田載今

一、二次根式的概念

用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，由此數(shù)學(xué)進(jìn)入了用抽象符號(hào)代表具體數(shù)值進(jìn)行研究的新階段.例如，式子aⁿ可以表示各種乘方.隨著式子中的字母取值的變化，它可表

因?yàn)殚_(kāi)平方的運(yùn)算應(yīng)用很廣泛.所以很多重要的公式都是二次根式的形式，例如兩點(diǎn)間的距離公式.在平面直角坐標(biāo)系中，任取兩點(diǎn)A（m，n）與B（p，q），則這兩點(diǎn)之間的距離

物體自由落下一定高度時(shí)，所用時(shí)間為t=√2h/g，在這個(gè)二次根式中，h是下落高度，g是一個(gè)常數(shù)（即重力加速度，約為9.8m/s2）.這個(gè)物理學(xué)中的重要公式的發(fā)現(xiàn)要?dú)w功于意大利科學(xué)家伽利略.1589年的一天，伽利略在比薩斜塔上，將兩個(gè)質(zhì)量相差很大的鐵球，從同一高度同時(shí)放開(kāi).圍觀群眾驚訝地發(fā)現(xiàn)，兩球竟然同時(shí)落地.這個(gè)事實(shí)推翻了古希臘學(xué)者亞里士多德所作的“物體下落速度與其質(zhì)量成正比，物體越重，物體下落得越快”的論斷.伽利略用上述二次根式精確地揭示了自由落體定律：物體從高處下落所用的時(shí)間，與它的質(zhì)量無(wú)關(guān)，只與高度有關(guān)，

加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方，統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)運(yùn)算，用字母或數(shù)表示代數(shù)運(yùn)算的式子，統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)式.整式、分式和根式都屬于代數(shù)式，整式和分式中，不含字母的開(kāi)方運(yùn)算，字母只可進(jìn)行加、減、乘（含乘方）、除四則運(yùn)算;根式表示開(kāi)方運(yùn)算，其根號(hào)下可以含字母.因此整式、分式、根式合起來(lái)，就能完整地表示數(shù)與字母的全部代數(shù)運(yùn)算了.

二、二次根式的性質(zhì)

√a（a≥0）有兩重含義：既表示對(duì)a進(jìn)行開(kāi)平方，并且取算術(shù)平方根的運(yùn)算：又表示運(yùn)算的結(jié)果，即a的算術(shù)平方根.這里的被開(kāi)方式a≥0，開(kāi)方后的算術(shù)平方根√a≥0，此即二次根式的非負(fù)性.

三、二次根式的運(yùn)算

二次根式的加減運(yùn)算，主要是合并同類(lèi)二次根式（即根號(hào)內(nèi)完全相同的根式，如√3ab與5√3ab）.為此通常先把參與運(yùn)算的二次根式化簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)同類(lèi)二次根式后再合并.

例3 一個(gè)物體從4m高處自由下落著地，它下落過(guò)程中經(jīng)過(guò)前1m和后3m所用的時(shí)間相同嗎？為什么？

提示：從靜止開(kāi)始的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律為h= 1/2 gt2，其中h.t分別表示下落距離和下落所用時(shí)間，g為重力加速度（是一個(gè)常數(shù)）.

二次根式的乘除運(yùn)算，類(lèi)似于整式的乘除運(yùn)算，兩者的運(yùn)算律與公式基本通用.運(yùn)算中還常運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，

例4 兩圓的面積分別為S1與S2 （S1>S2），以?xún)蓤A半徑的平均值為半徑作一新圓.

（1）求新圓的面積，并比較它與原來(lái)兩圓面積的大?。?/p>

（2）求新圓與原來(lái)小圓面積之差，以及原來(lái)大圓與新圓面積之差：

（3）求（2）中兩差之比.