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        二十一歲本科生破解數(shù)十年來未解數(shù)學(xué)難題

        2020-01-25 11:20:48
        海外星云 2020年20期
        關(guān)鍵詞:拉姆齊本科生數(shù)學(xué)

        21歲的本科生,推動(dòng)了幾十年懸而未決的數(shù)學(xué)難題。他就是麻省理工學(xué)院(MIT)數(shù)學(xué)系的Ashwin Sah,其用手中的筆和草紙,助力拉姆齊數(shù)(Ramsey number)問題的解決,而該問題這是組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的問題之一。

        “Ashwin解決的難題是數(shù)學(xué)組合學(xué)的核心問題。Ashwin之所以能解出,是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)了一些新的數(shù)學(xué)方法,而每一次突破成果的出現(xiàn),都意味著新的數(shù)學(xué)工具即將誕生”,Ashwin的導(dǎo)師——MIT數(shù)學(xué)系華裔助理教授、斯隆獎(jiǎng)得主趙宇飛表示。

        什么是拉姆齊數(shù)?

        拉姆齊數(shù)主要用于表示完全的無序是不可能的,即一個(gè)集合的元素?cái)?shù)量達(dá)到特定臨界點(diǎn)后,肯定會(huì)出現(xiàn)預(yù)先定義的某種性質(zhì)或結(jié)構(gòu)。

        以拉姆齊數(shù)的經(jīng)典案例鴿籠原理為例,10只鴿子放進(jìn)9個(gè)鴿籠,那么一定有一個(gè)鴿籠放進(jìn)了至少兩只鴿子。

        同樣的案例還有,要保證一群人中一定有兩個(gè)人的生日是同一天,那么至少需要367個(gè)人。其他例子還有,6個(gè)人中必有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí);一群人里面一定有兩個(gè)人的生日是同一天等。想要的團(tuán)規(guī)模越大,計(jì)算出精確的拉姆齊數(shù)就會(huì)越困難。

        20世紀(jì)30年代,Paul Erd s和George Szekeres兩位數(shù)學(xué)家曾研究過拉姆齊數(shù)的上下界,此后至今該問題一直讓數(shù)學(xué)界“一籌莫展”。

        匈牙利數(shù)學(xué)家曾這樣描述尋找拉姆齊數(shù)的難度:“想像有隊(duì)外星人軍隊(duì)在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否則便會(huì)毀滅地球。在這個(gè)情況,我們應(yīng)該集中所有電腦和數(shù)學(xué)家嘗試去找這個(gè)數(shù)值。若它們要求的是R(6,6)的值,我們可能要嘗試毀滅這隊(duì)外星人了?!?p>

        鴿籠原理

        而在2020年5月,Ashwin通過優(yōu)化前輩的方法,拓寬了拉姆齊數(shù)的研究邊界。其文章主要內(nèi)容是,如果有6個(gè)頂點(diǎn),它們互相通過邊來連接,此外還有15條邊著色,我們可以將每條邊涂成紅色或藍(lán)色。但是不管怎么著色,總會(huì)有3個(gè)頂點(diǎn)之間以同色邊相連,這種現(xiàn)象被稱作團(tuán)(clique),而假設(shè)是5個(gè)頂點(diǎn),情況就會(huì)發(fā)生變化?;诖?,兩種顏色、且團(tuán)的規(guī)模為3的拉姆齊數(shù)為6,也就是說要保證團(tuán)的存在,至少得有6個(gè)頂點(diǎn)。他的文章證明,一旦圖達(dá)到特定大小,就必然包含具備對應(yīng)規(guī)模的團(tuán)。

        多位學(xué)者認(rèn)為,Ashwin的證明是當(dāng)前條件下,能達(dá)到的最佳結(jié)果。此前曾研究出該問題的最佳上限的加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授大已·利隆表示,他將這一方法推向邏輯極限,并認(rèn)為雖然是本科生,但他完成的工作足以使他獲得一份教職。

        Ashwin Sah的文章

        談起首次注意到Ashwin,趙宇飛向Ashwin讀大一時(shí),趙宇飛在MIT教授研究生級(jí)別的數(shù)學(xué)組合課。當(dāng)時(shí)還是大一新生Ashwin跑來聽他的課,趙宇飛感到很驚訝,同時(shí)也擔(dān)心Ashwin可能還沒準(zhǔn)備好。但通過課后交流,發(fā)現(xiàn)Ashwin都能聽懂。除了上趙宇飛的課,他還參加數(shù)學(xué)組合學(xué)的研討課。

        11歲時(shí)在做題的Ashwin

        在4萬多名選手中斬獲銀獎(jiǎng)

        11歲時(shí)在做題的Ashwin趙宇飛

        Ashwin本人較為深刻的童年經(jīng)歷,是媽媽叫她學(xué)算數(shù),這位出生于美國俄勒岡州的零零后,曾于16歲時(shí)斬獲國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(IMO)金牌,18歲時(shí)他又獲得首屆阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競賽的銀獎(jiǎng),全球四萬多名參賽者,僅有20名選手獲得金銀銅獎(jiǎng)。

        習(xí)慣用博客記錄學(xué)生進(jìn)步的趙宇飛曾這樣寫道:“Ashwin已經(jīng)有大量的論文清單”,同時(shí)“我很高興Ashwin將留在MIT攻讀博士學(xué)位?!?/p>

        與此同時(shí),趙宇飛還推動(dòng)了Ashwin和他的另一名學(xué)生Mehtaab Sawhney的合作。

        Mehtaab Sawhney是Ashwin的小伙伴。Mehtaab也參加了趙宇飛的研究生組合學(xué)課程,因此他倆特別熟,經(jīng)常一起上課和討論。

        Ashwin和Mehtaab Sawhney

        趙宇飛發(fā)現(xiàn)后,跟他們談話說:“你們倆(既然)對于組合學(xué)都很感興趣,那么可以嘗試一起研究課題”。而他倆的正式合作也從這里開始,合作過數(shù)十篇論文,并解出很多趙宇飛一直想解的課題,對此他評價(jià)稱:“本科生研究傳統(tǒng)由來已久,但不管是數(shù)量還是質(zhì)量,無人能及Sah和Mehtaab?!?/p>

        而基于此前合作成果,Ashwin和Mehtaab Sawhney于今秋獲得由美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(AMS)、美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(MAA)和工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(SIAM)共同評定2021摩根獎(jiǎng)(Morgan Prize),該獎(jiǎng)項(xiàng)主要授予表現(xiàn)出色的美國、加拿大或墨西哥的數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生,獎(jiǎng)金為1000美元。而趙宇飛作為導(dǎo)師,其價(jià)值之一便是獲悉學(xué)生背景后,幫他們找到合適課題。

        數(shù)學(xué)生的“無知者無畏”

        趙宇飛的很多學(xué)生和Ashwin一樣,對組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著濃厚興趣,其中包括MIT華人學(xué)生姚遠(yuǎn)、張盛桐和馀鴻勛,他們都是國際奧數(shù)競賽金牌得主。目前,姚遠(yuǎn)和張盛桐已經(jīng)加入趙宇飛的科研團(tuán)隊(duì),并與MIT博士后姜子麟、博士生Jonathon Tidor一起利用圖論方法,解決了幾何學(xué)中長期未解決的等角線問題。其中,馀鴻勛在趙宇飛的指導(dǎo)下,對離散幾何課題做出重大突破,并延伸了多項(xiàng)式這一前沿?cái)?shù)學(xué)方法。

        數(shù)學(xué)是特別容易出年輕天才的領(lǐng)域,而被評為MIT優(yōu)秀導(dǎo)師的趙宇飛表示,在跟學(xué)生相處時(shí),他經(jīng)常受到鼓舞啟發(fā)。因?yàn)橐粋€(gè)從未見過太多數(shù)學(xué)方法的學(xué)生,一定程度上的“無知者無畏”,反而能想出看起來很奇怪、但其實(shí)非常新的方法。有時(shí)學(xué)生做出的結(jié)果,連數(shù)學(xué)專家都未必能想出來。

        不過他認(rèn)為,學(xué)數(shù)學(xué)天賦和積累都重要,數(shù)學(xué)需要很強(qiáng)的功底,而不管做什么研究,都是辛苦且漫長的過程,一個(gè)數(shù)學(xué)課題有時(shí)整整一月都毫無進(jìn)展,因此即便有天賦的學(xué)生也會(huì)半途而廢,但再堅(jiān)持一下,可能就會(huì)在某天突然想到新方法。

        趙宇飛認(rèn)為,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的是思想方法,而不是機(jī)械性地解固定題目。所謂數(shù)學(xué)不是給個(gè)公式就去算題,數(shù)學(xué)是一種分析型的創(chuàng)造性學(xué)科,像Ashwin做出來的結(jié)果,是他自己閱讀很多論文后,發(fā)現(xiàn)這是他的興趣點(diǎn),然后才投入時(shí)間去研究。

        在MIT工作的趙宇飛,經(jīng)常接觸到能力很強(qiáng)的中國留學(xué)生,他很愿意指導(dǎo)中國留學(xué)生,并希望他們能更主動(dòng)地找他探討問題。他認(rèn)為,中國的教育機(jī)制讓學(xué)生們打下了扎實(shí)基礎(chǔ),但很多學(xué)生只是被動(dòng)地期待導(dǎo)師來布置課題,而非積極探索熱愛的方向,這樣或許可以取得一些短期成績,但不利于取得重大進(jìn)展。

        趙宇飛

        Ashwin的成果,離不開趙宇飛的指導(dǎo),未來在教學(xué)方面他會(huì)把多年研究成果,整理成研究生組合學(xué)課程的教學(xué)材料,并把教學(xué)視頻放在MIT公開課網(wǎng)站上。他還希望能把這一課程寫成一本書,從而給更多從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)接觸組合數(shù)學(xué)的窗口。

        提到數(shù)學(xué)畢業(yè)生的出路,趙宇飛表示,數(shù)學(xué)出身的人當(dāng)然可以做含數(shù)學(xué)在內(nèi)的學(xué)科研究,比如去做計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué),數(shù)學(xué)教給他們的思想方法在很多學(xué)科都管用。如果不想留在學(xué)術(shù)界,他們可以去金融公司或者科技公司,這些公司都很重視數(shù)學(xué)好的學(xué)生。(摘自美《深科技》) (編輯/萊西)

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