崔 祚, 姜洪州, 劉圣陶

(1.貴州理工學(xué)院航空航天工程學(xué)院， 貴陽 550003； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001； 3.北京遙測技術(shù)研究所， 北京 100094)

為了攫取食餌、逃避敵害和繁殖后代等生存需要，魚類利用身體和尾鰭的往復(fù)擺動(dòng)，獲得遠(yuǎn)超過任何航行器的游動(dòng)性能，如快速的巡游速度、高機(jī)動(dòng)性和高效率等[1]。目前，仿生學(xué)研究表明，魚類快速高效的游動(dòng)性能與其外形尺寸、魚體機(jī)械特性以及流體環(huán)境等因素存在著非常復(fù)雜的關(guān)系[2-4]。生物學(xué)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)魚體尾鰭的擺動(dòng)頻率與其身體的固有頻率相接近時(shí)，魚類能夠獲得較好的游動(dòng)性能[4-5]。而魚體本身的固有頻率是由其骨骼、肌肉以及皮膚等黏彈性生物組織來決定的。受此啟發(fā)，從仿生學(xué)的角度出發(fā)，在考慮流體環(huán)境影響的前提下，分析魚體動(dòng)力學(xué)參數(shù)與游動(dòng)性能之間的關(guān)系，為后續(xù)機(jī)器魚設(shè)計(jì)提供理論參考。

目前，魚類仿生學(xué)建模主要包括動(dòng)力學(xué)建模和流固耦合建模兩類。流固耦合建模主要依賴計(jì)算流體力學(xué)方法，通過數(shù)值計(jì)算魚體與流體間相互作用力，分析魚類的游動(dòng)機(jī)理。由于魚體外形復(fù)雜且邊界運(yùn)動(dòng)幅度較大，該建模需要消耗大量計(jì)算資源，難度較大，這方面研究大多未考慮魚體的阻抗特性。在考慮機(jī)械諧振在魚類游動(dòng)影響的前提下，通過動(dòng)力學(xué)建模，側(cè)重研究魚體阻抗特性與游動(dòng)性能之間關(guān)系。這些研究結(jié)論將向機(jī)器魚設(shè)計(jì)者充分展示魚體阻抗特性對游動(dòng)性能影響的重要性。

1 柔性機(jī)器魚的動(dòng)力學(xué)模型

在柔性機(jī)器魚動(dòng)力學(xué)建模中，不僅需要考慮魚體本身的機(jī)械特性，還需考慮周圍流體環(huán)境的影響。例如，Tytell等[6]發(fā)現(xiàn)七鰓鰻游動(dòng)過程中產(chǎn)生最大加速度和最大穩(wěn)態(tài)速度所對應(yīng)的身體剛度是不同的。在動(dòng)力學(xué)建模方面，McMillen等[7]利用桿理論和Taylor抗力理論，建立了柔性魚體的離散動(dòng)力學(xué)模型。Kohannim等[8]通過建立兩關(guān)節(jié)離散魚體模型，分析了魚體剛度與其游動(dòng)性能之間的關(guān)系。

自然界中魚類通過其頡抗肌群產(chǎn)生彎曲力矩，并由肌腱驅(qū)動(dòng)各尾椎單元體發(fā)生微小的相對旋轉(zhuǎn)，整體表現(xiàn)為魚體波曲線，如圖1所示。目前，魚體動(dòng)力學(xué)模型主要有多體動(dòng)力學(xué)模型和黏彈性梁模型兩類。在多體動(dòng)力學(xué)模型中，魚體簡化為多剛體串聯(lián)結(jié)構(gòu)，該模型未考慮魚體的阻抗特性，適合魚類運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。將魚體看作浸入變截面黏彈性梁，采用黏彈性梁模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，利用梁理論分析彎曲變形，對應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程為高階偏微分方程[9]。但由于魚體橫截面、魚體阻抗分布等非線性因素，理論上很難分析動(dòng)力學(xué)特性。

圖1 柔性機(jī)器魚的動(dòng)力學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic drawing of dynamic model of robotic fish

Daou等[10]通過指數(shù)函數(shù)描述魚體外形，通過求解偏微分方程得到了魚體波近似解。Nguyen等[11]在忽略魚體外形變化情況下，利用格林函數(shù)得到了魚體波理論解。在上述動(dòng)力學(xué)分析中，魚體剛度和阻尼均假定為常數(shù)，缺少對游動(dòng)性能影響的分析。鑒于此，將魚類的生理結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，肌群的驅(qū)動(dòng)力被簡化為分布在魚體前端的集中力矩，而魚體的黏彈性機(jī)械特性則由脊椎的阻抗進(jìn)行描述[12]。在此基礎(chǔ)上側(cè)重研究魚體阻抗對游動(dòng)性能的影響。

根據(jù)上述動(dòng)力學(xué)模型，對其進(jìn)行受力分析，如圖2所示。當(dāng)不計(jì)剪切應(yīng)力及截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，采用伯努利-歐拉梁方法對其分析，對應(yīng)的控制方程為

(1)

Ly為魚體微段的水動(dòng)力；Mb為驅(qū)動(dòng)力矩經(jīng)過黏彈性材料變形后 作用在截面上的彎曲力矩；S為剪切力；Q為截面所受的張力； h(x,t)為魚體中心線的側(cè)向位移，即魚體波曲線圖2 魚體脊椎彎曲變形的受力分析Fig.2 The dynamic analysis of fish’s bending spine

由于魚類游動(dòng)的流體雷諾數(shù)較高(104～106)，故魚體與流體間的相互作用力表現(xiàn)為慣性力。根據(jù)Lighthill大擺幅細(xì)長體理論[13]，魚體推力是由向后傳播的魚體波運(yùn)動(dòng)所對應(yīng)周圍流體的附加動(dòng)量所產(chǎn)生的，即作用于單位長度魚體上的側(cè)向力等于單位長度內(nèi)流體虛質(zhì)量所對應(yīng)的虛動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)的表達(dá)式為

(2)

式(2)中：ma為虛質(zhì)量。綜合上述分析，將式(1)化解，得

(3)

求解機(jī)器魚的固有頻率時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩為0，當(dāng)魚體脊椎的彈性EI和阻尼μI為常數(shù)，設(shè)μI=η(EI)，η為黏彈性系數(shù)。根據(jù)式(3)的形式，利用分離變量法進(jìn)行求解，設(shè)解的形式為φ(x)q(t)，對時(shí)間偏導(dǎo)項(xiàng)q(t)的表達(dá)式eiλt，則幅值項(xiàng)可化解為

(4)

結(jié)合自由端-自由端邊界條件，求解得到機(jī)器魚的固有頻率為

(5)

式(5)中：L為魚體長度。

n=1,2,3,…

(6)

2 游動(dòng)性能分析

仿生學(xué)研究雖然表明魚體機(jī)械特性對其游動(dòng)特性有很大的影響[7-8]，如Tytell等[5]研究發(fā)現(xiàn)剛度較大的鲹科或鮪科魚類，當(dāng)固有頻率和尾鰭擺動(dòng)頻率接近時(shí)，“諧振”會(huì)對游動(dòng)性能產(chǎn)生非常重要的影響。但是，在“諧振”狀態(tài)下，動(dòng)力學(xué)參數(shù)與其游動(dòng)性能的關(guān)系方面的研究較少。

根據(jù)Lighthill的細(xì)長體理論[13]及其修正理論[14]，在充分考慮了魚體尾鰭攻角影響的前提下，機(jī)器魚平均推力T的表達(dá)式為

(7)

式(7)中：m(L)為尾鰭處的有效質(zhì)量；ωn為固有頻率；H(L)為魚體尾鰭的最大擺幅；U為魚體穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度；V為魚體波波速，V=2π/λ，其中λ為魚體波波長。

(8)

式(8)中：CD為阻力系數(shù)。

根據(jù)Lighthill的細(xì)長體理論[13]，當(dāng)機(jī)器魚的固有頻率為ωn時(shí)，游動(dòng)效率的表達(dá)式為

(9)

在上述分析中，機(jī)器魚游動(dòng)性能的評價(jià)除了魚體的固有頻率，還需要魚體末端的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。

3 生物學(xué)實(shí)例研究

為研究柔性機(jī)器魚的動(dòng)力學(xué)參數(shù)與游動(dòng)性能之間的關(guān)系，以鱈魚(saithe)為研究對象[15-16]，根據(jù)其生物學(xué)參數(shù)(表1)建立魚體動(dòng)力學(xué)模型，并求解其固有頻率。然后在該頻率下驅(qū)動(dòng)，得到魚體波參數(shù)，并以此分析其游動(dòng)性能的變化情況。

表1 鱈魚游動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

3.1 游動(dòng)頻率的分析

由式(6)可知，魚體的固有頻率是由其身體本身和周圍流體共同決定的。結(jié)合生物學(xué)研究，可進(jìn)一步預(yù)測自然界魚類本身的共振頻率可以通過肌肉組織來調(diào)節(jié)，而由流體環(huán)境引起共振頻率的變化可由魚體的阻抗特性和尾體參與擺動(dòng)的長度來實(shí)現(xiàn)。

3.2 游動(dòng)速度的分析

根據(jù)文獻(xiàn)[15-16], 鱈魚的魚體波幅值分布[14]曲線如圖3所示，是通過傅里葉級數(shù)進(jìn)行描述。經(jīng)擬合，魚體波曲線幅值函數(shù)可寫為

H(x)=0.163x2-0.084x+0.021

(10)

計(jì)算尾鰭的最大擺幅H(L)=0.10L，最大擺幅導(dǎo)數(shù)H′(L)=0.24L。根據(jù)式(8)，計(jì)算鱈魚游動(dòng)速度為0.90L/s，與生物學(xué)參數(shù)(0.86L/s)相接近。其原因在于在計(jì)算速度時(shí)使用的尾鰭最大擺幅為0.10L，而實(shí)驗(yàn)觀測給出的數(shù)值為0.08L。當(dāng)尾鰭的最大擺幅越大，對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度越大。

圖3 鱈魚魚體波幅值的分布Fig.3 Lateral deflection of swimming saithe

當(dāng)利用式(8)計(jì)算游動(dòng)速度時(shí)，魚體波的波速無法確定，但滑移率(魚體波波速與游動(dòng)速度之比)小于1。故先假定魚體波波速保持不變，成比例地改變機(jī)器魚的阻抗，然后根據(jù)式(6)求解其最優(yōu)頻率，分析其在最優(yōu)頻率下驅(qū)動(dòng)的游動(dòng)速度[由式(8)計(jì)算]，并與實(shí)驗(yàn)觀測值相比較，結(jié)果如圖4所示。

在圖4(a)中，魚體游動(dòng)速度與其擺動(dòng)頻率成正比，且和尾體的擺幅以及魚體長度直接相關(guān)，該結(jié)論與生物觀測得到的結(jié)論[19-20]一致。驅(qū)動(dòng)頻率的變化范圍較小，與生物學(xué)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并不明顯，主要在于原文獻(xiàn)擺動(dòng)頻率均在3.6 Hz左右。通過平均的方法來分析該問題，發(fā)現(xiàn)該區(qū)域內(nèi)觀測得到的數(shù)據(jù)較為密集，與模型預(yù)測的數(shù)據(jù)相吻合。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)分析，柔性魚體可通過增加剛度來獲取較高的游動(dòng)速度。原因在于魚體增加剛度以提高其共振頻率來獲得所需的游動(dòng)速度，該結(jié)論與生物學(xué)觀測[21-22]相一致。根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型分析，游動(dòng)速度與魚體阻抗的平方根呈線性變化。在圖4(b)中，由于魚體阻抗的變化范圍較小，游動(dòng)速度與魚體阻抗的變化規(guī)律不明顯。

在圖4(c)和圖4(d)中，魚體游動(dòng)速度(以每個(gè)周期游動(dòng)魚體長度的倍數(shù)BL/T表示)與其滑移率成正比，與斯特魯哈數(shù)(St)成反比，且與大部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滑移率越接近1，魚體的游動(dòng)速度越大。在魚類游動(dòng)中，St常用于描述尾跡的渦街結(jié)構(gòu)，其數(shù)值范圍為0.25～0.35。在該區(qū)域范圍內(nèi)，通常認(rèn)為魚體游動(dòng)效率較高。

圖4 當(dāng)魚體波波速不變時(shí)，魚體游動(dòng)速度與 其他參數(shù)之間的關(guān)系Fig.4 The relationships between the forward speed and other parameters with wave speed being fixed

在游動(dòng)過程中，魚體波的波速可能發(fā)生變化，但該數(shù)值低于魚體的穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度，即滑移率須小于1。為進(jìn)一步研究魚體波波速對游動(dòng)速度的影響，假設(shè)魚體波的滑移率為常數(shù)0.87(生物學(xué)參數(shù))，與圖4分析相類似，結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算魚體波波速，并研究魚體的游動(dòng)速度與其他參數(shù)的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示。

圖5 當(dāng)滑移率不變時(shí)，魚體游動(dòng)速度與其他參數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationships between the forward speed and other parameters with slip ratio being fixed

在圖5中，魚體波波速隨著游動(dòng)速度的增大而增大，其他參數(shù)的變化規(guī)律也與圖4結(jié)論相類似。通過對比，可說明魚體波波速也會(huì)對游動(dòng)速度產(chǎn)生一定的影響，表明魚體在游動(dòng)過程中，滑移率可能發(fā)生變化，增大滑移率可提高其穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型，魚體的固有頻率與參與擺動(dòng)的尾體長度有關(guān)。某種意義上，尾體從左擺動(dòng)到右，消耗的時(shí)間與流體流過擺動(dòng)尾體長度的時(shí)間大約相等，即魚體波滑移率可看作流體流過擺動(dòng)尾體的長度與魚體尾鰭擺動(dòng)幅值之比?；坡试酱螅溆蝿?dòng)速度越大。結(jié)合對不同幾何外形的魚類游動(dòng)的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)魚體尾跡渦流的強(qiáng)度得益于魚體前部對流體的加速過程[23]，該結(jié)論與對魚體波滑移率的分析結(jié)果相吻合。

上述分析說明魚體通過改變阻抗使其尾體擺動(dòng)頻率與其共振頻率相匹配，以獲得所需的游動(dòng)速度。結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步預(yù)測魚體在最優(yōu)游動(dòng)狀態(tài)下，魚體擺動(dòng)頻率和尾體的阻抗分別正比于游動(dòng)速度和游動(dòng)速度的平方，該結(jié)論與文獻(xiàn)[8,18]的生物學(xué)觀測結(jié)果相一致。

3.3 游動(dòng)效率的分析

在游動(dòng)過程中，魚體內(nèi)部肌肉組織和外部流體之間存在著能量的傳遞和轉(zhuǎn)移。在能耗方面，總功率E為魚體擺動(dòng)傳遞給周圍流體的機(jī)械能，該部分能量使魚體發(fā)生彎曲擺動(dòng)。在魚體擺動(dòng)過程中，設(shè)傳遞給周圍流體的動(dòng)能為K，且其反作用力對魚體產(chǎn)生的功率記為TU，該部分功率表現(xiàn)為使魚體向前游動(dòng)的推力。從能量傳遞的過程來看，魚體肌肉組織產(chǎn)生的功率最終分為兩部分：周圍流體的動(dòng)能和流體反作用力對魚體的推力功率，即E=K+TU?？偟膩碚f，由肌肉組織提供的總功率最終通過兩部分進(jìn)行耗散：一部分是魚體所受阻力的耗散，另一部分是魚類通過側(cè)向位移將力傳遞給周圍流體進(jìn)行耗散。

當(dāng)不考慮魚體尾鰭的作用，游動(dòng)效率對應(yīng)的表達(dá)式為

(11)

當(dāng)不考慮魚體尾鰭的影響，魚體游動(dòng)效率僅與其滑移率成正比，滑移率越大，對應(yīng)的游動(dòng)效率越高；當(dāng)考慮尾鰭的影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)尾鰭側(cè)向位移彎曲程度越大，即攻角幅度越大，推力越小，對應(yīng)的效率越低。根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型，分析得到鱈魚的游動(dòng)效率為0.423。而生物學(xué)研究[17-18]發(fā)現(xiàn)鱈魚的穩(wěn)態(tài)游動(dòng)效率為0.52～0.72，該數(shù)值大于魚體的動(dòng)力學(xué)模型所求解的效率(0.423)。該誤差與所建立的動(dòng)力學(xué)模型的相關(guān)簡化有關(guān)[8,24]，因?yàn)樵谠搫?dòng)力學(xué)模型中，推力主要是由魚體的附加質(zhì)量所產(chǎn)生。如文獻(xiàn)[24]所述，當(dāng)考慮內(nèi)部肌肉傳遞功率以及水動(dòng)力學(xué)的非線性項(xiàng)時(shí)，魚體的穩(wěn)態(tài)游動(dòng)的效率可能大于0.5，這也說明了魚體動(dòng)力學(xué)特性對游動(dòng)效率的重要影響。

4 結(jié)論

從魚體動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，根據(jù)Lighthill的細(xì)長體理論，建立了柔性機(jī)器魚的動(dòng)力學(xué)模型，求解了固有頻率，并結(jié)合鱈魚的生物學(xué)參數(shù)，初步探討了魚體在諧振狀態(tài)下擺動(dòng)頻率、游動(dòng)速度和游動(dòng)效率的變化情況，得到如下結(jié)論。

(1)魚體的固有頻率是由其身體本身和周圍流體共同決定的，并預(yù)測自然界魚類本身的共振頻率可以通過肌肉組織來調(diào)節(jié)，而魚體的阻抗特性和參與擺動(dòng)的尾體長度會(huì)影響由流體環(huán)境引起共振頻率的變化。

(2)在最優(yōu)的游動(dòng)狀態(tài)下，魚體擺動(dòng)頻率和尾體的阻抗分別與游動(dòng)速度和游動(dòng)速度的平方呈正比。

(3)魚體動(dòng)力學(xué)模型對其游動(dòng)效率的計(jì)算有著很大的影響。

建立的動(dòng)力學(xué)模型在計(jì)算游動(dòng)效率方面存在一定的局限性，但總的來說，該模型為研究魚體動(dòng)力學(xué)參數(shù)與游動(dòng)性能之間的關(guān)系提供了分析思路。