趙海

我們先來看一下山東省臨沂市2008年中考數(shù)學(xué)試卷的第25題：

題目 已知∠MAN.AC平分∠MAN.

（1）在圖1中，若∠MAN=120°.∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC.

（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由.

解析：（1）∵ ∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴ ∠ CAD=∠CAB=60 °.

∴AD=1/2AC，AB=1/2AC.

∴ AB+AD=AC.

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

如圖3，過點(diǎn)C作CE⊥AM，CF⊥AN，垂足分別為E.F則∠CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN，故CE=CF.

∵ ∠ABC+∠ADC =180°. ∠ADC+∠CDE=180°.

∴ ∠ CDE=∠ABC.

∴ △CDE≌△CBF（角角邊），DE=BF.

由（1）知AF+AE=AC，故AB-BF+AD+DE=AC.即AB+AD=AC.

【反思1】

（2）題還有沒有其他解法？

如圖4，過C作CG//AB交AM于G.

易證△GAC是等邊三角形，

∴

CG=A G=AC，∠CGD=60°=∠CAB.

而∠GDC=∠ABC（均與∠ADC互補(bǔ)），

∴ △GDC≌△ABC（角角邊）.

∴ GD=AB+AB+AD=GD+AD=AG=AC.

【反思2】

已知∠MAN =120°.點(diǎn)D，B分別在∠MAN的邊AM，AN上，點(diǎn)C在∠MAN的平分線上.若CD=CB.則AB+AD=AC是否成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由.

顯然不成立，把圖l中的點(diǎn)D，B“向外”移動同樣的距離，即可看出.

【反思3】

如果∠MAN≠120°，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立呢？

如圖5、圖6，已知∠MAN，∠MAN≠120°，AC平分∠MAN.點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)D在AM上（AB>AD），∠ABC+∠ADC=180°.

如圖6，過點(diǎn)C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，則∠ CED=∠CFB=90°.

因AC平分∠MAN，故CE=CF

易證△CDE≌△CBF（角角邊）.

∴DE=BF.

容易證明AE=AF

∴ AB+AD=AE+AF=2AF

假設(shè)AB+AD=AC，則2AF=AC，所以∠ACF=30°.

∴ ∠ CAF=60°。從而∠MAN=120°.

這與∠MAN≠120°矛盾，

∴結(jié)論AB+AD=AC不成立.

對于圖5的情形，可類似地進(jìn)行分析，同樣得出上述結(jié)論.

練習(xí)

1.如圖7，AC平分∠MAⅣ.點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于 F.∠ABC+ ∠ADC=180°試證明：CB =CD.AB+AD=2AF

2，如圖7.已知C是∠MAN內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于F，CB=CD， ∠ABC+ ∠ADC=180°.試證明：AC平分∠MAN.AB+AD=2AF

3.如圖7.AC平分∠MAN.點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)D在AM上，AB>AD.CF⊥AB于F，AB+AD=2AF.試證明：

（1） CB=CD;

（2） ∠ABC+∠ADC=180°.

4.已知∠ MAN=120°.點(diǎn)D，B分別在∠MAN的邊AM，AN上運(yùn)動，且保持BD=a（定長）.以肋為邊在∠MAN的內(nèi)部作等邊△BCD，如圖8.則在點(diǎn)D，B的運(yùn)動過程中，點(diǎn)C有怎樣的運(yùn)動規(guī)律？

5.如圖9.AC平分∠MAN.點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)、D在AM上，AB>AD. CB=CD，CE⊥AB于E若AE=3，CE=2，則四邊形ABCD的面積是

-.

6.如圖10所示.AC平分∠MAN.點(diǎn)B在AN上，點(diǎn)D在AM上，AB>AD.若∠MAN=50°，CB=CD，求∠CBD的度數(shù).