王秋月 劉現(xiàn)超

等腰三角形是特殊的三角形.它既具有一般三角形的性質(zhì)，又具有自己的特殊性質(zhì)，若題目中沒有明確邊、角的關(guān)系，解題時(shí)要進(jìn)行分類討論.

一 邊產(chǎn)生的分類討論

例1，若等腰三角形的一邊長為4 cm.另一邊長為9 cm，則它的周長為____.

解：當(dāng)腰為4 cm時(shí)，4+4<9，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，舍去.

當(dāng)腰為9 cm時(shí)，9+9+4=22 （cm），所以三角形的周長為22 cm.

點(diǎn)撥：在涉及等腰三角形的腰和底時(shí)，要進(jìn)行分類討論，并依據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍.

例2 如果等腰三角形的三邊長均為整數(shù)且其周長為10.那么它的三邊長為

，

解：可采用湊數(shù)法進(jìn)行分類（腰長依次取l，2，3，…）：

（1）1，1，8;

（2）2，2，6;

（3）3，3，4;

（4）4，4，2.

但（1）（2）不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去.故答案為3，3，4或4，4，2.

側(cè)3 如圖1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在x軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有

個(gè).

解：以A點(diǎn)為圓心，以AO為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)Pl（不與點(diǎn)0重合）;以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)P2和點(diǎn)P3;作OA的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)P4.所以P點(diǎn)共有4個(gè).

點(diǎn)撥：運(yùn)用“兩圓一線”的方法得出P點(diǎn)的個(gè)數(shù).

二 角產(chǎn)生的分類討查）

例4 有一個(gè)內(nèi)角為140°的等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

.

解：當(dāng)頂角為140°時(shí)，兩個(gè)底角分別為20°· 20°.

當(dāng)?shù)捉菫?40°時(shí)，140°+140° >180°，不滿足三角形內(nèi)角和定理，舍去，

點(diǎn)撥：在涉及等腰三角形的頂角和底角時(shí)，要進(jìn)行分類討論，并依據(jù)三角形內(nèi)角和定理對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍.

三 周長中的分類討論

例5 在△ABC中，AB =AC=12 cm，BC=6 cm.D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿B→A →C的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，那么當(dāng)t=____時(shí)，過D，P兩點(diǎn)的直線將△ABC的周長分成兩個(gè)部分，其中一部分是另一部分的2倍.

解：分兩種情況討論：

（1）當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)（圖2），由題意知2 （BD+BP）=AP+A C+CD，

∴ 2（3+t）=12=t+12+3.

解得t=7.

（2）當(dāng)P點(diǎn)在AC上時(shí)（圖3），由題意知BD+A B+A P=2 （PC+CD），

∴ 3+12+t- 12=2（24-t+3）.

解得t=17.

綜上，當(dāng)t=7或t=17時(shí)，過D，P兩點(diǎn)的直線將△ABC的周長分成兩個(gè)部分，其中一部分是另一部分的2倍，

四 圖形變化引起的分類討論）

例6 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為____.

解：如圖4所示，當(dāng)一腰上的高在三角形的內(nèi)部時(shí)，易得頂角為60°;當(dāng)一腰上的高在三角形的外部時(shí)（圖5），易得頂角為120°.可見頂角的度數(shù)為60°或120°.

點(diǎn)撥：解題時(shí)首先要確定腰上的高是在三角形內(nèi)，還是在三角形外，這樣就自然產(chǎn)生了兩種分類.同學(xué)們?nèi)菀缀鲆暤诙N情況而出現(xiàn)錯(cuò)誤.解無圖題時(shí)，一定要注意各種可能的情況.

五 對(duì)稱軸個(gè)數(shù)引起的分類討論

例7 等腰三角形有幾條對(duì)稱軸？

解：當(dāng)?shù)妊切蝺H有兩邊相等時(shí)，有1條對(duì)稱軸：當(dāng)?shù)妊切稳叾枷嗟葧r(shí)，有3條對(duì)稱軸，

六 畫等腰三角形引起的分類亙至）

例8 如圖6，△ABC中，∠C=90° ，AC=4 ，BC=3 ，AB=5.現(xiàn)以△ABC 一邊為邊，畫等腰三角形，且使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，

解：符合條件的等腰三角形有6個(gè)：