白俊強(qiáng)，昌 敏，汪 輝，郭 彬，劉成茂

（1.西北工業(yè)大學(xué)無人系統(tǒng)技術(shù)研究院，西安710072；2.西安索格亞航空科技有限公司，西安710065；3.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安710072）

1 引言

對(duì)于民航飛機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)領(lǐng)域，多傳感器耦合導(dǎo)航已成為主流導(dǎo)航方法。通過多傳感器之間的信息融合，如何有效利用和處理來自多套傳感器系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，克服單一傳感器導(dǎo)航模式的不足，達(dá)成提高導(dǎo)航精度、增強(qiáng)導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性的目的，是多傳感器系統(tǒng)需要首要關(guān)注的問題之一［1-3］。

不同客機(jī)上配備的導(dǎo)航系統(tǒng)形式與數(shù)量各有不同，其中最為常用的是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（Inertial Navigation System，INS）。INS 是基于慣性元件（陀螺和加速度計(jì)）測量飛行器相對(duì)慣性空間的線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行載體運(yùn)動(dòng)信息計(jì)算的導(dǎo)航技術(shù)，已成為現(xiàn)代軍用飛機(jī)、民航飛機(jī)航電系統(tǒng)的重要組成部分。以慣性器件為中心的導(dǎo)航系統(tǒng)是機(jī)上不可或缺的裝置，是支持飛機(jī)安全飛行、引導(dǎo)和進(jìn)近，順利實(shí)施飛行任務(wù)的重要保證。慣性在軍民兩方面都有極大的需求，世界各大國歷來重視發(fā)展慣性技術(shù)，慣性技術(shù)已成為國防現(xiàn)代化中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)［4］。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（Strapdown Inertial Navigation System，SINS）以其體積小、成本低、可靠性高等諸多優(yōu)點(diǎn)，已在大部分場合取代了平臺(tái)式慣導(dǎo)系統(tǒng)［5］，在軍民用航空領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用。然而由于機(jī)載SINS 直接固連在飛機(jī)機(jī)體上，飛機(jī)所處的惡劣動(dòng)力學(xué)環(huán)境往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生變化［6］。隨著SINS工作時(shí)間增加，系統(tǒng)的導(dǎo)航精度將逐漸下降［7］，需要對(duì)單獨(dú)的SINS進(jìn)行改進(jìn)。羋小龍等［8］提出了兩個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)的融合方案，單個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)以對(duì)方輸出的經(jīng)緯度信息作為測量信息進(jìn)行卡爾曼濾波，但對(duì)具體的融合算法并沒有明顯改進(jìn)。謝建東等［5］對(duì)無人直升機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行了分析、設(shè)計(jì)和仿真，利用全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System，GPS）導(dǎo)航和SINS 組成SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)，SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)可提供高精度的導(dǎo)航信息。李俊杰等［6］對(duì)GPS 和INS 中關(guān)鍵算法進(jìn)行了研究。趙俊波等［7］對(duì)計(jì)程儀/INS組合方法進(jìn)行了總結(jié)。Qin 等［8］通過改善GPS 環(huán)路，提高了INS/GPS系統(tǒng)精度，但GPS抗干擾能力差，該方法對(duì)GPS 儀器精度要求較高，難以應(yīng)用。為保證導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性與冗余度，本文提出由三套INS 融合的配套方案，旨在提高導(dǎo)航精度與可靠性。仿真結(jié)果顯示，本文提出的方案誤差遠(yuǎn)小于單獨(dú)一套慣導(dǎo)獨(dú)自進(jìn)行位置更新的誤差，是開展多慣性系統(tǒng)信息融合的一種新思路。

2 多套慣導(dǎo)融合方案

2.1 多套慣性參考系統(tǒng)的構(gòu)成

慣性參考系統(tǒng)主要由慣性器件模塊、初始對(duì)準(zhǔn)模塊、捷聯(lián)解算模塊及三套慣導(dǎo)數(shù)據(jù)融合模塊四部分組成，如圖1所示。

圖1 多套慣性參考系統(tǒng)的構(gòu)成Fig.1 The composition of inertial reference system simulation module

2.2 SINS力學(xué)編排

SINS 主要由姿態(tài)矩陣解算和導(dǎo)航解算這兩部分組成，以指北方位慣導(dǎo)系統(tǒng)力學(xué)編排為例，對(duì)核心內(nèi)容的姿態(tài)微分方程、比力微分方程以及位置微分方程作簡要介紹。

（1）姿態(tài)微分方程

載體b相對(duì)于參考坐標(biāo)系n的姿態(tài)可以用多種數(shù)學(xué)形式來描述，常用方法有四種，即：歐拉角法、四元數(shù)法、等效旋轉(zhuǎn)矢量法和方向余弦法。為表述方便此處給出基于方向余弦矩陣的姿態(tài)微分方程：

式中，vE和vN分別為載體在導(dǎo)航系內(nèi)的東向速度和北向速度。

（2）比力方程

載體在導(dǎo)航系內(nèi)的比力方程為：

其中

（3）位置方程

另外緯度L、經(jīng)度λ和高度h的微分方程還可表示為：

上述導(dǎo)航方程的流程框圖如圖2所示。

圖2 指北方位捷聯(lián)慣導(dǎo)導(dǎo)航方程流程圖Fig.2 The flow chart of Strapdown Inertial Navigation System

2.3 基于導(dǎo)航結(jié)果的三套慣導(dǎo)最優(yōu)導(dǎo)航解構(gòu)造

在三套慣導(dǎo)平行安裝的冗余配置方案中，三套慣導(dǎo)經(jīng)獨(dú)立解算可以得到各自的導(dǎo)航結(jié)果。如果不考慮導(dǎo)航初始誤差和慣性器件的各種誤差，理論上三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航結(jié)果是相同的，三套慣導(dǎo)的配置只是為系統(tǒng)提供更高的可靠性。而在實(shí)際工程中，三套慣導(dǎo)由于慣性器件隨機(jī)誤差和導(dǎo)航初始誤差的影響，輸出的數(shù)據(jù)是不完全相同的，由此導(dǎo)致導(dǎo)航結(jié)果也不完全相同，這樣會(huì)造成三套慣導(dǎo)輸出三種不同的導(dǎo)航結(jié)果。而我們更希望通過對(duì)三套慣導(dǎo)導(dǎo)航數(shù)據(jù)的處理得到某種最優(yōu)準(zhǔn)則意義下最優(yōu)的導(dǎo)航解。這樣的話，三套慣導(dǎo)的配置可以提高整個(gè)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度?；诖耍饕芯咳讘T導(dǎo)平行安裝冗余配置條件下最優(yōu)導(dǎo)航解的求解方法。

構(gòu)造最優(yōu)導(dǎo)航解將最優(yōu)估計(jì)計(jì)算提升到導(dǎo)航結(jié)果層面上，而不必考慮各慣導(dǎo)的原始測量信號(hào)，這種方案操作簡單，其優(yōu)化方案的算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。

在導(dǎo)航結(jié)果層面上做最優(yōu)估計(jì)，一般只需要得到優(yōu)化的位置解算結(jié)果。由于慣導(dǎo)系統(tǒng)的高度解算結(jié)果精度較低，因此這種優(yōu)化處理只在緯度和經(jīng)度結(jié)果上進(jìn)行。因此，這種處理方法相當(dāng)于將三套慣導(dǎo)視為位置測量傳感器，在真實(shí)位置未知的情況下對(duì)位置測量的結(jié)果做最優(yōu)處理。

圖3 基于導(dǎo)航結(jié)果的最優(yōu)融合算法結(jié)構(gòu)Fig.3 Optimal fusion algorithm structure based on the navigation results

以緯度輸出為例，設(shè)k時(shí)刻飛機(jī)的真實(shí)位置為L（k），各慣組慣導(dǎo)解算得到的緯度輸出分別為，其中k為某一取定時(shí)間。記導(dǎo)航解算誤差分別為δL1(k)、δL2(k)、δL3(k)?？紤]各慣組的導(dǎo)航誤差，真實(shí)位置和解算位置有以下關(guān)系成立。

整理成向量和矩陣形式有

因此，三套慣組的解算結(jié)果在這里等價(jià)為對(duì)位置的三次有誤差量測，在量測誤差不可知的情況下，利用最小二乘方法可以得到真實(shí)位置的估計(jì)結(jié)果。

整理可得

在量測噪聲的方差可知或者可近似求取的情況下，可以采用加權(quán)最小二乘估計(jì)的方法求取真實(shí)位置的優(yōu)化估計(jì)結(jié)果。設(shè)k時(shí)刻三套慣導(dǎo)的緯度解算誤差的方差分別為σ2L1(k)，σ2L2(k)，σ2L3(k)，則利用馬爾可夫加權(quán)最小二乘估計(jì)的方法可以得到

其中，R(k)為k時(shí)刻的量測噪聲方差陣，有

將H和R(k)帶入式可得緯度的馬爾可夫估計(jì)具體表達(dá)式為

同理，經(jīng)度的馬爾可夫估計(jì)結(jié)果可以表示為

因此，要想通過馬爾可夫最小二乘估計(jì)的方法得到當(dāng)上式中L（k）和λ(k)的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果，就必須知道k時(shí)刻導(dǎo)航誤差的方差統(tǒng)計(jì)特性。從產(chǎn)生機(jī)理分析，位置誤差主要是由初始對(duì)準(zhǔn)誤差、陀螺和加速度計(jì)隨機(jī)常值零偏以及隨機(jī)游走引起，并且這些因素都是隨機(jī)產(chǎn)生的。其中，加速度計(jì)和陀螺的隨機(jī)常值零偏在逐次啟動(dòng)時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生，而后保持常值，成為影響初始對(duì)準(zhǔn)精度的主要因素，進(jìn)而影響到導(dǎo)航位置精度?？偟膩碚f，慣導(dǎo)的導(dǎo)航位置誤差是隨時(shí)間累積的，大致是時(shí)間t的三次函數(shù)。因此δLi(k)()i= 1，2，3 的方差是時(shí)變的，且時(shí)間越長，方差會(huì)越大。

影響位置誤差的因素較多，相互間又有很大的相關(guān)性，因此，要想通過理論推導(dǎo)的方法得到位置誤差的統(tǒng)計(jì)特性是較為困難的。而如果想通過統(tǒng)計(jì)的方法近似求取σ2Li(k)，就需要大量的測試實(shí)驗(yàn)，對(duì)每一時(shí)刻的導(dǎo)航位置誤差做方差分析，這種方法同樣不太現(xiàn)實(shí)。

基于上述分析，下面給出一種對(duì)位置誤差方差特性建模的方法，通過多次導(dǎo)航測試試驗(yàn)求取位置誤差方差的統(tǒng)計(jì)模型。

位置誤差的發(fā)散特性可以用時(shí)間的三次函數(shù)近似，以緯度誤差為例，其均方根特性σL(k)可以描述為：

導(dǎo)航開始時(shí)真實(shí)緯度精確已知，因此a0= 0。這樣上式可以簡化為

因此只要求解出系數(shù)a1、a2、a3，就可以解算任意時(shí)刻的導(dǎo)航位置誤差的方差特性。現(xiàn)在給定一套慣導(dǎo)IMU，在靜止條件下做N次靜態(tài)導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)，為得到更好的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，這里N＞10，次數(shù)越多結(jié)果可信度越高。記導(dǎo)航初始時(shí)刻t0=0，在不同的時(shí)刻t1，t2，t3…，tk，記錄N次導(dǎo)航解算的位置誤差，仍以緯度為例，得到

取N次導(dǎo)航解算的同一時(shí)刻σL(ti)導(dǎo)航誤差，計(jì)算誤差均方根特性，得到

這樣可以得到σL(t1)，σL(t2)，…σL(tk)

代入誤差均方根模型，并考慮模型不準(zhǔn)確性，整理可得

將上式記為

至此，利用最小二乘的方法可以求解出系數(shù)a1、a2、a3，具體為

在三套慣導(dǎo)平行安裝方案中，分別對(duì)三套慣導(dǎo)做上述數(shù)據(jù)處理，可以得到三套慣導(dǎo)導(dǎo)航位置誤差方差特性的解析求解公式。這樣，利用三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航結(jié)果構(gòu)造最優(yōu)導(dǎo)航解就可以采用馬爾可夫得到最優(yōu)估計(jì)的方法，得到比一般最小二乘更加優(yōu)化的導(dǎo)航結(jié)果。

2.4 基于歷史信息的最佳混合位置求解

2.3 節(jié)介紹的對(duì)位置誤差方差特性建模的方法，通過多次導(dǎo)航測試試驗(yàn)求取位置誤差方差的統(tǒng)計(jì)模型具有較強(qiáng)的可操作性，但是同樣需要多次導(dǎo)航測試試驗(yàn)。如果通過飛行測試試驗(yàn)求取位置誤差的方差的統(tǒng)計(jì)模型，則需要耗費(fèi)大量的人力、物力，對(duì)于民航客機(jī)來說并不實(shí)用。如果在實(shí)驗(yàn)室通過實(shí)驗(yàn)室靜態(tài)試驗(yàn)建立位置誤差的統(tǒng)計(jì)模型，雖有一定的參考價(jià)值，但是慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差與飛行軌跡和飛行參數(shù)有很大的關(guān)系，這樣建立的統(tǒng)計(jì)模型不能還原真實(shí)的系統(tǒng)誤差特性。此處在2.3節(jié)的基礎(chǔ)上利用每次飛行過程結(jié)束時(shí)刻和起始時(shí)刻飛機(jī)位置點(diǎn)已知的特點(diǎn)，通過前一次導(dǎo)航誤差計(jì)算三套慣導(dǎo)的加權(quán)系數(shù)融合一個(gè)較好的位置。

由式（19）和式（20）可知三套慣導(dǎo)加權(quán)系數(shù)與三套慣導(dǎo)各自的誤差方差密切相關(guān)，若對(duì)三套慣導(dǎo)的位置誤差的方差進(jìn)行歸一化處理，則式（19）和（20）可變形為：

其中Lci，λci（i=1，2，3）分別為三套慣導(dǎo)的實(shí)時(shí)經(jīng)緯度解算結(jié)果，Kij（i=1，2，3）為第i套慣導(dǎo)的權(quán)系數(shù)，j表示第j次飛行加權(quán)系數(shù)，可通過下式求解。

Lt：上次飛行的終點(diǎn)；

Ls：上次飛行的起點(diǎn)；

若為第一次飛行，則Ki0（i=1，2，3）取0.333。

2.5 三套慣導(dǎo)可用性檢查及優(yōu)先級(jí)實(shí)現(xiàn)

三套慣導(dǎo)平行安裝的冗余配置方案中，各慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度是有一定差異的，即便是器件參數(shù)相同的慣導(dǎo)，由于初始對(duì)準(zhǔn)誤差、逐次啟動(dòng)誤差以及實(shí)時(shí)量測噪聲不同的影響，各自的導(dǎo)航精度也會(huì)不同。在實(shí)際的導(dǎo)航控制過程中，往往需要從三套慣導(dǎo)中選取導(dǎo)航精度最高的一套慣導(dǎo)作為參考標(biāo)準(zhǔn)，這時(shí)就會(huì)涉及到導(dǎo)航精度排序的問題，對(duì)三套慣導(dǎo)的實(shí)時(shí)導(dǎo)航精度按照一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行排序，從而得到三套慣導(dǎo)導(dǎo)航精度的量化評(píng)價(jià)結(jié)果。同時(shí)三套慣導(dǎo)導(dǎo)航精度的量化評(píng)價(jià)結(jié)果也是判斷三套慣導(dǎo)是否正常工作的條件。

2.5.1 導(dǎo)航精度排序方法

導(dǎo)航精度排序，簡單的講就是選擇一個(gè)合理的導(dǎo)航誤差范數(shù)，然后分別計(jì)算三套慣導(dǎo)的這一誤差范數(shù)數(shù)值，按照范數(shù)數(shù)值從小到大排序的結(jié)果就是三套慣導(dǎo)導(dǎo)航精度的排序結(jié)果。通常條件下，導(dǎo)航誤差范數(shù)一般選取導(dǎo)航的位置誤差范數(shù)，特別是水平位置誤差范數(shù)。后文的討論都是以水平位置誤差范數(shù)作為排序的參考標(biāo)準(zhǔn)，即

對(duì)三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度進(jìn)行實(shí)時(shí)排序，可以有兩種方法：自主式排序方法和輔助式排序方法。其中，自主式排序方法是指不利用任何外部參考信息，而只通過三套慣導(dǎo)自身數(shù)據(jù)和導(dǎo)航結(jié)果進(jìn)行排序，輔助式排序方法是指在其他導(dǎo)航設(shè)備輔助的情況下，對(duì)三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度進(jìn)行排序。

從理論上講，要想對(duì)三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度進(jìn)行實(shí)時(shí)的精度排序，就必須知道飛機(jī)實(shí)時(shí)的精確導(dǎo)航位置信息，如果這一實(shí)時(shí)導(dǎo)航位置信息中沒有誤差或者誤差量級(jí)與慣導(dǎo)誤差相比可以忽略，那么用慣導(dǎo)導(dǎo)航位置相對(duì)于這一精確已知位置的偏離程度就可以對(duì)慣導(dǎo)精度進(jìn)行排序。因此，這種排序方法需要引入其他導(dǎo)航信息，但排序方法簡單易行。通常條件下，GPS 是飛機(jī)上的常用導(dǎo)航信息，且導(dǎo)航精度不隨時(shí)間發(fā)散，定位精度保持在十米至幾十米的水平上，可以用來對(duì)慣導(dǎo)的長期發(fā)散誤差進(jìn)行排序。如果要對(duì)幾十米以下的定位誤差進(jìn)行排序，就需要更加精確的位置信息，這時(shí)可以考慮利用慣導(dǎo)和GPS 組合導(dǎo)航的位置信息作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于導(dǎo)航級(jí)以上的慣導(dǎo)設(shè)備，在與GPS 組合導(dǎo)航的情況下定位精度可以提高到米級(jí)水平，完全可以作為精度排序的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

在自主式排序方法中，沒有位置信息的絕對(duì)參考標(biāo)準(zhǔn)，而只通過三套慣導(dǎo)自身的導(dǎo)航結(jié)果對(duì)三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度排序，得到的只能是一個(gè)相對(duì)排序結(jié)果。這種情況下的精度排序更類似于一種故障檢測方法或者說是一個(gè)表決機(jī)制。簡單的講，就是從三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航結(jié)果中按照一定的優(yōu)化準(zhǔn)則提取出一組優(yōu)化的導(dǎo)航結(jié)果作為位置參考基準(zhǔn)，以三套慣導(dǎo)導(dǎo)航結(jié)果偏離這一參考基準(zhǔn)的程度大小作為量化評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航精度進(jìn)行排序。

2.5.2 自主式排序方案

自主式排序方案中沒有精確的位置參考，只能利用三套慣導(dǎo)自身的導(dǎo)航結(jié)果設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)，完成對(duì)三套慣導(dǎo)的精度排序。因此，這種自主式排序方案從原理上限制了它只能得到一個(gè)相對(duì)的排序結(jié)果，而不能得到絕對(duì)排序結(jié)果。自主式排序的過程如圖4所示。

從圖中可以看出，自主排序方法的關(guān)鍵就在參考位置的構(gòu)造方法上。自主式排序方法中的參考位置直接以三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航位置結(jié)果進(jìn)行構(gòu)造。這時(shí)，可以將三套慣導(dǎo)等價(jià)為位置測量裝置，參考位置的構(gòu)造就可以等價(jià)為對(duì)真實(shí)位置的最優(yōu)估計(jì)，同時(shí)構(gòu)造出的參考位置可以表示為三套慣導(dǎo)導(dǎo)航位置結(jié)果的加權(quán)平均形式。至此可見，參考位置的構(gòu)造方法與2.3 節(jié)和2.4 節(jié)介紹優(yōu)化導(dǎo)航解的構(gòu)造方法完全相同?？紤]到實(shí)際的可操作性，自主式排序方法的參考位置可以直接采用2.4節(jié)介紹的優(yōu)化導(dǎo)航解的導(dǎo)航位置結(jié)果，具體設(shè)計(jì)過程詳見2.4節(jié)。

圖4 自主式排序方案流程Fig.4 Autonomous sorting scheme process

設(shè)tk時(shí)刻三套慣導(dǎo)融合得到的混合的水平位置為Lc（k）和λc(k)，三套慣導(dǎo)的導(dǎo)航水平位置結(jié)果為Lci，λci（i=1，2，3）。參照式（34），分別計(jì)算三套慣導(dǎo)的誤差范數(shù)：

得到δPos1、δPos2和δPos3，然后對(duì)這三個(gè)誤差范數(shù)排序，就可以得到三套慣導(dǎo)的精度排序結(jié)果。

2.5.3 可用性檢查

在2.5.2 節(jié)三套慣導(dǎo)精度排序的基礎(chǔ)上可以實(shí)現(xiàn)三套慣導(dǎo)的可用性檢查，當(dāng)某一套慣導(dǎo)出現(xiàn)故障時(shí)及時(shí)給出報(bào)警并將其隔離。具體處理算法在于通過設(shè)置誤差范數(shù)的上限δPTD，當(dāng)誤差范數(shù)超過門限時(shí)認(rèn)為存在故障。

對(duì)于航空標(biāo)準(zhǔn)慣導(dǎo)，當(dāng)慣導(dǎo)同其他導(dǎo)航傳感器斷開后的定位誤差滿足表1所示的精度，可以參照表1設(shè)置誤差范數(shù)的上限。

表1 RNP和RNA規(guī)定的組合斷開后純慣導(dǎo)的定位誤差特性Table 1 The positioning error of inertial navigation after the combination specified by RNP and RNA is disconnected

3 導(dǎo)航性能分析

3.1 解算算法與載體機(jī)動(dòng)誤差分析

3.1.1 解算算法誤差

SINS 的捷聯(lián)慣導(dǎo)算法設(shè)計(jì)的任務(wù)主要有兩個(gè)方面，一方面是要選擇合適的算法，另一方面是要設(shè)計(jì)算法的更新頻率和慣性器件的采樣頻率，而且在算法的設(shè)計(jì)中要充分考慮載體的動(dòng)態(tài)性能和環(huán)境。捷聯(lián)慣導(dǎo)算法設(shè)計(jì)的要求是，在選定慣性器件的條件下對(duì)所選的算法進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)，算法引起的導(dǎo)航參數(shù)誤差要小于慣性器件誤差引起的導(dǎo)航參數(shù)誤差的5%，否則應(yīng)當(dāng)重新進(jìn)行算法設(shè)計(jì)。

在捷聯(lián)慣性解算算法中，對(duì)圓錐運(yùn)動(dòng)和劃槳運(yùn)動(dòng)造成的不可交換誤差的補(bǔ)償精度成為評(píng)價(jià)算法精度的標(biāo)尺。對(duì)2.2 節(jié)所述的SINS 力學(xué)編排，對(duì)應(yīng)的圓錐誤差和劃槳誤差補(bǔ)償算法如下：

上述補(bǔ)償算法可根據(jù)慣性器件的采樣頻率、計(jì)算資源性能、導(dǎo)航精度要求等綜合選擇不同的計(jì)算子樣數(shù)，其中圓錐算法漂移是制約導(dǎo)航算法精度的最主要因素，因此表2 給出了在10 ms 解算周期下，錐角為1°的不同錐運(yùn)動(dòng)頻率、不同子樣數(shù)下的算法漂移，據(jù)此可以選擇合適的更新子樣數(shù)。

表2 圓錐算法漂移比較Table 2 Cone algorithm drift comparison

3.1.2 機(jī)動(dòng)對(duì)解算算法誤差的影響

當(dāng)前的捷聯(lián)姿態(tài)更新算法是基于等效旋轉(zhuǎn)矢量的多子樣優(yōu)化算法，其理論基礎(chǔ)是Bortz 方程［13］。基于泰勒級(jí)數(shù)展開的多子樣算法推導(dǎo)，將Bortz 方程經(jīng)過二階近似簡化后的等效旋轉(zhuǎn)矢量方程作泰勒級(jí)數(shù)展開，建立等效旋轉(zhuǎn)矢量與多項(xiàng)式角增量之間的線性對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而求得誤差補(bǔ)償系數(shù)［14-15］。實(shí)際上，Bortz微分方程是一個(gè)異常復(fù)雜的非線性三維向量方程，其中包含三角函數(shù)運(yùn)算，在一般角運(yùn)動(dòng)情況下無法精確求解，即不存在初等解。傳統(tǒng)等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法都是在Bortz 方程作近似的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化推導(dǎo)的，它們忽略了Bortz 方程中三階及其以上項(xiàng)的影響，并將二階項(xiàng)中的等效旋轉(zhuǎn)矢量近似為角增量［16-17］，從而才能夠簡化為線性微分方程。原則上，針對(duì)近似線性化后的Bortz 微分方程的求解，只有在等效旋轉(zhuǎn)矢量取值比較小的情況下才能成立，越接近于0 其近似精度越高，即在低動(dòng)態(tài)下效果較佳。

對(duì)于飛行速度馬赫數(shù)3 以上的高超聲速飛行器、或者旋轉(zhuǎn)角速率高達(dá)400°/s 的高動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，傳統(tǒng)的姿態(tài)求解算法誤差較大無法滿足需求。針對(duì)大動(dòng)態(tài)下的導(dǎo)航解算算法可以參閱文獻(xiàn)［16-21］，對(duì)更高精度的等效旋轉(zhuǎn)矢量高階誤差補(bǔ)償算法有詳盡的論述。針對(duì)民航客機(jī)等中低動(dòng)態(tài)的載體，基于等效旋轉(zhuǎn)矢量的多子樣優(yōu)化算法可以滿足導(dǎo)航精度的要求，此處不再贅述機(jī)動(dòng)對(duì)解算算法精度的影響。

3.2 慣性器件與載體機(jī)動(dòng)誤差分析

3.2.1 慣性器件誤差分析

慣性器件性能是制約導(dǎo)航誤差的最主要因素，表3列出了勻速條件下位置誤差近似關(guān)系式。

總體而言，慣性器件誤差造成的導(dǎo)航誤差可以歸納為三類：一類是舒拉震蕩誤差，包含加速度計(jì)零位誤差、初始姿態(tài)誤差和初始速度誤差；二類是24 h 震蕩誤差，包含東向陀螺漂移、天向陀螺漂移緯度誤差、北向陀螺漂移緯度誤差、初始航向誤差和初始緯度誤差；三類是經(jīng)度線性漂移誤差，北向陀螺漂移經(jīng)度誤差、天向陀螺經(jīng)度誤差。

粗略估算，30μg的加速度計(jì)零偏引起0～380 m的經(jīng)緯度舒拉震蕩誤差，0.001°/h 的東向陀螺漂移引起±425 m 的經(jīng)緯度地球周期震蕩誤差，0.001°/h的天向陀螺漂移引起0～750 m 的緯度地球周期震蕩誤差，0.001°/h 的北向和天向陀螺漂移24 h 內(nèi)引起2 km的經(jīng)度線性增長誤差。

表3 慣性器件誤差引起的導(dǎo)航位置誤差Table 3 Navigation position error caused by inertial device error

3.2.2 機(jī)動(dòng)對(duì)慣性器件誤差的影響分析

通過3.2.1 節(jié)分析可知慣性器件的性能是影響導(dǎo)航性能的主要誤差因素，上述分析中基于載體是靜態(tài)或勻速狀態(tài)，對(duì)于載體機(jī)動(dòng)狀態(tài)，慣性器件的動(dòng)態(tài)性能亦影響導(dǎo)航誤差。

慣性器件的動(dòng)態(tài)誤差主要影響因素包括陀螺和加速度計(jì)的刻度系數(shù)誤差、安裝誤差、陀螺和加速度計(jì)的時(shí)間不同步誤差、尺寸效應(yīng)誤差、刻度系數(shù)非線性誤差、陀螺的非等彈性誤差等。

對(duì)于中等精度慣性級(jí)的導(dǎo)航系統(tǒng)，制約導(dǎo)航性能的主要載體動(dòng)態(tài)誤差是慣性器件的安裝誤差和刻度系數(shù)誤差。下面主要分析載體機(jī)動(dòng)條件下，慣性器件刻度誤差和安裝誤差對(duì)導(dǎo)航性能的影響。

假設(shè)載體處于平飛狀態(tài)，以30°/s 的角速度做180°的橫滾機(jī)動(dòng)，假設(shè)存在陀螺和加速度的刻度系數(shù)誤差，則機(jī)動(dòng)前后導(dǎo)航速度誤差變化率的變化值為：

粗略估計(jì)，20 min 內(nèi)，1角秒的陀螺安裝誤差將引起60 m 的位置誤差，2 角秒的加速度計(jì)安裝誤差將引起5 m 的位置誤差，50 ppm 的加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差將引起12 m的位置誤差。

3.3 多慣導(dǎo)融合性能分析

由（19～20）兩式可知，三套慣導(dǎo)融合算法基于馬爾可夫最優(yōu)估計(jì)，理論上融合所得的位置誤差是最優(yōu)位置。假設(shè)三套慣導(dǎo)的性能一致，則融合的位置誤差是單套慣導(dǎo)誤差的 3 /3 ≈0.5574。

為驗(yàn)證最優(yōu)性能，假設(shè)三套慣導(dǎo)的性能相當(dāng)，均為1 nm/h的慣導(dǎo)，則進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真的結(jié)果如圖5所示，融合的位置誤差的方差為0.5678 nm/h，與理論預(yù)測值一致。

圖5 三套慣導(dǎo)性能一致時(shí)蒙特卡洛仿真Fig.5 Monte Carlo simulation when the performance of three sets of intertial navigation is consistent

實(shí)際情況中，三套慣導(dǎo)的性能往往不一致，有可能性能相差加大，為驗(yàn)證最優(yōu)性能，假設(shè)三套慣導(dǎo)的分別為1 nm/h、1.2 nm/h、2.4 nm/h 的慣導(dǎo)，則進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真的結(jié)果如圖6所示，融合的位置誤差的方差為0.8708 nm/h，仍比單套慣導(dǎo)中精度最高的性能好。

圖6 三套慣導(dǎo)性能不一致時(shí)蒙特卡洛仿真Fig.6 Monte Carlo simulation when the performance of three sets of inertial navigation is inconsistent

4 性能仿真分析

4.1 仿真軌跡設(shè)置

仿真軌跡通過航路點(diǎn)設(shè)置規(guī)劃相關(guān)飛行路徑，其中航路點(diǎn)信息包括航路點(diǎn)編號(hào)、經(jīng)度、緯度、高度、應(yīng)飛速度和默認(rèn)轉(zhuǎn)彎方式，仿真中航路點(diǎn)設(shè)置見表4。從航路點(diǎn)設(shè)置可見，整個(gè)飛行過程包括滑跑、加速、起飛、爬升、平飛、轉(zhuǎn)彎、下降、減速一系列機(jī)動(dòng)動(dòng)作，具體參數(shù)見圖7～9。

表4 仿真航路點(diǎn)信息設(shè)置Table 4 Simulation waypoint information setting

4.2 捷聯(lián)算法誤差仿真分析

本節(jié)不考慮初始對(duì)準(zhǔn)誤差和慣性器件誤差，僅考查因捷聯(lián)慣導(dǎo)算法引起的導(dǎo)航參數(shù)誤差。將n系下的捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)更新、速度更新和位置更新周期均設(shè)計(jì)為20 ms，慣性器件（陀螺和加速度計(jì)）的采樣周期設(shè)計(jì)為10 ms，采用二子樣圓錐和劃槳補(bǔ)償算法。飛行軌跡如4.1 節(jié)所述，則捷聯(lián)慣導(dǎo)算法誤差如圖10所示。

圖7 仿真軌跡中的姿態(tài)信息Fig.7 Attitude information in simulation trajectory

圖8 仿真軌跡中的速度信息Fig.8 Speed information in the simulation trajectory

圖9 仿真的三維軌跡Fig.9 Simulated 3D trajectory

由仿真結(jié)果可以看出，載體中低速機(jī)動(dòng)時(shí)帶來的導(dǎo)航誤差幾乎可以忽略，采用2 子樣10 ms 采樣周期的更新算法，姿態(tài)誤差在0.3角秒量級(jí)，水平速度誤差在2×10-3m/s 量級(jí)，水平位置誤差在4 m 內(nèi)，符合算法誤差在慣性器件誤差5%的要求之內(nèi)。

圖10 捷聯(lián)慣導(dǎo)導(dǎo)航誤差仿真結(jié)果(僅由算法引起的誤差)Fig.10 Strapdown Inertial Navigation System simulation error result(error caused only by algorithm)

4.3 慣性器件誤差仿真分析

采用4.1 節(jié)的飛行軌跡，本節(jié)不考慮初始對(duì)準(zhǔn)誤差但考慮慣性器件誤差，主要考查慣性器件誤差存在時(shí)的導(dǎo)航參數(shù)誤差。飛行軌跡、慣導(dǎo)更新周期及采樣周期與4.2 節(jié)相同，慣性器件的誤差參數(shù)如下所述：

陀螺常值漂移：［0.01 0.01 0.01］T（°/h）；

陀螺刻度系數(shù)誤差：［40 50 60］T（ppm）；

加計(jì)常值偏置：［50 50 50］T（μg）；

加計(jì)刻度系數(shù)誤差：［50 50 50］T（ppm）；

由于高度通道是發(fā)散的，當(dāng)加入慣性器件誤差時(shí)，發(fā)散更加嚴(yán)重，這時(shí)需要增加高度阻尼，這樣才能保證高度通道的收斂。則慣性器件導(dǎo)致的導(dǎo)航參數(shù)誤差如圖11所示。

由圖10 和圖11所示的仿真結(jié)果知，由于高度阻尼的影響，圖11 中高度通道的速度和位置比圖10中無高度阻尼的結(jié)果要好的多，則高度通道的比較結(jié)果無意義。比較水平方向可知，不含慣性器件誤差條件下姿態(tài)、水平速度和位置誤差均比包含器件誤差條件下姿態(tài)、水平速度和位置誤差的5%還小，即算法引起的導(dǎo)航參數(shù)誤差比慣性器件誤差引起的導(dǎo)航參數(shù)誤差的5%還小。因此，在大型民航客機(jī)所選慣性器件精度的條件下，所設(shè)計(jì)的捷聯(lián)慣導(dǎo)算法能滿足導(dǎo)航性能的要求。

4.4 三套慣導(dǎo)混合位置仿真分析

4.4.1 仿真軌跡及參數(shù)設(shè)置

（1）仿真軌跡

軌跡同4.1節(jié)。

（2）參數(shù)設(shè)置

三套慣組的慣性器件誤差參數(shù)分別為：

IRS1：

圖11 捷聯(lián)慣導(dǎo)仿真結(jié)果（含慣性器件誤差）Fig.11 Strapdown Inertial Navigation System simulation results(including inertial device errors)

陀螺常值漂移為［0.01 0.01 0.01］（°/h），

加計(jì)常值偏置為［50 50 50］（μg），

IRS1初始對(duì)準(zhǔn)誤差設(shè)為［-0.17′0.17′2.76′］

IRS2：

陀螺常值漂移為［-0.01 0.009-0.012］（°/h），

加計(jì)常值偏置為［48-52 50］（μg），

IRS2初始對(duì)準(zhǔn)誤差設(shè)為［0.18′0.17′-2.76′］

IRS3：

陀螺常值漂移為［0.009-0.013 0.01］（°/h），

加計(jì)常值偏置為［-47 51-50］（μg），

IRS3初始對(duì)準(zhǔn)誤差設(shè)為［-0.18′-0.16′2.48′］。

4.4.2 仿真結(jié)果

（1）IRS無故障

根據(jù)三套慣導(dǎo)融合算法進(jìn)行仿真，仿真總時(shí)間3500 s，慣導(dǎo)采樣周期為10 ms，更新周期20 ms，三套慣導(dǎo)經(jīng)過位置融合后的位置誤差結(jié)果如圖12，仿真中高度通道引入了氣壓高度阻尼。

從圖12看出，三套慣導(dǎo)根據(jù)歷史信息加權(quán)融合后，最佳混合位置誤差δL和δλ分別在400 m 和300 m 之內(nèi)，遠(yuǎn)小于單獨(dú)一套慣導(dǎo)獨(dú)自進(jìn)行位置更新的誤差。

（2）IRS有故障

第一套IRS1陀螺常值漂移為［0.01 0.01 1］（°/h），其余仿真軌跡及參數(shù)設(shè)置如4.4.1節(jié)所述，根據(jù)三套慣導(dǎo)融合算法進(jìn)行仿真，仿真總時(shí)間3500 s，慣導(dǎo)采樣周期為10 ms，更新周期20 ms，仿真中高度通道引入了氣壓高度阻尼。三套慣導(dǎo)經(jīng)過位置融合后的位置誤差結(jié)果如圖13，三套IRS 融合有效性標(biāo)志和故障慣組編號(hào)如圖14所示。

圖12 三套IRS融合的位置誤差Fig.12 Position error of three sets of IRS fusion

圖13 有故障時(shí)三套IRS融合的位置誤差Fig.13 Position error of three sets of IRS fusion when there is a failure

圖14 三套IRS融合有效性標(biāo)志和故障慣組編號(hào)Fig.14 Three sets of IRS fusion validity flags and failure habit numbers

從圖14易看出，1800 s之前三套慣組進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，1800 s 檢測出IRS1 的故障后對(duì)其隔離，IRS2與IRS3 兩套慣組根據(jù)歷史信息加權(quán)融合。從圖13看出，對(duì)IRS1 故障隔離后，最佳混合位置誤差δL和δλ分別在400 m 和500 m 之內(nèi)，遠(yuǎn)小于單獨(dú)一套慣導(dǎo)獨(dú)自進(jìn)行位置更新的誤差。

5 結(jié)論

本文針對(duì)民航飛機(jī)飛行過程中導(dǎo)航精度低的問題，提出了一套多套慣導(dǎo)融合解決方案，繼而研究了三套慣導(dǎo)平行安裝冗余配置條件下最優(yōu)導(dǎo)航解的求解方法。得到如下的結(jié)論：

（1）在IRS 無故障時(shí)，三套慣導(dǎo)可以根據(jù)歷史信息加權(quán)融合后，得出最佳混合位置誤差在400 m之內(nèi)；

（2）在IRS 有故障時(shí)，最佳混合位置誤差在500 m 之內(nèi)，均遠(yuǎn)小于單獨(dú)一套慣導(dǎo)獨(dú)自進(jìn)行位置更新的誤差。

如上的結(jié)果可為民航客機(jī)導(dǎo)航提供更加精確的理論依據(jù)。