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        數(shù)學(xué)游戲24點(diǎn)可行性最小值證明及通用算法

        2020-01-17 00:09:42
        黑龍江科學(xué) 2020年23期
        關(guān)鍵詞:張牌點(diǎn)數(shù)括號

        徐 品

        (南陽農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院,河南 南陽473000)

        24點(diǎn)是一個(gè)數(shù)學(xué)益智游戲,傳統(tǒng)24點(diǎn)的規(guī)則是任意取4個(gè)1~10的整數(shù),用加、減、乘、除(可加括號)把這4個(gè)數(shù)算成24,每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次。24點(diǎn)有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維,使學(xué)生在學(xué)習(xí)中游戲,在游戲中學(xué)習(xí),一題多解還可以加強(qiáng)學(xué)生舉一反三的能力。24點(diǎn)有其獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力和豐富的內(nèi)涵,簡單易學(xué),通常用撲克牌上的數(shù)字來進(jìn)行計(jì)算。撲克數(shù)學(xué)游戲的特點(diǎn)是教育功能性較強(qiáng)、趣味性強(qiáng)、易操作,游戲要素是參與者、工具、主題和規(guī)則。 經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn),24點(diǎn)游戲有助于提高學(xué)生的專注力和心算能力。

        1 游戲推廣及意義

        在傳統(tǒng)24點(diǎn)的游戲規(guī)則下,有解率為87.47%,也就是平均每抽八組數(shù)字就有一組算不出24點(diǎn)。游戲中只有固定幾個(gè)較難的題目,例如:①1,3,4,6。②1,4,5,6。③1,5,5,5。④1,6,6,8。⑤3,3,7,7。⑥3,3,8,8。⑦4,4,7,7,有時(shí)需要用到分?jǐn)?shù)去解題。24點(diǎn)小游戲更多考驗(yàn)的是心算的快、精、靈、全,比較鍛煉思維能力,但游戲時(shí)常會隨著無解組合的出現(xiàn)而結(jié)束。對此,本研究嘗試設(shè)計(jì)出一種新的游戲規(guī)則:一副撲克牌中抽去大小王剩下52張,J,Q,K,A均代表1點(diǎn),可隨意抽取9張牌,利用加、減、乘、除(可加括號)把牌面上的點(diǎn)數(shù)算成24。

        2 主要結(jié)果及其證明

        主要定理:任意在1~10中(包含1、10)的9個(gè)數(shù)在用且僅能用一次的規(guī)則下均可通過加減乘除(可加括號)得到24。為證明這個(gè)定理,提出了以下引理:對于滿足2≤x1≤8,4≤x2≤10 的1,1,1,x1,x2,這5個(gè)數(shù)可通過四則運(yùn)算得到24。

        證明過程分四步:

        (1)2≤x1≤6,4≤x2≤9。一方面,2個(gè)1和x1可得到3和4,5≤x2≤9和1可得到6或8,故5≤x2≤9可以得到24;另一方面,3個(gè)1可以和x1得到6,故1,1,1,4,x1可以得到24。

        (2)x1=7,4≤x2≤9。1和x1可得到6,兩個(gè)1和4≤x2≤6可得到4,再通過如下計(jì)算可得(2)成立:

        (7×7-1)/(1+1)=24

        (1+1)×(7+1)+8=24

        (1+1)×9+7-1=24

        (3)x1=8,4≤x2≤9。由于3個(gè)1和4≤x2≤9可得到3,故(3)成立。

        (4)2≤x1≤8,x2=10。通過如下計(jì)算可知(4)成立:

        (1+1+10)×1×2=24

        (3-1+10)×(1+1)=24

        (1+1)×10+4×1=24

        (1+1)×10+5-1=24

        (1+1)×(1+6)+10=24

        (1+1)×7+10×1=24

        (1+1)×(8-1)+10=24

        主要定理的證明:對于9個(gè)1~10的整數(shù),設(shè)其為x1≤x2≤…≤x9,現(xiàn)得出以下結(jié)論:

        結(jié)論一:幾乎都可得到3個(gè)1(只有一種例外情形)?,F(xiàn)設(shè)計(jì)出以下算法A:(i)檢查1點(diǎn)數(shù)量,若1點(diǎn)數(shù)量大于等于3,則取出3個(gè)1,結(jié)束。(ii)若有相同的點(diǎn)數(shù),將點(diǎn)數(shù)相除得到新點(diǎn)數(shù)1,返回(i)。若沒有相同的點(diǎn)數(shù),取相鄰最近的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的差得到新點(diǎn)數(shù)1,返回(i)。由抽屜原理可知,若點(diǎn)數(shù)為2~10的數(shù)量大于等于6,則存在相鄰的牌點(diǎn)數(shù)小于等于1,那么以上算法中只有1,1,2,4,6,8,10這一組數(shù)不能得到3個(gè)1,但卻有1+1+2-4+6+8+10=24。

        結(jié)論二:可以得到1,1,1,y1,y2,y3。對于其他情況,先挑出3個(gè)1,然后用算法B可以得到3個(gè)1和y1,y2,y3。算法B如下:(i)若只有3個(gè)點(diǎn)數(shù),結(jié)束。(ii)若最大數(shù)與最小數(shù)之和小于等于10,則將二者相加,返回(i)。 若最大數(shù)與最小數(shù)之和大于10,則取大數(shù)減小數(shù)(差為0時(shí)相除),返回(i)。

        結(jié)論三:1,1,1,y1,y2,y3可以計(jì)算出24。由算法A可知,挑出3個(gè)1后最少還剩3張牌,再由算法B可知,每經(jīng)過一次循環(huán),點(diǎn)數(shù)的數(shù)量或牌數(shù)就會減少1,故通過算法B最終得到1,1,1,y1,y2,y3??梢栽O(shè)y1≤y2≤y3,若y1+y3≤8,則有y1+y3≥2.根據(jù)引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若y1+y3≥9,分為兩種情形:①|(zhì)y3-y1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|y3-y1|≤1,則x3≥5. 若y1,y2,y3中有一個(gè)在{6,7,8,9}中,則將另兩個(gè)數(shù)相減或相除可得到1,從而可由以下計(jì)算得到24,6和4個(gè)1可得24,7、8、9和1可得8,再和3個(gè)1可得24。

        6×(1+1+1+1)=24

        (1+1+1)×(7+1)=24

        (1+1+1)×(8×1)=24

        (1+1+1)×(9-1)=24

        剩下只需計(jì)算y1=y2=y3=5和y1=y2=y3=10。這兩種情況可由以下計(jì)算得出結(jié)論:

        (5-1)×5+5-1×1=24

        (10+1+1)×(10/10+1)=24

        由上可知,任意點(diǎn)數(shù)為1~10的9張牌可通過加減乘除(可加括號)得到24。

        推論:在點(diǎn)數(shù)為1~10的一堆牌中,任取多于9張牌均可通過加減乘除(可加括號)得到24。

        證明:由算法A和算法B可以得到1,1,1,x1,x2,x3。算法A只有例外情況會形成1,1,2,4,6,8,10,算法B的例外情況是得到4個(gè)1和兩個(gè)大于1的數(shù),從對兩種例外情況的討論和定理的證明過程來看,該推論顯然成立。

        上述推論說明,任意拿到超過9個(gè)1~10的整數(shù)通過加減乘除(可加括號)都能得到24,即拿到任意一堆牌,只要牌的張數(shù)大于等于9,則肯定可以通過加減乘除(可加括號)得到24。

        3 通用算法

        受主要定理證明過程的啟發(fā),得到了超過9個(gè)數(shù)算24的一般算法,算法詳情如下:

        第一步(步驟①②):得到3個(gè)1,例外情況會形成1,1,2,4,6,8,10,若是例外情況,則有1+1+2-4+6+8+10=24。①檢查1點(diǎn)數(shù)量,若1點(diǎn)數(shù)量大于等于3,則取出3個(gè)1,結(jié)束。②若有相同的點(diǎn)數(shù),將點(diǎn)數(shù)相除得到新點(diǎn)數(shù)1,返回①。若沒有相同的點(diǎn)數(shù),取相鄰最近的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的差得到新點(diǎn)數(shù)1,返回①。

        第二步(步驟③④):3個(gè)1之外得到3個(gè)數(shù),例外情況是得到4個(gè)1和兩個(gè)大于1的數(shù),可以通過4×6=24,3×8=24,(1+1)×(9-1-1)+10=24,1+1+1+1+10+10=24得到結(jié)果。③拿出3個(gè)1,若只剩3個(gè)數(shù),結(jié)束。④若最大數(shù)與最小數(shù)之和小于等于10,則將二者相加,返回③。若最大數(shù)與最小數(shù)之和大于10,則取大數(shù)減小數(shù)(差為0時(shí)相除),返回③。

        第三步(步驟⑤):3個(gè)1和另外3個(gè)數(shù)算24。⑤給定1,1,1,x1,x2,x3,容易計(jì)算24點(diǎn),算法結(jié)束。

        第一步的例外情形是因?yàn)樗惴ˋ在出現(xiàn)1,1,2,4,6,8,10這7個(gè)數(shù)時(shí)不能再生成3個(gè)1,而其他情形均可得到3個(gè)1。第二步的例外情形是得到1,1,1,x1,x2,x3,x4后(可設(shè)這幾個(gè)數(shù)按遞增順序排列),若x1+x4>10且x4-x1≤1,就會得到1,1,1,1,x2,x3。

        利用1,1,1,x1,x2,x3計(jì)算24點(diǎn)的詳細(xì)方法為設(shè)x1≤x2≤x3,若x1+x3≤8,則有x1+x3≥2。根據(jù)引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若x1+x3≥9,分兩種情形:①|(zhì)x3-x1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|x3-x1|≤1,則x3≥5。若x1,x2,x3中有一個(gè)在{6,7,8,9}中,則將另兩個(gè)數(shù)相減或相除可得到1,從而可由以下計(jì)算得到24,6和4個(gè)1可得24,7、8、9和1可得8,再和3個(gè)1可得24。

        6×(1+1+1+1)=24

        (1+1+1)×(7+1)=24

        (1+1+1)×(8×1)=24

        (1+1+1)×(9-1)=24

        剩下只需計(jì)算x1=x2=x3=5和x1=x2=x3=10。這兩種情況可由以下計(jì)算得出結(jié)論:

        (5-1)×5+5-1×1=24

        (10+1+1)×(10/10+1)=24

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