胡志斌，鄧彩霞，邵云虹，王 翠

(哈爾濱理工大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引 言

圖像的邊緣對于人類的視覺而言具有重要的意義[1]。圖像的灰度或結構等信息的突變區(qū)域稱為邊緣。傳統(tǒng)的邊緣檢測算法有Canny算子、Sobel算子和Prewitt算子等[2-4]。這些算法應用廣，易實現，但抑制圖像噪聲的能力差、判斷一幅圖像的輪廓是否是邊緣的能力較弱以及處理后的圖像邊緣有模糊的情況發(fā)生。目前，在圖像的邊緣檢測算法中，沒有一種算法能夠普遍使用于所有類型的圖像，且圖像的噪聲和邊緣信息大部分存在于圖像的高頻分量上，為此人們做了如下的研究。近30年來，小波分析作為一門新的數學處理工具，它是在傅里葉變換的基礎上發(fā)展而來。與傅里葉變換相比，小波分析在時間域和頻域內處理信號有較強的優(yōu)越性，如利用伸縮和平移運算對信號的某一部分進行多尺度分析，從而得到該信號低頻和高頻細節(jié)，因此，在圖像處理等方面有很多的應用[5]。其中，圖像的邊緣檢測是比較常見的小波應用之一，如利用高斯小波變換的模極大值邊緣檢測算法檢測出的圖像輪廓清晰，邊緣線條光滑，但當處理的圖像含有(少量)噪聲時，圖像的邊緣出現噪聲，邊緣線條出現斷裂的情況，導致圖像的整體輪廓模糊不清晰[6,7]。本文在B-樣條二進小波基礎上[8]，構造了一個具有對稱性、緊支撐和消失矩的二進小波濾波器，由于二進小波具有以上良好的性質，所以在邊緣檢測過程中不僅可以抑制噪聲，還可以保留一些圖像的細節(jié)?；谛〔ㄗ儞Q模極大值算法中只對圖像的高頻分量進行處理，忽略了圖像低頻分量的信息，使得邊緣檢測的結果不完美[9]。數學形態(tài)學是以集合論、代數學等為基礎形成的圖像處理方法，在邊緣檢測算法中，由于該方法易于實現，且檢測得到的邊緣圖像噪聲少，因此，在減少圖像噪聲方面有很多的應用[10-12]。目前，將兩種或兩種以上的邊緣檢測算法融合是一種比較常用的方法，它不僅可以克服單一方法的不足，還可以結合多種方法的優(yōu)勢，使得檢測結果優(yōu)于單一的邊緣檢測算法。在選取小波變換與形態(tài)學結合的算法中，一方面，由于選取的形態(tài)學算子結構簡單，使得融合算法抑制圖像噪聲的效果差[13]；另一方面，小波變換中小波基的性質直接影響融合算法檢測的結果[14,15]。為了能夠使檢測結果含噪聲較少，圖像的邊緣線條光滑且豐富，選取合適的小波基函數與具有抗噪性的形態(tài)學算子結合可以改善邊緣檢效果[16]。本文選取3個不同的結構元素，并改進形態(tài)學算子，得到了抗噪形態(tài)邊緣檢測算法，并與上述二進小波變換邊緣檢測算法結合，使得該融合算法可以在抑制噪聲的同時顯示更多連續(xù)的邊緣細節(jié)。

1 二進小波變換邊緣檢測算法

1.1 二進小波基本概念

以下定義及引理詳情請參見文獻[16]。

(1)

則稱ψ(t) 是一個二進小波，稱式(1)為穩(wěn)定性條件。

(2)

則稱式(2)是f(t)的二進小波變換。

引理1 設φ(t) 是L2(R) 中的一個尺度函數，ψ(t) 是L2(R) 中與尺度函數φ(t) 對應的小波函數，存在系數{hk}k∈Z,{gk}k∈Z∈l2，使得

(3)

(4)

其等價的頻域形式為

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

對偶二進小波的情況與引理1類似，由于篇幅所限，不再詳述。

(9)

1.2 B-樣條二進小波的實現

(10)

(11)

(12)

(13)

因此，由引理1可知，由式(10)和式(13)代入式(6)可得

通過計算可知二進小波濾波器的系數，見表1。

表1 二進小波濾波器系數

由上述表格系數可知，本文實現了一個具有對稱性、緊支撐和2階消失矩的二進小波。

1.3 基于二進小波變換的模極大值邊緣檢測

本文采用二維B-樣條二進小波作為平滑函數，記作θ(x,y)，該函數具有良好局部化特征和平移不變性等性質，且滿足以下兩個條件：

對于圖像f(x,y) 來說，首先，利用平滑函數與圖像f(x,y) 做卷積得到平滑后的圖像

(f*θ)(x,y)=f(x,y)*θ(x,y)

定義兩個小波函數為

由水平和垂直方向的分量可構成梯度矢量

其次，在相同的尺度下，計算圖像f(x,y) 的二進小波變換的幅角和模值為

最后，求圖像的邊緣點。對平滑后的圖像分別計算模值以及幅角，其中，沿著幅角方向得到的模值局部極大值點就是圖像的邊緣點，這些邊緣點的集合就是一幅圖像的邊緣。

2 數學形態(tài)學邊緣檢測算法

2.1 數學形態(tài)學基本運算

數學形態(tài)學作為一門新的圖像分析處理工具，它可以極大簡化圖像處理中的數據，且較好的抑制噪聲的干擾。其基本運算有4種，分別為灰度膨脹、灰度腐蝕、灰度開啟和灰度閉合，以上4種數學形態(tài)學運算定義詳情請參見文獻[16]。設F(x,y) 是輸入圖像，B(x,y) 是結構元素，且都定義在R2或Z2上，DF和DB分別為函數F(x,y) 和B(x,y) 的定義域。其中灰度膨脹記作F⊕B，其定義為

F⊕B(x,y)=max{F(x-s,y-t)+
B(s,t)|x-s,y-t∈DF,s,t∈DB}

灰度腐蝕記作FΘB，其定義為

FΘB(x,y)=min{F(x+s,y+t)-
B(s,t)|x+s,y+t∈DF,s,t∈DB}

灰度開啟記作F°B，其定義為

F°B=(FΘB)⊕B

灰度閉合記作F·B，其定義為

F·B=(F⊕B)ΘB

2.2 已有的抗噪形態(tài)學邊緣檢測算子

形態(tài)學邊緣檢測算法主要是利用結構元素在形態(tài)學基本運算作用下，按照設計的數學關系式對圖像進行處理，得到圖像的邊緣。文獻[13]中提出一種抗噪形態(tài)學算子，具體算子如下：

抗噪膨脹型

Yd=(((F°B1)·B2)⊕B2)°B2-(F°B1)·B2

(14)

抗噪腐蝕型

Ye=(F°B1)·B2-(((F°B1)·B2)ΘB2)·B2

(15)

得到最終的圖像邊緣

Y=Yd+Ye+Emin

(16)

在式(16)中，Emin=min{Yd,Ye}，B1為半徑為3的菱形結構，B2為3×3的方形結構。由實驗可以看出，當噪聲濃度較大時，該形態(tài)學算子在去除圖像噪聲的同時還會去掉圖像的真實邊緣，因此，檢測的邊緣出現模糊且邊緣線條斷裂的情況。為了克服這些不足，使得檢測算法不僅可以去除噪聲，同時保留圖像的細節(jié)信息，本文對該算法進行了改進。

2.3 改進的抗噪形態(tài)學邊緣檢測算子

結構元素的選取直接影響著形態(tài)學邊緣檢測算子運算的結果。采用一種或兩種結構元素會造成不同方向的邊緣丟失從而導致檢測的邊緣不全面，為了包含各個方向的圖像邊緣和細節(jié)，提高算法抗噪能力，顯示較多邊緣細節(jié)，通過多次的實驗，設計了以下3個不同的3×3結構元素B1,B2,B3

形態(tài)學邊緣檢測不僅依賴于結構元素的選取，且與形態(tài)學算子息息相關。形態(tài)學算子設計的好壞直接影響檢測的結果，在文獻[11-13]中提到的抗噪形態(tài)學邊緣檢測算法的基礎上，利用式(14)和式(15)，本文進一步對其進行改進得到抗噪形態(tài)學算子如下

Yd=F1⊕B3°B3-F1·B3

(17)

Ye=F1·B3-F1ΘB3·B3

(18)

Yde=Yd+Ye

(19)

其中，F1=0.5(F°B1·B2+F·B1°B2) 為混合濾波后的圖像，由于形態(tài)學的開啟運算能起到平滑圖像的輪廓和去除輪廓上突出的毛刺的作用；閉合運算能起到去除區(qū)域中的小孔，填平輪廓中的缺口，同時也有平滑圖像輪廓的作用，因此兩者結合構成混合濾波器，不僅可以消除噪聲，同時保持圖像的位置和形狀不發(fā)生改變。

在噪聲濃度一樣的條件下，由式(17)和式(18)可得到圖像的邊緣信息，利用式(19)可得到完整的圖像邊緣，但會出現一些偽邊緣細節(jié)。為了進一步提高式(19)的抗噪能力且保留較多的真實邊緣細節(jié)，對邊緣算子Yde進行改進，得到最終的圖像邊緣

Y=Yde+λ(Emax-Emin)

這里Emin=min{Yd,Ye}，Emax=max{Yd,Ye}，λ為細節(jié)因子，其大小影響圖像的邊緣細節(jié)的豐富程度，本文通過計算邊緣圖像的峰值信噪比來確定λ的大小，當λ=1.8時可以保留較為豐富的邊緣細節(jié)。

3 二進小波變換與抗噪形態(tài)學融合的邊緣檢測算法

通過融合二進小波與抗噪形態(tài)學兩種算法，可以將這兩種算法的優(yōu)點結合，克服單一算法的不足之處，如：降低噪聲的干擾、增加圖像的邊緣信息等。本文算法在MATLAB2012實現，具體算法步驟如下：

(1)利用文中基于二進小波變換的邊緣檢測算法對圖像進行處理得到邊緣圖像；

(2)同時，利用改進的抗噪形態(tài)學邊緣檢測算法對圖像進行邊緣檢測，得到相應的邊緣圖像;

(3)應用融合函數對兩幅邊緣圖像進行圖像融合，即首先分別對第一步與第二步中得到的兩幅邊緣圖像進行二維小波分解，得到邊緣圖像的高頻分量與低頻分量；其次，對兩幅圖像的低頻分量采用均值法進行處理，高頻分量采用絕對值極大法進行處理；接下來將融合后的高頻分量和低頻分量進行小波逆變換重構得到圖像的邊緣；最后，為了使重構后的圖像邊緣線條更加清晰，利用中心為-10、其它均值為1的拉普拉斯算子對該圖像進行銳化，得到最終的邊緣圖像。

4 仿真實驗及結果分析

為了驗證上述方法的有效性和準確性，本文以Lena、Peppers和House圖像為例，分別采用二進小波模極大值邊緣檢測算法、形態(tài)學算法、小波變換與形態(tài)學融合的邊緣檢測算法和本文算法進行比較。上述算法分別見文獻[7,13-15]，其中，無噪聲的Lena、Peppers和House圖像檢測結果如圖1～圖3所示。

圖1 無噪聲的Lena圖的邊緣檢測結果

圖2 無噪聲的Peppers圖的邊緣檢測結果

圖3 無噪聲的House圖的邊緣檢測結果

通過觀察圖1(b)～圖3(b)可知，二進小波變換模極大值算法檢測的圖像邊緣線條斷裂且信息少；由圖1(c)～圖3(c)可知，形態(tài)學邊緣檢測算法得到的圖像邊緣細節(jié)模糊；由圖1(d)、圖1(e)～圖3(d)、圖3(e)可知，小波變換與形態(tài)學融合的邊緣檢測算法得到的圖像邊緣光滑但細節(jié)不連續(xù)；由圖1(f)～圖3(f)可知，利用本文融合的邊緣檢測算法得到的圖像邊緣連續(xù)且清晰，邊緣信息豐富。

為了更加客觀的對原始圖像的邊緣檢測結果進行評價，本文采用信息熵和平均梯度作為評價指標，見表2、表3。

表2 各種邊緣檢測算法關于信息熵值的對比

表3 各種邊緣檢測算法關于平均梯度值的對比

信息熵的定義為

其中，Pi表示圖像中像素灰度值為i的概率，L表示圖像總的灰度級數。圖像的信息熵值越大，說明圖像含有的信息越多。

平均梯度的定義為

其中，Ix和Iy分別為x與y方向上的差分，M和N分別為圖像的行數和列數。圖像的平均梯度越大，圖像清晰度越高，邊緣的細節(jié)越多。

為了檢測本文提出的二進小波與抗噪形態(tài)學融合的邊緣檢測算法的抗噪能力，圖4～圖6為Lena、Peppers和House圖像分別加入濃度為0.01椒鹽噪聲后的仿真實驗結果。

圖4 含椒鹽噪聲的Lena圖的邊緣檢測結果

圖5 含椒鹽噪聲的Peppers圖的邊緣檢測結果

圖6 含椒鹽噪聲的House圖的邊緣檢測結果

為了更加客觀地檢測本文給出的算法，利用峰值信噪比、均方誤差、信息熵和平均梯度作為評價指標，含有噪聲的Lena、Peppers和House圖像客觀評價見表4～表7。

峰值信噪比的表達式為

其中均方誤差表達式為

表4 各種邊緣檢測算法關于峰值信噪比值的對比

表5 各種邊緣檢測算法關于均方誤差值的對比

表6 各種邊緣檢測算法關于信息熵值的對比

表7 各種邊緣檢測算法關于平均梯度值的對比

這里I為原圖像，K為檢測后的圖像。一般情況下，峰值信噪比越高圖像的質量越高，相應的均方誤差越小，且圖像檢測的數據越精確。

從圖4(b)～圖6(b)可以看出，二進小波模極大值測算法對噪聲敏感，雖然圖像的輪廓清晰，但邊緣細節(jié)不連續(xù)；觀察圖4(c)～圖6(c)可知，利用抗噪形態(tài)學得到的邊緣輪廓平滑完整，噪聲少，但部分細節(jié)模糊；由圖4(d)、圖4(e)～圖6(d)、圖6(e)可看出，小波變換與形態(tài)學融合的算法抑制噪聲能力弱；圖4(f)～圖6(f)為本文算法檢測結果，與上述算法相比，該算法抗噪能力進一步提升，顯示更多的細節(jié)信息且邊緣連續(xù)。通過表4～表7可知，本文算法的信噪比、均方誤差、信息熵、平均梯度的評價結果都要優(yōu)于其它幾種算法。綜上所述，本文算法在主觀視覺和客觀評價方面都表現出不錯的結果，是一種有效的圖像邊緣檢測方法。

5 結束語

本文首先在研究B-樣條二進小波變換的基礎上，構造了一個具有緊支撐、對稱性和消失矩的二進小波濾波器。利用該二進小波濾波器代替高斯小波濾波器，進一步提高小波去噪的效果，克服模極大值邊緣檢測中圖像細節(jié)少的缺點。其次，對抗噪形態(tài)學邊緣檢測算子進一步改進，在邊緣的各個方向進行檢測，減少細節(jié)信息丟失。最后得到二進小波與抗噪形態(tài)學融合的邊緣檢測算法。實驗結果表明，在噪聲濃度相同情況下，本文方法具有很好抑制噪聲的能力，且檢測的邊緣圖像輪廓清晰，含有豐富的細節(jié)信息。但當處理一類具有紋理信息較豐富的圖像時，得到的圖像邊緣線條會重疊變粗；以及處理一類具有大量噪聲干擾的圖像時，得到的圖像會摻雜噪聲，這都將是下一步的研究內容。