李 婷, 閆廣武

(1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院, 吉林 吉林 132022; 2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

格子Boltzmann方法(LBM)因其算法簡單、 并行計算、 復(fù)雜邊界條件易處理等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用, 目前已成為一種有效的求解各類非線性偏微分方程的數(shù)值方法, 如反應(yīng)擴(kuò)散方程[1]、 Maxwell方程組[2]、 熱波方程[3]、 Wave-Like方程[4]、 Ginzburg-Landau方程[5]等.文獻(xiàn)[1]給出了用于反應(yīng)擴(kuò)散方程的LBM模型, 得到了與經(jīng)典方法相近的數(shù)值結(jié)果.本文考慮具有遷移性質(zhì)的Ross-Macdonald方程的格子Boltzmann模型, 并將LBM數(shù)值結(jié)果與經(jīng)典中心差分格式的結(jié)果[6]進(jìn)行比較, 結(jié)果表明, 兩種方法結(jié)果相符.

具有遷移的Ross-Macdonald方程描述了瘧疾病瘧蚊的演化規(guī)律[7-9], 其偏微分方程的初邊值問題[10-11]為

(1)

其中:Ω?n表示瘧疾病瘧蚊區(qū)域;u為感染瘧疾病病人所占人口的密度,v為瘧蚊占蚊子種群數(shù)的密度,u0,v0分別是u,v的初值;α為蚊子的叮咬率,β為蚊子叮咬后的發(fā)病率,μ表示蚊子的死亡率,γ為瘧疾病病人恢復(fù)健康率,α,β,μ,γ均為正的常數(shù); Δ為二維Laplace算子.由于Δ的系數(shù)為1, 因此該方程擴(kuò)散性質(zhì)較弱, 更具有遷移性質(zhì).

1 具有遷移過程的Ross-Macdonald系統(tǒng)的格子Boltzmann模型

選擇二維5-bit網(wǎng)格, 分布函數(shù)fα(x,t)表示在位置x處、t時刻, 具有速度eα(α=0,1,…,b)的粒子出現(xiàn)的概率, 其中α=4表示靜止粒子, 在二維空間中b=4, 粒子速度為

e0=(c,0),e1=(0,c),e2=(-c,0),e3=(0,-c),e4=(0,0),

式中c表示速率.定義宏觀量

(2)

(3)

平衡態(tài)分布函數(shù)(3)滿足格子Boltzmann方程:

(4)

引入Knudsen數(shù)ε作為數(shù)值模擬的時間步長和Chapman-Enskog展開的小參數(shù), 在該尺度上方程(4)可寫為

(5)

假設(shè)方程(5)中

Sα=ε2Φα(t).

(6)

運(yùn)用Chapman-Enskog展開和多尺度技術(shù), 對方程(6)進(jìn)行Taylor展開, 保留余項到O(ε2)的精度, 可利用不同時間尺度上的系列格子Boltzmann方程[12]:

(7)

(8)

其中:

將式(7)+式(8)×ε并對α求和, 同時假設(shè)

(9)

得宏觀具有遷移的Ross-Macdonald方程為

(10)

其中

在推導(dǎo)方程(10)的過程中結(jié)合方程(1)可得

(11)

結(jié)合方程(3),(9),(11)易得平衡態(tài)分布函數(shù)為

其中D表示空間維數(shù).

2 數(shù)值算例

為了驗證模型效果, 在數(shù)值模擬區(qū)域內(nèi)分別通過取不同的初始條件進(jìn)行數(shù)值模擬, 下面以方程(1)中u的數(shù)值解為例,v的數(shù)值解模擬情況同理.

例1初始條件: 在數(shù)值模擬區(qū)域內(nèi)

(12)

圖1 例1的LBM數(shù)值解(A)及有限差分法數(shù)值解(B)

圖2 當(dāng)x=0.4, t=0.024時, LBM數(shù)值解和有限差分法數(shù)值解的比較(A)、 絕對誤差曲線(B)及相對誤差曲線(C)

表1 當(dāng)x=0.4, t=0.024時觀測數(shù)據(jù)對比

圖3(A)為觀測點(diǎn)(0.65,0.55)在t≤0.024時的LBM數(shù)值解u和有限差分法數(shù)值解u*的比較結(jié)果；圖3(B)為兩種結(jié)果的絕對誤差Er3=|u-u*|；圖3(C)為兩種結(jié)果的相對誤差Er4=|(u-u*)/u*|.

圖3 當(dāng)t≤0.024時, LBM數(shù)值解和有限差分法數(shù)值解的比較(A)、 絕對誤差曲線(B)及相對誤差曲線(C)

圖4 例2的LBM數(shù)值解(A)及有限差分法數(shù)值解(B)

圖5 LBM數(shù)值解(A)和有限差分法(B)的絕對誤差曲線

圖6 例3的LBM數(shù)值解(A)及有限差分法數(shù)值解(B)

綜上可見, 本文提出了一個應(yīng)用于具有遷移性質(zhì)的Ross-Macdonald系統(tǒng)的格子Boltzmann 模型, 通過3個實例的數(shù)值模擬, 并且與有限差分法數(shù)值解進(jìn)行對比, 結(jié)果表明, LBM是可以用于模擬具有遷移的Ross-Macdonald系統(tǒng)的一種數(shù)值方法.

在完成本文過程中多次與吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院王博宇、 陳建華進(jìn)行討論, 受益匪淺, 深表感謝.