羅 兵，鄧 瓊

（1.重慶大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030；2.重慶大學(xué) 現(xiàn)代物流重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030）

1 引言

在連鎖零售商的銷(xiāo)售實(shí)踐中，因商品是新上市或限量供應(yīng)，使得商品可能出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象。2019年2月星巴克“櫻花杯”開(kāi)售，一款“貓爪”造型水杯吸引了消費(fèi)者目光，該商品一上市就遭到“瘋搶”，消費(fèi)者輾轉(zhuǎn)線下各門(mén)店排隊(duì)購(gòu)買(mǎi)，水杯暢銷(xiāo)使商品供應(yīng)不足，消費(fèi)者“一杯難求”，甚至不惜為此大打出手。寶潔公司調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：在缺貨時(shí)，顧客轉(zhuǎn)移到其他門(mén)店購(gòu)買(mǎi)的比例約占31%，延遲購(gòu)買(mǎi)的占13%。連鎖零售商品缺貨時(shí)，大部分消費(fèi)者要么選擇等待購(gòu)買(mǎi)，要么轉(zhuǎn)向其它渠道購(gòu)買(mǎi)，但缺貨不可避免會(huì)帶來(lái)利潤(rùn)損失。因此，學(xué)術(shù)界和實(shí)業(yè)界一直非常重視缺貨時(shí)顧客等待和轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)行為的研究。缺貨時(shí)顧客的轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)屬于庫(kù)存驅(qū)動(dòng)的需求轉(zhuǎn)移，Gavan等[1]較早研究了顧客在缺貨時(shí)的等待和轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)行為，分析了缺貨時(shí)顧客對(duì)于轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)的積極和消極反應(yīng)；Dandan等[2]研究了缺貨時(shí)顧客轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)的線上和線下雙渠道供應(yīng)鏈庫(kù)存模型，分析了固定需求轉(zhuǎn)移率對(duì)最優(yōu)庫(kù)存策略的影響；Li等[3]從多渠道競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中分析了需求轉(zhuǎn)移對(duì)零售商定價(jià)和庫(kù)存決策的影響；王滔等[4]建立了一對(duì)一的二級(jí)供應(yīng)鏈雙渠道議價(jià)模型，其中考慮退貨時(shí)顧客的轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)行為；文獻(xiàn)[2-4]研究了多渠道競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下顧客的轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)行為，但基本未研究缺貨時(shí)顧客的等待購(gòu)買(mǎi)行為；趙秋紅等[5]考慮了部分顧客轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)情況，提出了實(shí)施庫(kù)存轉(zhuǎn)運(yùn)和不實(shí)施庫(kù)存轉(zhuǎn)運(yùn)兩種情況下的雙分銷(xiāo)渠道訂貨策略，文中考慮缺貨量但未涉及短缺量滯后供給率是時(shí)變的情形；Kumar等[6]進(jìn)一步考慮顧客等待受線性時(shí)變的影響；蘇雪玲等[7]則認(rèn)為等待的指數(shù)時(shí)變函數(shù)更適合某些實(shí)際情況，研究了預(yù)售模式下生鮮產(chǎn)品庫(kù)存決策問(wèn)題；羅兵等[8]構(gòu)造了受價(jià)格和等待時(shí)間共同影響的短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)，建立了顧客等待意愿不相同的EOQ模型[9]；文獻(xiàn)[6-9]僅考慮缺貨時(shí)顧客等待意愿是時(shí)間的變量，但實(shí)際上，商品缺貨時(shí)經(jīng)常存在顧客等待和轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)兩種消費(fèi)者行為。

本文參考文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[9]，考慮緊俏新上市商品的客戶(hù)吸引力和品牌特性，一般不能在其它銷(xiāo)售渠道購(gòu)買(mǎi)，消費(fèi)者對(duì)緊俏新上市商品的等待和購(gòu)買(mǎi)意愿比一般商品強(qiáng)。因此，本文考慮滯后供給分?jǐn)?shù)是指數(shù)時(shí)變的情況，缺貨時(shí)緊俏新上市商品丟單量少，以連鎖零售商為研究對(duì)象，建立一個(gè)短缺量滯后供給和需求轉(zhuǎn)移的EOQ模型，分析連鎖零售商的訂貨策略和利潤(rùn)變化規(guī)律，為連鎖經(jīng)營(yíng)決策提供參考。

2 連鎖零售商的EOQ模型

2.1 符號(hào)和條件假設(shè)

本文研究連鎖零售商固定需求下銷(xiāo)售緊俏新上市商品的庫(kù)存決策問(wèn)題，假設(shè)總連鎖零售商在特定區(qū)域內(nèi)僅有兩家連鎖零售商1和2，單周期問(wèn)題，零售商會(huì)出現(xiàn)缺貨，缺貨時(shí)部分顧客選擇等待購(gòu)買(mǎi)，其余顧客轉(zhuǎn)向另一個(gè)零售商購(gòu)買(mǎi)。

采用o和s表示連鎖零售商1和連鎖零售商2，具體假設(shè)和符號(hào)定義如下：

Io、Is分別為連鎖零售商1、連鎖零售商2期初庫(kù)存水平，Io(t)、Is(t)分別為零售商1、零售商2在t時(shí)刻的庫(kù)存水平；Qo、Qs、Q分別為零售商1、零售商2訂貨量及總訂貨量；ps為商品銷(xiāo)售價(jià)格，D(ps)、Do(ps)、Ds(ps)為市場(chǎng)總需求及零售商1、零售商2的獨(dú)立需求，且D(ps)=a-bps、Do(ps)=εD(ps)、其中，a為市場(chǎng)初始需求，b為需求價(jià)格彈性，ε為零售商1需求占比率，且a＞0，b＞0，0＜ε＜1；Ao、As為零售商1、零售商2商品補(bǔ)貨啟動(dòng)費(fèi)用，pb為零售商1、零售商2商品單位購(gòu)買(mǎi)價(jià)格，h為零售商1、零售商2商品單位時(shí)間持貨成本，c1、c2為零售商1商品單位時(shí)間內(nèi)滯后供給成本和丟單成本，且c1＜c2，此時(shí)零售商愿意缺貨回補(bǔ)；t1、t2為商品有現(xiàn)貨和缺貨時(shí)間，T為單周期長(zhǎng)度，ρτ=kτe-k1τ為短缺量滯后供給率，kτ為等待時(shí)間的短缺量滯后供給敏感因子，k1為等待時(shí)間敏感因子，且kτ＞0，k1＞0；B為零售商1最大滯后供給量，L為零售商1最大丟單量，π(t1,t2)為總連鎖零售商單周期內(nèi)的平均利潤(rùn)。

2.2 建立數(shù)學(xué)模型

單周期內(nèi)各連鎖零售商庫(kù)存水平情況如圖1所示。

圖1 單周期內(nèi)連鎖零售商庫(kù)存水平變化圖

對(duì)于連鎖零售商1的商品，單周期內(nèi)t時(shí)刻的庫(kù)存水平需滿足：

由此可計(jì)算最大滯后供給量：

零售商1商品單周期內(nèi)訂貨量：

計(jì)算零售商1商品單周期內(nèi)的銷(xiāo)售收入和成本如下：

補(bǔ)貨成本：

滯后供給成本：

丟單成本：

對(duì)于連鎖零售商2的商品，單周期內(nèi)t時(shí)刻的庫(kù)存水平需滿足：

由邊界條件Is(t1+t2)=0可得：

故零售商2商品單周期內(nèi)的訂貨量：

計(jì)算零售商2商品單周期內(nèi)的銷(xiāo)售收入和成本如下：

銷(xiāo)售收入：

補(bǔ)貨成本：

持貨成本：

最后，計(jì)算單周期內(nèi)總連鎖零售商的平均利潤(rùn)如下：

由此可建立總連鎖零售商庫(kù)存系統(tǒng)優(yōu)化模型：

3 模型的最優(yōu)解分析和管理啟示

分別對(duì)t1和t2求偏導(dǎo)數(shù)可得：

聯(lián)立式（10）和式（11），可得：

則式（13）等價(jià)于：

根據(jù)式（14）可求t2關(guān)于t1的表達(dá)式：

對(duì)式（15）關(guān)于t2求導(dǎo)，可得：

對(duì)式（14）左邊關(guān)于t2求導(dǎo)，可得：

最后聯(lián)立式（9）和式（11），可得：

令式（18）左邊等于F(t2)，則可根據(jù)F(t2)的性質(zhì)分析總連鎖零售商的庫(kù)存問(wèn)題。

證明 由式（18）可得F(t2)表達(dá)式，結(jié)合式（15）和式（13），可得F(t2)關(guān)于t2的導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)t2趨近于0時(shí)，若kτ-1＞0且則成立，又因?yàn)閯t存在唯一使得成立，將代入式（15）即可得唯一

定理2 當(dāng)kτ-1＞0且時(shí)，存在唯一關(guān)于t1和t2的一階導(dǎo)為零同時(shí)成立，且使得總連鎖零售商平均利潤(rùn)函數(shù)取得唯一最大值。

由定理1和定理2可知，連鎖零售商1需求占比和時(shí)間短缺量滯后供給因子應(yīng)滿足一定條件，只有當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，總連鎖零售商存在最優(yōu)有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，此時(shí)總連鎖零售商平均利潤(rùn)函數(shù)取得唯一最大值。由式（3）和式（7）可知，在其它條件不變時(shí)，當(dāng)連鎖零售商1需求占比和時(shí)間短缺量滯后供給因子增大時(shí)，零售商1應(yīng)增加商品訂貨量，零售商2應(yīng)減少商品訂貨量。

定理3 當(dāng)kτ＞1且εkτ＞1時(shí)，最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間取值范圍為：時(shí)，最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間取值范圍為：

由定理3可知，商品最優(yōu)缺貨時(shí)間和有現(xiàn)貨時(shí)間有兩種取值范圍。當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，有現(xiàn)貨時(shí)間受單位時(shí)間丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子和單位時(shí)間持貨成本影響，當(dāng)單位時(shí)間持貨成本和時(shí)間短缺量滯后供給因子減少，單位時(shí)間丟單成本增加時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間；當(dāng)連鎖零售商1需求占比大于時(shí)，有現(xiàn)貨時(shí)間受單位時(shí)間內(nèi)滯后供給成本、單位時(shí)間持貨成本、時(shí)間敏感因子、單位丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子影響，當(dāng)單位時(shí)間持貨成本和時(shí)間敏感因子減少，單位時(shí)間滯后供給成本、丟單成本、時(shí)間短缺量滯后供給因子、零售商1需求占比增加時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間。

4 仿真分析

4.1 數(shù)值算例

參考羅兵等[8]設(shè)定連鎖零售商庫(kù)存系統(tǒng)參數(shù)如下：a=15.8，b=0.6，ps=10.9，pb=5.8，ε=0.75，kτ=1.5，k1=0.5，h=1，c1=0.8，c2=1，As=50，Ao=40。

利用Maple2017進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，可得如下結(jié)果（保留5位小數(shù)）：π*=15.186 24。

4.2 主要參數(shù)的靈敏性分析

以下對(duì)ε、kτ、k1、ps等參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析，具體見(jiàn)表1-表4。

表1 零售商1需求占比ε 靈敏度分析

隨著ε增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間先增加后縮短，零售商1訂貨量增加、零售商2訂貨量減少，總訂貨量先增加后減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)榱闶凵?需求市場(chǎng)變大從而帶來(lái)平均利潤(rùn)增加，當(dāng)該零售商需求占比達(dá)一定程度時(shí)，會(huì)產(chǎn)生羊群效應(yīng)，大批客戶(hù)將吸引更多的人流，導(dǎo)致另一零售商客戶(hù)流驟減，使得總訂貨量減少，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)減少商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，降低持貨和丟單成本，以避免分銷(xiāo)渠道競(jìng)爭(zhēng)帶來(lái)利潤(rùn)損失。

隨著kτ增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間縮短，缺貨時(shí)間增加，需求轉(zhuǎn)移率變小，零售商1訂貨量增加，零售商2訂貨量減少，總訂貨量增加，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)闀r(shí)間短缺量滯后供給因子越大時(shí)顧客越愿意等待，消費(fèi)者對(duì)等待時(shí)間不敏感，其更愿意等待購(gòu)買(mǎi)而不是更換零售商購(gòu)買(mǎi)，顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)是積極的，而對(duì)于轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)是消極的，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)采用饑餓營(yíng)銷(xiāo)策略，縮短商品有現(xiàn)貨時(shí)間，延長(zhǎng)缺貨時(shí)間，限量供應(yīng)。

表2 時(shí)間短缺量滯后供給因子kτ 靈敏度分析

表3 時(shí)間敏感因子k1 靈敏度分析

隨著k1增大，商品有現(xiàn)貨時(shí)間增加，缺貨時(shí)間縮短，需求轉(zhuǎn)移率變大，零售商1訂貨量減少，零售商2訂貨量小幅度增加，總訂貨量減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)減少。這是因?yàn)闀r(shí)間敏感因子越大，消費(fèi)者更愿意更換零售商購(gòu)買(mǎi)而不是等待缺貨回補(bǔ)，顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)是消極的，而對(duì)于轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)是積極的，從而導(dǎo)致零售商1客戶(hù)流失，因零售商1占有較大市場(chǎng)需求，客戶(hù)流失導(dǎo)致消費(fèi)者忠誠(chéng)度和滿意度降低，即使消費(fèi)者向其他連鎖零售商轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)也無(wú)法彌補(bǔ)利潤(rùn)損失，此時(shí)連鎖零售商應(yīng)盡量滿足消費(fèi)者需求，保證現(xiàn)貨供應(yīng)，避免商品缺貨。

表4 銷(xiāo)售價(jià)ps 靈敏度分析

隨著ps提高，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間均增加，各零售商訂貨量和總訂貨量均減少，總連鎖零售商平均利潤(rùn)增加。這是因?yàn)樯唐肥蹆r(jià)增加時(shí)，需求減少，訂貨量減少，但此時(shí)商品售價(jià)提高帶來(lái)的利潤(rùn)增加大于訂貨量減少帶來(lái)的利潤(rùn)損失。因此，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)提高時(shí)，連鎖零售商應(yīng)增加商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間。

5 結(jié)論

本文考慮商品缺貨時(shí)顧客的等待和轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)行為，建立了缺貨時(shí)發(fā)生短缺量滯后供給和需求轉(zhuǎn)移的連鎖零售商EOQ 模型，分析了模型唯一最優(yōu)解的存在條件以及商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間的合理取值范圍，采用仿真工具求解，得出以下研究結(jié)論：當(dāng)時(shí)間短缺量滯后供給因子和連鎖零售商需求占比滿足一定條件時(shí)，商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間存在合理的取值范圍；當(dāng)顧客對(duì)缺貨反應(yīng)積極而對(duì)轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)消極時(shí)，連鎖零售商應(yīng)采用饑餓營(yíng)銷(xiāo)策略，縮短商品有現(xiàn)貨時(shí)間，延長(zhǎng)缺貨時(shí)間，限量供應(yīng)；當(dāng)顧客對(duì)于缺貨反應(yīng)消極而對(duì)轉(zhuǎn)移購(gòu)買(mǎi)積極時(shí)，連鎖零售商應(yīng)盡量滿足消費(fèi)者需求，保證商品現(xiàn)貨供應(yīng)，以避免商品缺貨；當(dāng)各連鎖零售商需求占比失衡時(shí)，應(yīng)減少商品有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間，降低訂貨量和提高售價(jià)可使總連鎖零售商減少利潤(rùn)損失。