，徐有良，趙會東，張培杰

(1.長安大學公路學院，陜西，西安 710064；2.中國鐵路總公司工程設計鑒定中心，北京 100844)

隨著中國經濟的穩(wěn)步發(fā)展、城市化進程的不斷加深，大型城市、超大城市數(shù)量日益增多[1]。城市軌道交通作為解決城市公共交通困境的重要途徑，得到了廣泛的應用。城市軌道交通鋼橋作為軌道交通基礎設施的重要組成部分，其抗疲勞設計是保證橋梁結構安全使用、軌道交通體系順暢運營的關鍵技術問題。

中國鐵路鋼橋疲勞驗算經歷了單一安全系數(shù)下容許應力設計、分細節(jié)容許應力設計和考慮累積損傷的分細節(jié)應力幅容許應力設計3個階段[2]，容許應力法以線性彈性理論為基礎，設計方法簡單，但驗算結果與實際情況吻合性不高。中國規(guī)范[3―5]中關于城市軌道交通鋼橋的疲勞驗算尚沒有詳細規(guī)定。Eurocode[6―8]給出適用于鐵路和地鐵等軌道交通鋼橋疲勞驗算的損傷等效系數(shù)法，并制定了詳細的疲勞荷載譜，在滿足疲勞安全性的同時結構設計更為經濟合理。損傷等效系數(shù)法依據(jù)S-N曲線和Miner理論[9―11]，對構件在靜力荷載模型作用下的應力通過損傷等效系數(shù)進行轉換，使之與疲勞抗力相比較并判斷其疲勞安全性，該方法省去了通過荷載譜計算疲勞損傷的繁瑣運算。

但由于歐洲規(guī)范中采用的 8種標準列車、2種多箱快速列車/地鐵及4種軸重25 t列車與中國軌道交通體系所使用的車型存在差異，且歐洲規(guī)范[12]每種列車編組均規(guī)定唯一對應的列車最大容許速度，也導致歐洲規(guī)范中的內容無法直接應用于中國。此外，已有研究中對損傷等效系數(shù)法研究一般采用的是單一斜率的S-N曲線[13]，但采用雙斜率S-N曲線計算構件或細節(jié)損傷等效系數(shù)的研究較少，已有的多斜率的S-N曲線疲勞評估相關研究多針對公路鋼橋的典型疲勞細節(jié)[14]。因此，中國軌道交通鋼橋的疲勞設計及驗算內容仍需完善及深入研究。

本文基于Eurocode雙斜率S-N曲線和損傷等效系數(shù)原理，結合中國城市軌道交通列車編組情況及中國軌道交通鋼橋設計體系，以ZC、ZK和LM71圖式作為疲勞驗算的荷載模型，求解分析了城市軌道交通鋼橋的各項疲勞損傷等效系數(shù)，提出考慮列車最大容許速度影響的損傷等效系數(shù)，對修正后的損傷等效系數(shù)進行計算。計算分析結果表明所求損傷等效系數(shù)可較好地應用于中國城市軌道交通鋼橋疲勞驗算，并可為相關規(guī)范編制提供參考。

1 損傷等效系數(shù)法基本原理

1.1 基于損傷等效法的疲勞驗算

損傷等效系數(shù)法要求結構或構件在其設計使用年限內不發(fā)生疲勞破壞，設計使用年限內疲勞性能應當滿足如下條件[8]：

在疲勞驗算中，等效應力幅與參考應力幅和損傷等效系數(shù)有如下關系[8]：

式中：λ為損傷等效系數(shù)；為損傷等效沖擊系數(shù)；為參考應力幅，為疲勞驗算荷載作用在橋梁上時疲勞細節(jié)的最大應力與最小應力的差值。σPmax為疲勞驗算荷載作用在橋梁上時疲勞細節(jié)的最大應力值；σPmin為疲勞驗算荷載作用在橋梁上時疲勞細節(jié)的最小應力值。

損傷等效系數(shù)與多種因素有關，分別用λ1、λ2、λ3和λ4表示。則損傷等效系數(shù)λ可由式(3)表示[8]：

式中：Eurocode中λ1、λ2、λ3和λ4代表的影響因素相互獨立，其中λ1為考慮各種類型梁行車損傷效應的系數(shù)，與危險影響區(qū)域或影響線臨界長度有關；λ2為考慮年交通量的系數(shù)；λ3為考慮橋梁設計使用年限的系數(shù)；λ4為當結構構件受多于一個軌道作用時采用的系數(shù)；λmax為根據(jù)疲勞極限得出的最大λ值。

1.2 疲勞細節(jié)及對應細節(jié)等級的選取

1)S-N曲線

中國城市軌道交通鋼橋構件及其疲勞細節(jié)采用EN 1993―1―9[7]中S-N曲線，如圖1所示。

圖1 EN 1993―1―9中S-N曲線Fig.1 S-N curves in EN 1993―1―9

EN 1993―1―9規(guī)定，對于名義應力譜，其對應的疲勞強度曲線為：

式中：Δσi為應力幅水平；m為S-N曲線的斜率絕對值；Ni為與Δσi對應的疲勞壽命(循環(huán)次數(shù))；ΔσD為常幅疲勞極限。若應力幅水平Δσi高于ΔσD，則m=3；若應力幅水平Δσi低于ΔσD，則m=5。ΔσL為疲勞截止限，若應力幅Δσi低于ΔσL，則結構不會產生疲勞損傷?？紤]疲勞荷載分項系數(shù)和疲勞強度分項系數(shù)，可以導出不同應力循環(huán)下構件的疲勞壽命與應力大小關系。

式中，NRi為構件在應力幅Δσi作用下循環(huán)至疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)。

2)Miner線性累積損傷理論

根根 Miner理論，在ni個循環(huán)的變幅應力幅Δσi作用下造成的疲勞損傷為：

2 列車類型及動力系數(shù)

2.1 列車編組

城市軌道交通系統(tǒng)涵蓋地鐵系統(tǒng)、輕軌系統(tǒng)、單軌系統(tǒng)、有軌電車、磁浮系統(tǒng)等多種軌道運輸系統(tǒng)，同鐵路列車編組相比，城市軌道交通列車編組載重較輕，長度較短。考察實際運營列車，提出 6種列車編組代表部分城市軌道交通列車，進行損傷等效系數(shù)計算。將6種列車編組記為A6、A8、B6、B8、C4和C6，編號中英文字母代表單節(jié)列車類別，阿拉伯數(shù)字代表列車節(jié)數(shù)。6種列車編組中，A6和A8、B6和B8、C4和C6列車編組對應的單節(jié)列車類型相同，而列車的節(jié)數(shù)不同。6種列車編組詳細的圖式如圖2所示。

圖2 列車編組Fig.2 Traffic types

2.2 疲勞荷載模型

Eurocode以LM71圖式作為一般軌道交通鋼橋的疲勞荷載模型，如圖3(c)所示[6,8]。鐵路列車荷載圖式(TB/T 3466―2016)給出了高速鐵路 ZK 圖式、城際軌道ZC圖式、客貨共線ZKH圖式和重載鐵路ZH圖式4種普通荷載圖式[15]。部分學者根據(jù)實測數(shù)據(jù)及統(tǒng)計學方法給出了對應地區(qū)的軌道交通普通荷載圖式[16―17]。

由于中國城市軌道交通相關規(guī)范并未給出疲勞荷載模型，在選取疲勞荷載模型時應盡可能選取符合城市軌道交通列車實際情況的荷載圖式。鐵路列車荷載圖式[15]中客貨共線、重載鐵路的荷載模型與城市軌道交通實際荷載存在較明顯差異，因此選用歐洲規(guī)范荷載圖式、中國高速鐵路荷載圖式及城際軌道荷載圖示共3種客運列車荷載圖式作為疲勞荷載模型，如圖3所示。采用這3種荷載圖式進行后續(xù)分析計算并對比，進而確定較為合理的城市軌道交通疲勞荷載模型。

2.3 動力系數(shù)

列車作用通過荷載圖式的靜力作用乘以動力系數(shù)來表示。鐵路橋涵設計規(guī)范(TB 10002―2017)規(guī)定高速鐵路和城際鐵路橋梁結構動力系數(shù)應按照式(9)計算[18]：

圖3 疲勞荷載模型Fig.3 Fatigue load models

式中，L為影響線臨界長度。影響線臨界長度小于3.61 m時，應取3.61 m，此時動力系數(shù)為1.67。采用式(9)計算城市軌道交通鋼橋的損傷等效沖擊系數(shù)，與EN 1991―2中基于疲勞荷載模型LM71的損傷等效沖擊系數(shù)φ2取值一致。

考慮設計使用年限內橋梁結構的平均效應，單列列車通過城市軌道交通鋼橋的動力系數(shù)應進行折減。根據(jù) BS EN1991―2，實際運營列車的動力系數(shù)fat應按式(10)計算[6]：

式中：

當L≤20m時，

當L≥20m時，

式中，v為列車最大容許速度。

3 損傷等效系數(shù)求解分析及計算

3.1 損傷等效系數(shù)求解分析

Eurocode中每種列車編組均規(guī)定唯一對應的列車最大容許速度。城市軌道交通中不同運營要求下的列車最大容許速度差異顯著，直接應用Eurocode中的損傷等效系數(shù)法與實際狀況存在出入。且在實際運營中，同一類型的列車編組在不同的線路中也存在不同的最大容許速度。因此，應當考慮動力系數(shù)fat的影響，單獨地引入損傷等效系數(shù)λv表征列車最大容許速度v對疲勞損傷的影響。

考慮損傷等效系數(shù)λv，式(3)修正為：

同式(3)相比，式(15)能滿足城市軌道交通不同運營條件下所要求的列車最大容許速度，適應于不同限速要求的城市軌道交通系統(tǒng)。

為求損傷等效系數(shù)，式(2)變換得到式(16)：

根據(jù)不同應力循環(huán)應力幅的大小，選取對應的m進行計算，理論上損傷等效系數(shù)可以通過雙斜率S-N曲線合理求得。實際上，在采用式(16)計算損傷等效系數(shù)時，由于橋梁截面特性無法確定，而采用彎矩和剪力等內力進行代替[9]。這使得m取值無法合理確定，常用的做法是采用單斜率的S-N曲線求解[10,13]。

根據(jù)S-N曲線和Miner線性累積損傷理論，軌道交通鋼橋的總疲勞損傷可由各級應力幅及對應循環(huán)次數(shù)計算得到，為方便驗證，將總疲勞損傷用各級應力幅中的最大值 Δσmax和對應總損傷換算得到的循環(huán)次數(shù)nmax表示。此時，采用單斜率的S-N曲線時，等效應力幅可由式(17)求得：

式中：Δσmax為設計使用年限內一列車通過城市軌道交通鋼橋時疲勞細節(jié)的最大應力幅值；nmax為設計使用年限內造成的總損傷按最大應力幅換算得到的循環(huán)次數(shù)。

以疲勞細節(jié)等級為100 MPaS-N曲線為例，對于的區(qū)域(疲勞截止限以上區(qū)域)，分析m取值對損傷等效系數(shù)求解的影響，如圖4所示。

圖4 不同求解方法下疲勞驗算結果分析Fig.4 Fatigue verification analysis using different solving methods

當應力循環(huán)(nmax，Δσmax)位于區(qū)域I時，實際疲勞情況為不發(fā)生疲勞破壞。按照m=3計算，等效應力幅為可計算得到等效后的損傷等效后疲勞驗算結果為疲勞破壞，等效后疲勞驗算結果與實際疲勞情況不一致。同理，除區(qū)域I以外，其余區(qū)域按照m=3計算疲勞驗算結果一致。按照m=5分析，可以得到：當應力循環(huán)(nmax，Δσmax)位于區(qū)域II或區(qū)域III時，疲勞驗算結果與實際疲勞情況不一致；區(qū)域II、區(qū)域 III以外的區(qū)域內，等效后疲勞驗算結果與實際疲勞情況一致。即，nmax＞5×106時，無論按照m=3或者m=5計算，實際疲勞情況與等效后疲勞驗算結果均可能存在不一致的情況。因此有必要提出一種在交通量大于5×106次也能合理進行驗算的求解方法。

根據(jù) 2016年度城市軌道交通統(tǒng)計數(shù)據(jù)[19]，按照100年設計年限進行考慮，已統(tǒng)計的26個城市中，有 25個城市的平均單條運營線路的總交通量(運營線路在設計使用年限內的平均總交通量)大于500萬次。為合理地進行疲勞驗算評估，提出一種采用雙斜率S-N曲線的簡化算法：將設計使用年限內造成的總損傷先按m=5段S-N曲線換算為500萬次作用下的應力幅值，再按m=3段S-N曲線求得200萬次對應的等效應力幅。采用雙斜率的S-N曲線時，等效應力幅可由式(18)求得：

根據(jù)式(18)對等效后疲勞損傷和實際疲勞損傷進行對比分析。記實際疲勞損傷值為DR，等效后疲勞損傷值為DE2。計算可知：當應力循環(huán)(nmax，Δσmax)位 于 虛 線 ΔσD＝7 3.3MPa 以 下 時 ，等效后疲勞驗算結果與實際疲勞情況結果一致。當應力循環(huán)(nmax， Δσmax)位于虛線ΔσD＝7 3.3MPa 以上時，僅當位于區(qū)域III和IV時，DR＜1，而DE2＞1，出現(xiàn)等效后計算結果與實際疲勞情況不一致的情況，等效后疲勞驗算結果偏于保守；位于虛線ΔσD＝7 3.3MPa 以上并在III和IV以外區(qū)域時，計算結果與實際疲勞情況結果一致。

采用雙斜率S-N的簡化算法，對于設計使用年限內平均每條運營線路的總交通量大于500萬次的25個城市，nmax＞5×106，能合理進行驗算；剩余一個總交通量為414萬次城市，不會出現(xiàn)評估結果偏不安全的情況。

考慮到城市軌道交通將日益發(fā)展，采用雙斜率S-N曲線簡化算法求得的損傷等效系數(shù)，能相對客觀、合理地對中國軌道交通鋼橋進行疲勞驗算。

3.2 損傷等效系數(shù)計算

1)損傷等效系數(shù)λ1

λ1是考慮影響線臨界長度的損傷效應系數(shù)，與影響線臨界長度的取值有關。根據(jù)式(16)：當設計使用年限內總交通量取合理值時，λ2值為1；當以100年為設計年限作為疲勞壽命設計基準時，λ3值為1；當目標橋梁為單線軌道作用時，λ4值為1；當列車最大容許速度取合理值時，λv值為1；滿足以上條件時，λ＝λ1，可由式(16)求得的λ值即為損傷等效系數(shù)λ1。以λ2、λ3、λ4和λv同時取1的條件為基準條件，在此條件下分別計算基于ZC、ZK和LM71這3種疲勞荷載模型作用下的損傷等效系數(shù)λ1取值?；?種疲勞荷載模型，不同影響線臨界長度對損傷等效系數(shù)λ1的影響如圖5所示。

由圖5可知：損傷等效系數(shù)λ1隨著影響線臨界長度的增加呈現(xiàn)先快速下降后小幅度上升而后逐漸穩(wěn)定并緩慢下降的趨勢；損傷等效系數(shù)λ1在30 m內快速降低，30 m~50 m之間λ1小幅度上升，50 m~150 m之間λ1保持平穩(wěn)，150 m~200 m之間λ1緩慢下降；不同列車編組由于軸重、軸距和列車節(jié)數(shù)不同而導致變化區(qū)間有所差異。

圖5 基于3種疲勞荷載模型的λ1值Fig.5 λ1based on three fatigue load models

如圖6，對比A類列車編組按3種荷載模型計算得到的λ1值可知：同一列車編組采用不同疲勞荷載模型計算得到的損傷等效系數(shù)λ1基本趨勢不變，但由于ZC、ZK和LM71 3種荷載圖式對應的荷載差異較大，導致3種圖式對應的λ1曲線區(qū)分明顯；相同影響線臨界長度下，基于ZC、ZK和LM71這3種疲勞荷載模型的損傷等效系數(shù)λ1值大小依次遞減；影響線臨界長度小于單節(jié)列車長度時，因為構成A6和A8列車編組的單節(jié)列車相同，A6和A8列車編組損傷等效系數(shù)λ1相等，B類和C類列車編組可以得到相同結論。

圖6 A類列車編組基于3種疲勞荷載模型的λ1值Fig.6 λ1of traffic Type A based on three fatigue load models

由圖6可知，3種疲勞荷載模型均能體現(xiàn)損傷等效系數(shù)λ1隨影響線臨界長度的變化規(guī)律。3組曲線在鋼橋常用跨徑范圍內，基于ZC疲勞荷載模型對應損傷等效系數(shù)λ1在相對較長的影響線臨界長度范圍內取值更接近 1，且 A6、A8、B6、B8、C4和 C6這 6種列車編組換算為均布荷載最大值為28.1 kN/m，表明采用 ZC疲勞荷載模型進行加載得到的等效應力幅和參考應力幅取值接近，即ZC圖式最接近6種列車編組。因此ZC圖式在3種荷載圖式中能夠較好地作為 6種列車編組的疲勞荷載模型。表1給出了ZC圖式作為疲勞荷載模型時λ1取值。

2)損傷等效系數(shù)λ2和λ3

λ2為考慮年交通量的系數(shù)。由式(15)和式(16)可知采用雙斜率S-N曲線計算等效應力幅時，可推得而年交通量所以因此可推得λ2計算式：

式中：vol為實際年交通量；vold為基準年交通量。

表1 基于ZC疲勞荷載模型的損傷等效系數(shù)λ1Table 1 Damage equivalent factorλ1based on ZC load model

λ3為考慮橋梁設計使用年限的系數(shù)。由式(15)和式(16)可知由于而設計使用年限所以以100年的設計使用年限作為基準，λ3計算式為：

式中，voltol為設計使用年限內總的交通量。

3)損傷等效系數(shù)λ4

λ4為當結構構件受多于1個軌道作用時采用的系數(shù)，本文僅研究單軌道作用時的損傷系數(shù)，此時λ4=1。

4)損傷等效系數(shù)λv

λv為考慮列車最大容許速度的系數(shù)，以列車最大容許速度80 km/h為基準，可以得到式(22)：

式中，fat,v為一定影響線臨界長度下列車最大容許速度為v時的運營列車的動力系數(shù)。fat,v根據(jù)式(10)~式(14)求得。

當列車最大容許速度為80 km/h時，λv＝80＝1。選取40 km/h~120 km/h，間隔為10 km/h速度值對λv進行計算，如圖7所示。由圖7可知：速度越大，損傷等效系數(shù)λv越大；λv-v關系隨著影響線臨界長度改變而改變，隨著影響線臨界長度增加，λv逐漸向1靠近。

圖7 λv-L關系曲線Fig.7 λv-Lcurves

圖7給出的λv-L關系曲線是根據(jù)Eurocode中運營列車動力系數(shù)fat計算公式推算得到。在缺少動力系數(shù)實測數(shù)據(jù)時，損傷等效系數(shù)λv可采用圖7計算結果。當有實測數(shù)據(jù)時，應以實測數(shù)據(jù)為準。

4 結論

針對中國城市軌道交通鋼橋抗疲勞設計的技術需求，基于EN 1993―1―9中雙斜率S-N曲線和損傷等效系數(shù)法，考慮中國城市軌道交通列車編組、交通量、列車最大容許速度及現(xiàn)行鐵路規(guī)范列車荷載圖式，求得適用于中國城市軌道交通鋼橋損傷等效系數(shù)。主要結論如下：

(1)考慮到城市軌道交通實際交通量分布情況，采用雙斜率S-N曲線簡化算法，對比單斜率S-N曲線求解結果，對等效后疲勞驗算結果與實際疲勞情況是否一致進行分析，結果表明采用雙斜率S-N曲線的簡化算法能較合理地進行疲勞驗算。

(2)對比ZC、ZK、LM71這3種荷載圖式作為城市軌道交通疲勞荷載模型的計算結果，ZC圖式能較好地作為6種列車編組的疲勞荷載模型。

(3)考慮列車最大容許速度v對疲勞損傷的影響，提出損傷等效系數(shù)λv，并給出計算公式，該損傷等效系數(shù)法能夠應用于不同最大容許速度的中國城市軌道交通鋼橋。