于國強

中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司·浙江華東工程安全技術有限公司 浙江 杭州 311122

1 前言

一般用戶接收到的導航電文的星歷精度不高。IGS(Inter national GNSS Ser vice)的全球幾大數(shù)據(jù)中心提供精密星歷數(shù)據(jù),但是發(fā)布的星歷間隔一般在5 min至15 min,而接收機采樣頻率一般都小于30s,因此兩者時間不一致,需要將精密星歷數(shù)據(jù)進行采用,以滿足高精度定位需求。

目前應用比較廣的插值方法有Lagrange多項式插值,切比雪夫多項式擬合,Neville插值以及牛頓插值法。本文選取9階模型。但是每日的最后15分內(nèi),由于沒有外推數(shù)據(jù),插值效果一般較差,出現(xiàn)分米甚至米級誤差。為解決這個問題,采用兩種方法：1)采用當天數(shù)據(jù)進行外推預測;2)利用第二天的數(shù)據(jù),拼接在一起進行插值。實驗表明,方法二的精度比方法一要好,但是方法二要求星歷數(shù)據(jù)必須連續(xù),如果某顆衛(wèi)星中斷了,無法得到結果,存在較大局限性。本文探索利用Fourier級數(shù)來提高第一種方法的精度。

2 Fourier級數(shù)插值

導航衛(wèi)星在太空中,受多種引力影響,其運動規(guī)律滿足開普勒第三定律,是一個不嚴密的橢圓形軌道;衛(wèi)星在空中是一個平滑的、周期性的運動過程;下圖1展示了2019年8月24日的GPS星座PRN01衛(wèi)星運動軌跡,從圖中能明顯看出周期性和平滑性。

圖1 地球坐標系下衛(wèi)星運動特點圖Fig.1 Movement Characteristic of Satellite in Earth - fixed Coordinate System

在數(shù)學理論中,對于任何一個符合周期運動的物體,只要它滿足符合狄利克雷收斂定理[1],就一定能夠采用Fourier級數(shù)對其進行分解。本文采用這個定理對GNSS衛(wèi)星星歷數(shù)據(jù)進行Fourier級數(shù)展開。

任何一個周期運動,根據(jù)狄利克雷收斂定理可以展開如下形式：

式中(a,b)為函數(shù)一個周期的值域。

函數(shù)f(x)的展開式需要明確a0,ai,bi(1≤i≤n)具體形式。通常采用如下公式進行求解：

(1)滑動式數(shù)據(jù)選取

為了提高結果精度,準確匹配待求坐標和精密星歷中的數(shù)據(jù)時間是關鍵,保證待插值點始終處于中間位置,但這也造成在當日星歷文件中的最后15分鐘只能依賴前面數(shù)據(jù)進行外推。本文采用的外推策略稱為“移動窗口法”。

(2)確定Fourier系數(shù)

坐標三分量(x,y,z)是時間的函數(shù),本文以x坐標為例進行講解具體插值方法。精密星歷坐標與其對應的歷元時間有如下關系：

上式中,XTJ表示某一選定精密星歷(TJ歷元)X 坐標值;TJ是XTJ對應的精密星歷歷元時間;n代表Fourier級數(shù)展開的階數(shù);

利用選定的數(shù)據(jù),有：

解線性方程組即可得到待求系數(shù)a0,ai,bi(1≤i ≤n)。Y,Z坐標值的插值函數(shù)系數(shù)也可以按照同樣方法求得。

(3)根據(jù)給定插值時間,利用插值函數(shù)求得對應星歷坐標。

根據(jù)上述,利用所求參數(shù),確定待插值精密星歷的時刻為t,有：

式中,表示t時刻的衛(wèi)星X 坐標。其他兩坐標分量Y,Z依據(jù)相同方法獲得。

3.算例分析

對本文中的方法設計實驗進行驗證,采用間隔十五分鐘的2019年8月24日GPS精密星歷數(shù)據(jù)。本文采用的實驗衛(wèi)星為GPS的PRN01號衛(wèi)星。

本文采用9階多項式對2019年8月24日GPS星歷數(shù)據(jù)進行插值研究。從表1結果分析,采用Lagrange 9 階多項式插值方法計算的結果RMS＝1.4c m,而外推的最大誤差接近6d m。Fourier級數(shù)插值階數(shù)取4時,精度達到最好,平均均方根誤差為3 mm,外推最大誤差為9 c m。

通過實驗,發(fā)現(xiàn)無論是內(nèi)插還是外推,Fourier級數(shù)插值相比傳統(tǒng)多項式插值優(yōu)越一個數(shù)量級。

傅里葉插值方法結果精度比滑動滑動拉格朗日多項式插值內(nèi)插精度更高,尤其在數(shù)據(jù)開始和結束部位。

4 結語

本文研究了一種顧及GNSS衛(wèi)星實際物理運動模型。對比傳統(tǒng)的滑動Lagrange多項式插值,Fourier級數(shù)插值法無論是插值精度,還是算法的復雜度有相當優(yōu)越性。