王 根

（浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，浙江 金華 432001）

平直時(shí)空是用歐式幾何描述的，兩點(diǎn)間的最短線直線占有重要地位。彎曲時(shí)空中一般不存在直線，但是，兩點(diǎn)間會(huì)有最短線，統(tǒng)稱測(cè)地線。測(cè)地線在黎曼幾何中的作用，相當(dāng)于直線在歐式幾何中的作用。 數(shù)學(xué)上測(cè)地線可視作直線在彎曲空間中的推廣；曲面上非直線的曲線是測(cè)地線的充分必要條件是除了曲率為零的點(diǎn)以外，曲線的主法線重合于曲面的法線[1，3-5，7-8]。目前，關(guān)于測(cè)地線方程的具體求解還存在一定的難度性，具體的解還依賴于具體的坐標(biāo)系的選取[2，6，9]，這給測(cè)地線方程的研究帶來(lái)了復(fù)雜度。

定義[1]設(shè)Y是沿曲線γ∶(a，b)→M定義的向量場(chǎng)，若由仿射聯(lián)絡(luò)?給出?γ′ Y=0，則稱Y沿曲線γ平行，特別，當(dāng)γ′沿自身曲線γ平行時(shí) ，即 ?γ′ γ′=0，則稱γ為M上的測(cè)地線。顯然，Y沿曲線γ平行的局部坐標(biāo)表示為

γ為M上測(cè)地線的充要條件為

本文使用新定義的變量考慮了如下測(cè)地線方程的微分動(dòng)力系統(tǒng)性質(zhì)即一階常微分方程組[3]，

1 記號(hào)與引理

引理1[3]在一個(gè)局部坐標(biāo)系(U，ui)下，聯(lián)絡(luò)?∶是可以任意確定的，在自然標(biāo)架場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

因此Riemann流形M上的向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為

引理2[3]設(shè)M為Rn中n-1維C2正則超曲面，若M上的一條C2曲線C滿足

則稱該曲線為一條測(cè)地線，其中u=(u1，…，un-1)為M上的參數(shù)，x(u)=x(u1，…，un-1)為M的參數(shù)表示，t為曲線C的參數(shù)。

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中第2章第8小節(jié)定義2.8.3。

引理3[4]

1）n維C∞流形M的切叢TM上的線性聯(lián)絡(luò)?滿足撓張量T=0 ?對(duì)任意局部坐標(biāo)系

2）? 滿足：(a)Z(X，Y)=〈?Z X,Y〉+〈X,?Z Y〉，?X,Y,Z∈C∞(TM)；(b)?g=0，(c)對(duì)任意局部坐標(biāo)系平行移動(dòng)下保持內(nèi)積不變。

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中第1章第3小節(jié)定義1.3.5。

引理4[6][漸近線性穩(wěn)定]對(duì)于所有的x0都有當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值都有負(fù)實(shí)部。

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]中第2章定理2.10，p60。

引理5[5]給定齊次常系數(shù)線性微分方程組x·=那么

1）若A的特征值的實(shí)部都是負(fù)的，則它的任意解當(dāng)t→+∞時(shí)都趨于0。

2）若A的特征值的實(shí)部都是非正的，且實(shí)部為0的特征值都是簡(jiǎn)單特征值，則它的任意解當(dāng)t→+∞時(shí)都保持有界。

3）若A的特征值至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則它至少有一解當(dāng)t→+∞時(shí)趨于無(wú)窮。

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]中第5章定理11，p220。

引理6[5][存在唯一性定理]若A(t)是n×n矩陣，f(t)是n為列向量，它們都在區(qū)間a≤t≤b上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間a≤t≤b上的任何數(shù)t0及任一常數(shù)向量η=(η1，…，ηn)T，方程組

存在唯一解φ(t)定義于整個(gè)區(qū)間a≤t≤b上，且滿足初始條件φ(t0)=η。

證參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]中第5章5.1節(jié)定理1，p179-p184。

2 主要結(jié)果

定義2設(shè)(M，g)是Riemann流形，在一個(gè)局部坐標(biāo)系(U，ui)下，聯(lián)絡(luò)?滿足引理1的條件，則定義幾何變量為

式中vj，vj是切矢場(chǎng)的分量，矩陣

由引理3的性質(zhì)1得到Wkj=Wjk，因此，協(xié)變導(dǎo)數(shù)（3）改寫為形式Wkj，引理2可以改寫為簡(jiǎn)潔形式k=1，…，n-1。 定義 1 中的（1）寫為形式線性形式測(cè)地線方程（2）改寫為一階常微分方程組

定理[測(cè)地線方程基本解定理]二階測(cè)地線方程（4）成為矩陣初值問(wèn)題

則有唯一的解v(t)=v0e-Wt。

證根據(jù)常微分方程組的理論，對(duì)于給定的可微速度曲線γ′∶vi=vi(t)，t∈[t0，t′]，以及給定的初值矩陣初值問(wèn)題有唯一的一組解使得=vi(t0)，由引理6的存在唯一性定理即可得證。

以上定理將測(cè)地線方程簡(jiǎn)化為了線性問(wèn)題，解的具體形式完全依賴于矩陣W，也就是將測(cè)地線問(wèn)題集中到了對(duì)矩陣W的分析與研究，所以只要弄清楚了矩陣W的性質(zhì)，測(cè)地線方程的解與性質(zhì)也就完全知道了。

事實(shí)上，形式上，定理的解可以表示為級(jí)數(shù)形式

易得常數(shù)解v(t0)=v0對(duì)應(yīng)第一項(xiàng)。由易得坐標(biāo)解為代入級(jí)數(shù)形式得到

其中初始坐標(biāo)為u0=u(t0)。以上通過(guò)定理間接地得到了測(cè)地線方程的坐標(biāo)解u(t)。很顯然地，定理的零解v=0是穩(wěn)定的，這一點(diǎn)可以很清楚得到。實(shí)際上，定理的唯一解具有普遍性，它不隨坐標(biāo)系的選取而改變形式只要測(cè)地線方程（4）的形式保持不變。我們記坐標(biāo)非線性項(xiàng)為

推論設(shè)矩陣W的復(fù)特征值為λ=w+iq，則定理的解可以寫為v=v0e-wt e-iqt，根據(jù)引理4與引理5分析可以得到如下結(jié)論：

1）若w＞ 0，則它的任意解當(dāng)t→+∞時(shí)都趨于 0，此時(shí)是漸近線性穩(wěn)定。

2）若w都是非負(fù)的，且實(shí)部為w=0的特征值都是簡(jiǎn)單特征值，則它的任意解當(dāng)t→+∞時(shí)都保持有界，即v=v0e-iqt。

3）若存在一個(gè)w＜ 0，則它至少有一解當(dāng)t→+∞時(shí)趨于無(wú)窮。

由一階測(cè)地線方程（6）易得測(cè)地線方程的二階導(dǎo)數(shù)如下方程