石光澤

[摘? 要] 隨著教育改革的不斷推進(jìn)，現(xiàn)如今的中考題也越來(lái)越“活”，有些試題還充滿生活氣息. 這就要求學(xué)生在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上，要將所學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相結(jié)合，通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際分析問(wèn)題并解決問(wèn)題. 文章以一道試題為例，從該題的亮點(diǎn)賞析、思想滲透和教學(xué)啟示三方面進(jìn)行分享，以期給同行們帶來(lái)啟發(fā).

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)啟示;試題;問(wèn)題

波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于善于解題. ”數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一是通過(guò)提高學(xué)生的解題能力，有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 為了考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況，檢驗(yàn)學(xué)生的分析、推理、思維以及解題等綜合能力，考試中常會(huì)出現(xiàn)一些靈活的試題，讓不少學(xué)生望而卻步. 其實(shí)，在遇到解題障礙時(shí)，只要學(xué)會(huì)換個(gè)角度進(jìn)行思考，不拘泥于一種方法，深究問(wèn)題的本源，一定能找到解題的辦法. 教師可從多角度出發(fā)研究試題，充分演繹出經(jīng)典例題的生命力，以讓學(xué)生迸發(fā)出智慧的火花，拓展思維，形成良好的數(shù)學(xué)思想. 本文以一道考題為例，談?wù)動(dòng)杀绢}的教學(xué)啟示，與同行共勉.

■ 原題呈現(xiàn)

某科研中心規(guī)劃建一幢員工宿舍樓，因?qū)嶒?yàn)過(guò)程中有輻射產(chǎn)生，需考慮兩項(xiàng)配套工程：①宿舍樓到實(shí)驗(yàn)室中間修建一條直路;②對(duì)新建宿舍樓做防輻射處理. 已知實(shí)驗(yàn)室到宿舍樓的直線距離x千米與防輻射費(fèi)用y萬(wàn)元之間的關(guān)系式為：y=a■+b（0≤x≤9），當(dāng)實(shí)驗(yàn)室與宿舍樓的直線距離為1千米時(shí)，所需的防輻射費(fèi)用為720萬(wàn)元;實(shí)驗(yàn)室與宿舍樓的直線距離為9千米或大于9千米時(shí)，輻射的影響極小，忽略不計(jì)，可以不進(jìn)行防輻射處理. 假設(shè)修路的費(fèi)用每公里為m萬(wàn)元，對(duì)應(yīng)的工程費(fèi)w=防輻射費(fèi)+修路費(fèi).

（1）實(shí)驗(yàn)室到宿舍樓的距離x=9千米時(shí)，防輻射的費(fèi)用y=（？搖? ? ? ?）萬(wàn)元，a=（? ? ? ? ），b=（? ? ? ?？搖）.

（2）如果修路的費(fèi)用每公里為90萬(wàn)元，求當(dāng)宿舍樓到實(shí)驗(yàn)室的距離是多少千米時(shí)，配套工程費(fèi)w最少？

（3）若配套工程費(fèi)低于675萬(wàn)元，且宿舍樓到實(shí)驗(yàn)室的距離小于9千米，求修路費(fèi)用每公里m萬(wàn)元的最大值是多少.

■ 試題賞析

1. 緊扣大綱，以教材為本

乍眼一看，本題很有難度，甚至有超綱的嫌疑，試題中的函數(shù)含有根式，讓不少學(xué)生望而卻步. 仔細(xì)讀題后，發(fā)現(xiàn)教材中也曾有類(lèi)似題型出現(xiàn)，問(wèn)題（1）是運(yùn)用二元一次方程組來(lái)求函數(shù)關(guān)系式里未知的系數(shù);問(wèn)題（2）是根據(jù)已知條件，構(gòu)建新的關(guān)系式，再求解. 由此可見(jiàn)，命題者是以教材為原型，加以生活場(chǎng)景的變化，讓學(xué)生覺(jué)得試題既熟悉又陌生，雖不能用現(xiàn)成的函數(shù)模型來(lái)解題，但又覺(jué)得此題可解. 這就要求學(xué)生有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，凸顯了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，有效地考查了學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的實(shí)踐能力. 本試題符合新課標(biāo)所提倡的將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活實(shí)際相聯(lián)系的教育理念.

本題緊扣教學(xué)大綱與教材原型，卻又突破常規(guī)地加以變化，既考查了學(xué)生基本功的扎實(shí)性，又有效地強(qiáng)化了數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的實(shí)際應(yīng)用. 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有二元一次方程組與二次函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容;考核的內(nèi)容有建模、方程、轉(zhuǎn)化與分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，有效地考查了學(xué)生的理解能力、思維能力、分析能力以及探究能力等. 這種設(shè)計(jì)，讓一些只注重題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練，不注重?cái)?shù)學(xué)思想與解題技巧積累的學(xué)生感到無(wú)計(jì)可施.

2. 突破思維定式，實(shí)現(xiàn)模型抽象

試題呈現(xiàn)的函數(shù)和教材中呈現(xiàn)的函數(shù)模型有著明顯的差別，這就要求學(xué)生通過(guò)探究、類(lèi)比、抽象等方法，結(jié)合原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破思維定式，實(shí)現(xiàn)模型抽象. 這也給教師提供了一個(gè)信息，在試題設(shè)計(jì)或教學(xué)活動(dòng)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題——探究——驗(yàn)證”的過(guò)程，讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得相關(guān)的知識(shí)與技能，積累經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)用心體會(huì)模型思想的本質(zhì)，從而產(chǎn)生創(chuàng)新意識(shí)，有效地解決各類(lèi)問(wèn)題.

3. 由淺入深，滲透模型思想

命題者將問(wèn)題由淺入深地進(jìn)行設(shè)計(jì)，盡可能地降低起點(diǎn)，通過(guò)層層遞進(jìn)的方式讓不同層次的學(xué)生得分，難度系數(shù)在0.4左右，具有選拔拉分的功能，適合作為考卷上的最后幾題，起到把關(guān)作用，又具有滲透建模思想等作用. 如第（2）問(wèn)中呈現(xiàn)的y萬(wàn)元與x千米的關(guān)系式y(tǒng)=a■+b（0≤x≤9），決定了w與x的函數(shù)關(guān)系式是非典型函數(shù)w=90x-360■+1080（0≤x≤9）. 學(xué)生通過(guò)觀察、分析得出x=（■）2，原來(lái)的函數(shù)關(guān)系式被轉(zhuǎn)化為w=90（■）2-360■+1080，如此就將一個(gè)陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化成熟悉函數(shù)的模型. 問(wèn)題（3）對(duì)學(xué)生的要求就更高了，需從題干中“配套工程費(fèi)低于675萬(wàn)元”的條件抽象出關(guān)于m的不等式1080-■≤675.

本題設(shè)計(jì)的靈魂就在于考查學(xué)生的建模思想，第（2）問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式若轉(zhuǎn)化成功，此題簡(jiǎn)易;轉(zhuǎn)化失敗，此題難解. 參考教學(xué)大綱對(duì)不等式的教學(xué)要求，考慮到大部分學(xué)生的水平，若將關(guān)于m的不等式設(shè)計(jì)為一元一次不等式會(huì)顯得更加合理.

■ 教學(xué)啟發(fā)

1. 邊讀邊標(biāo)，邊標(biāo)邊思

教師在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，可要求學(xué)生首先閱讀試題，在讀題、審題過(guò)程中圈出關(guān)鍵詞或條件，思考這些關(guān)鍵詞或條件的作用，據(jù)此能獲得怎樣的結(jié)論等，并在關(guān)鍵性詞語(yǔ)或條件旁作簡(jiǎn)單的標(biāo)注.

如題中的“當(dāng)宿舍樓到實(shí)驗(yàn)室的距離為1千米的時(shí)候，所需防輻射的費(fèi)用為720萬(wàn)元”，此條件怎樣轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言？作何標(biāo)注？學(xué)生會(huì)意識(shí)到：當(dāng)x=1時(shí)，y=720;再如題中“當(dāng)宿舍樓到實(shí)驗(yàn)室的距離為9千米或大于9千米的時(shí)候，輻射的影響很小，可忽略不計(jì)”可標(biāo)注什么？學(xué)生能很快明白當(dāng)x≥9時(shí)，y=0.

在教師的循循善誘下，學(xué)生看到問(wèn)題（2）自然會(huì)添加標(biāo)注“m=90”;看到問(wèn)題（3）會(huì)添加標(biāo)注“w≤675，x<9”. 如此清晰的標(biāo)注會(huì)讓未知量逐漸浮出水面，題中的一些數(shù)量關(guān)系也逐漸明朗，明顯縮短學(xué)生解題的時(shí)間. 這種邊讀邊標(biāo)，邊標(biāo)邊思的習(xí)慣一旦養(yǎng)成，對(duì)學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展具有顯著作用.

2. 問(wèn)題引領(lǐng)，誘發(fā)思考

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于勤思考. ”問(wèn)題作為思考的起點(diǎn)，具有指導(dǎo)學(xué)生思考方向的重要作用. 因此，有問(wèn)題才能誘發(fā)學(xué)生的思考，在問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生才有正確的思考方向.

如遇到問(wèn)題（2）的時(shí)候，教師可先引導(dǎo)學(xué)生觀察w=90x-360■+1080這個(gè)函數(shù)，思考此函數(shù)的變量部分可不可以轉(zhuǎn)化成我們熟悉的某種形式，轉(zhuǎn)化方法是什么？帶著這樣的問(wèn)題，經(jīng)思考發(fā)現(xiàn)x與■的關(guān)系是x=（■）2，故此問(wèn)題可使用二次函數(shù)的模型來(lái)解決. 若設(shè)■=z，則函數(shù)關(guān)系式為w=90z2-360z+1080，w最小時(shí)z=2，x的值為4.

問(wèn)題（3）難度系數(shù)更大，主要體現(xiàn)在“w≤675且x<9”時(shí)能獲得什么結(jié)論. 針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師可引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)方面進(jìn)行思考.

正面思考：根據(jù)w=mx-360■+1080和w≤675，得m≤-405■+360·■，到這一步學(xué)生就不知道后續(xù)如何求解了. 教師提示學(xué)生從化未知為已知的角度來(lái)解決問(wèn)題，在教師的引導(dǎo)和學(xué)生思考中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題（2）竟然有異曲同工之處. 若設(shè)■=t，則-405■+360■轉(zhuǎn)化為-405t2+360t，所以當(dāng)t=■時(shí)，有最大值為80，此時(shí)x=■，m≤80.

同時(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題：若一條拋物線的開(kāi)口向上，函數(shù)值小于等于675，請(qǐng)思考與m有關(guān)的結(jié)論;或畫(huà)直線w=675，考慮這條直線和拋物線的交點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)思考后發(fā)現(xiàn)此題的關(guān)鍵因素是w的最大值不超過(guò)675萬(wàn)元.

反面求解：教師引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)w≥675且x<9時(shí)，m的取值范圍如何. 根據(jù)這個(gè)問(wèn)題，大多數(shù)學(xué)生能獲得“因m大于0，所以w≥675”的結(jié)論. 想保證w的最小值大于等于675，即w關(guān)于■的函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于等于675，獲得關(guān)于m的不等式，即m≥80，之后回歸到原問(wèn)題可得w≤675時(shí)m≤80的結(jié)論.

3. 即時(shí)檢驗(yàn)，及時(shí)反思

解題后即時(shí)檢驗(yàn)是解題的重要環(huán)節(jié)之一，也是重要的學(xué)習(xí)習(xí)慣之一. 檢驗(yàn)是保證解題正確性的基本手段，而反思是提煉解題方法的重要措施.

此題容易出錯(cuò)的部分主要在解1080-■≤675得m≤80后，先要驗(yàn)證不等式的解是否正確，再思考其意義. 當(dāng)學(xué)生獲得m≤80后，可引導(dǎo)學(xué)生思考m≤80雖符合w≤675，但它是否符合題目中的其他要求？

通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，發(fā)現(xiàn)m的取值范圍還需滿足x<9這個(gè)條件，再進(jìn)行檢驗(yàn)：當(dāng)m≤80時(shí)，■=■=■，即x=■<9，符合題中要求.

一道好的考題既是教材知識(shí)的濃縮，又是引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)前進(jìn)的指揮棒. 教師提煉考題中的亮點(diǎn)與精髓，引導(dǎo)學(xué)生理解解決問(wèn)題的方法，能促使學(xué)生獲得解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維. 學(xué)生在這樣的教學(xué)活動(dòng)中能不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).？搖