王菁菁 ，張 超，李浩博

（1.湖南工業(yè)大學 土木工程學院，湖南 株洲 412007；2.廣州大學 土木工程學院，廣東 廣州 510006）

0 引言

目前，我國高層建筑結構的發(fā)展極其迅速，不僅數(shù)量多，而且層數(shù)多、高度大、形體越來越復雜。高層建筑結構的有限元模型通常很大，對這種模型進行動力響應分析時需要較高的計算機配置和大量的運行時間。因而，模型簡化對高層建筑結構的動力響應分析非常重要。

國內外比較常用的簡化模型為剪切型層串模型，它適用于強梁弱柱型框架結構[1]。而對于高層建筑結構，其整體彎曲變形的特點不容忽視，采用剪切型模型不能很好地反映其實際結構的變形特點[2]。不合理的簡化模型必然會導致結構動力響應分析結果產生較大的誤差，也會影響基于結構參數(shù)和響應進行的減振裝置設計。因此，有學者提出了采用彎剪型層間模型、剪切型-剪彎型組合模型等對高層建筑結構進行模型簡化和動力響應分析[3-4]。

本文擬基于高層建筑結構發(fā)生彎曲變形的特點，采用彎曲型模型，對某32層辦公樓進行模型簡化和動力響應分析。首先，將辦公樓主體結構簡化為一個32自由度的集中質量模型；然后，對彎曲型模型和剪切型模型的固有頻率和振型進行了對比分析；最后，分別以彎曲型模型和剪切型模型為基礎，對其進行調諧質量阻尼器（tuned mass damper，TMD）減振設計，再將所得TMD附加于彎曲型主體結構，并對比結構的位移響應。結果顯示，所得動力響應分析結果合理準確，應采用彎曲型模型對高層建筑結構進行模型簡化。

1 主體結構

本研究中采用的主體結構為一32層的辦公樓，其平面圖和立面圖見圖1。

圖1 主體結構的平面圖和立面圖Fig.1 Structural plan and elevation map of the primary structure

該辦公樓的總高度為129 m，其鋼框架-核心筒結構的樓面尺寸為48 m×48 m，除首層的高度為5 m外，其他各層的高度均為4 m。該建筑的前六階固有頻率依次為0.24,0.73,1.33,1.94,2.58,3.21 Hz。采用結構分析和工程設計軟件ETABS建立主體結構的高精度有限元分析模型。

通過實際工程監(jiān)測發(fā)現(xiàn)，對于100～300 m的高層鋼結構建筑，其基本模態(tài)阻尼比為0.4%～1.0%。隨著荷載的不斷增加，結構阻尼呈非線性增加，并且會迅速達到一個峰值，許多結構的實測峰值約為0.5%。此外，高階模態(tài)阻尼比約為前一階模態(tài)阻尼比的1.3倍，但由于高階模態(tài)參與系數(shù)非常小，低階模態(tài)對結構振動更為重要[5-8]?？紤]到以上因素，本研究中主體結構的所有模態(tài)阻尼比均取1%。

2 模型簡化

在本研究中，結構響應分析的重點不是結構構件的應變和應力，而是層間位移。因此，可以采用簡化的主體結構模型，即采用集中層質量模型來簡化結構進行分析，控制裝置可以通過彈簧和阻尼單元與主體結構相連。本研究所采用的主體結構模型，是基于原ETABS模型進行簡化后得到的，其荷載和響應可以通過ETABS模型準確導出，最終將主體模型簡化為僅在一個水平方向上運動的32自由度的集中層質量模型。

在簡化的32自由度模型中，可以快速得到其質量矩陣，每層質量即為每層柱的總軸力減去相鄰上層柱的總軸力再除以重力加速度，但是模型的總剛度矩陣形成較為復雜。根據(jù)觀察到的細長柔性結構的彎曲特性，層間位移和層間剪力不僅與相鄰層有關，而且與建筑物的其他層有關。剪切型結構的剛度矩陣為三對角矩陣，而彎曲型結構的剛度矩陣為非奇異滿秩矩陣。

為了得到彎曲型剛度矩陣，可以采用等效剛度參數(shù)識別法[9]。首先，鎖定不相關的自由度，即另一水平方向上所有的自由度。然后，對結構施加數(shù)組靜力荷載，并記錄在水平方向上所考慮的樓層位移。接下來，通過求解荷載-響應方程，得到簡化的剛度矩陣。由于剛度矩陣是對稱的，則n階對稱滿秩矩陣的總未知數(shù)為n(1+n)/2，其中n是結構的自由度。在每組荷載工況下，記錄n個樓層的層間位移。因此求解荷載-響應方程所需要的最小荷載工況數(shù)為(1+n)/2。為了保證最小二乘法結果的精度，最終的荷載工況數(shù)為(1.5～2)(1+n)/2。對于本研究的主體結構來說，使用了32組荷載-響應。值得提出的是，等效剛度參數(shù)識別法不僅可以被用于得到一個滿秩的剛度矩陣，同時可以被用于得到任意形式的剛度矩陣，是求解剛度矩陣的一般方法。剪切型剛度矩陣為三對角對稱矩陣，亦可以遵循上述過程形成。

簡化模型與ETABS模型的固有頻率幾乎一致。此外，兩種模型的響應在各種動力荷載下均能很好地吻合，這表明用32自由度的集中層質量模型可以精準地表示原始高精度模型。圖2比較了兩種模型在地面加速度峰值為1.56 m/s2、持續(xù)時間為79.98 s的Kern地震（1952年）作用下的頂層位移變化情況。由圖2可以得知，兩種模型響應之間的均方根誤差僅為6.48×10-6m。

圖2 32層主體結構原始模型和簡化模型的頂層位移響應對比Fig.2 Top displacement response comparison between the original and condensed models of the 32-story primary structure

3 彎曲型與剪切型結構動力特性對比

為了說明在高層結構動力分析中使用正確模型的重要性，本節(jié)將對剪切型模型和彎曲型模型的動力特性和響應特性進行對比分析。

表1比較了剪切型模型和彎曲型模型的前六階固有頻率，以及兩種模型間的固有頻率百分差值，該差值以彎曲型模型的固有頻率為參照。

表1 彎曲型模型和剪切型模型的固有頻率及差值Table1 Natural frequencies and differences of curved model and shear-typed model

分析表1中的數(shù)據(jù)可以得知，剪切模型和彎曲模型兩模型的一階固有頻率基本相同。但是與一階頻率的相比，高階頻率的差異較大。隨著模態(tài)數(shù)的增加，兩種模型的固有頻率均依次增大，但是兩者間的差值逐漸減小。

圖3所示為剪切型模型和彎曲型模型前六階模態(tài)下的相應振型比較。

圖3 主體結構簡化模型的振型Fig.3 Mode shapes of the simplified model of the primary structure

由圖3可以得知，各模態(tài)下彎曲型模型和剪切型模型的振型非常相似。

由表1和圖3可以得知，相比于自由度較小的結構，自由度較大的結構，即高層建筑中，高階模態(tài)更容易參與結構振動。

對兩個模型均設置每層1 m/s的初始速度，以研究其結構響應的差異。該初速度將產生1/129的平均層間位移比，約為我國抗震規(guī)范中8級中震下的層間位移比限值。圖4比較了剪切型模型和彎曲型模型在該初始速度作用下的最大樓層位移和最大層間位移。

圖4 彎曲型模型和剪切型模型的最大樓層位移和層間位移Fig.4 Maximum displacement and story drift of curved model and shear-typed model

由圖4可以得知，彎曲型模型中間層（7層到24層）的變形小于剪切型模型的，并且在彎曲型模型中，層間位移從7層到24層逐漸增大，而在剪切型模型中，層間位移分布較為均勻。通過以上對比分析可以得知，即使在非常簡單的荷載作用下，彎曲型模型和剪切型模型兩種模型的動力特性也有明顯的區(qū)別。值得強調的一點是，彎曲型模型與高精度模型的響應情況非常接近。

4 彎曲型與剪切型TMD性能對比

不準確的模型必然會影響基于結構參數(shù)和響應進行的控制裝置優(yōu)化設計。本節(jié)將以彎曲型模型和剪切型模型為主體結構，分別附加TMD減振為例進行說明。設TMD質量為主體結構總質量的1%，TMD的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)取相關文獻中設計公式計算值的平均值，具體見表2。

表2 彎曲型模型和剪切型模型的TMD參數(shù)Table2 Parameters of TMD for curved model and shear-typed model

分析表2中的數(shù)據(jù)可以得知，所得兩個TMD的阻尼系數(shù)均約為1.2×105N·s/m，而彎曲型TMD和剪切型TMD的剛度系數(shù)分別約為1.5×106N/m和1.7×106N/m。此處剛度系數(shù)間的差異是由兩種模型基本固有頻率不同造成的。

將彎曲型TMD和剪切型TMD分別附加于彎曲型主體結構中。圖5和圖6比較了在1 m/s的初始速度下，第一個振動周期和第四個振動周期內樓層位移的均方根和層間位移。

由圖5和圖6可以得知，由于在脈沖荷載作用下初始時的結構響應最大，且TMD此時尚未發(fā)生有效振動。因此，在第一個振動周期內，彎曲型TMD系統(tǒng)、剪切型TMD系統(tǒng)以及無控的彎曲型系統(tǒng)的響應差異并不明顯。然而在第四個振動周期內，TMD已經(jīng)發(fā)生了作用，此時彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)的最大樓層位移和層間位移響應均比無控的彎曲型系統(tǒng)的響應小，彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)頂層位移值分別約為0.09和0.21，表明彎曲型TMD系統(tǒng)的頂層位移小于剪切型TMD系統(tǒng)頂層位移的50%，且在第10層處彎曲型TMD系統(tǒng)和剪切型TMD系統(tǒng)的層間位移值分別約為0.000 5和0.006，表明在第10層處彎曲型TMD系統(tǒng)的層間位移小于剪切型TMD系統(tǒng)層間位移的10%。以上結果表明，彎曲型TMD系統(tǒng)明顯優(yōu)于剪切型TMD系統(tǒng)。

圖5 第一振動周期內彎曲型TMD和剪切型TMD系統(tǒng)的樓層位移均方根與層間位移Fig.5 RMS displacement and story drift of curved TMD and shear-typed TMD systems during the first oscillation

圖6 第四振動周期內彎曲型TMD和剪切型TMD系統(tǒng)的樓層位移均方根與層間位移Fig.6 RMS displacement and story drifts of curved TMD and shear-typed TMD systems during the fourth oscillation

5 結論

本文基于高層建筑結構發(fā)生彎曲變形的特點，用彎曲型模型對某32層高層建筑結構辦公樓進行了模型簡化和動力響應分析，同時，對彎曲型模型和剪切型模型的差異進行了對比分析。

1）彎曲型模型與剪切型模型的結構動力特性對比結果表明，兩類模型的動力響應存在較大的不同，前六階固有頻率下，兩模型的振型非常相似。在自由度較大的結構，即高層建筑中，高階模態(tài)更容易參與結構振動。當彎曲型模型與剪切型模型均設置每層1 m/s的初始速度時，彎曲型模型中間層的變形小于剪切型模型的，且在彎曲型模型中，層間位移從7層到24層逐漸增大，而在剪切型模型中，層間位移分布較為均勻。可見，即使在非常簡單的荷載作用下，兩種模型的動力特性也有明顯的區(qū)別，但是彎曲型模型與高精度模型的響應情況非常接近。

2）彎曲型TMD與剪切型TMD性能對比結果表明，在第一個振動周期內，彎曲型TMD系統(tǒng)、剪切型TMD系統(tǒng)，以及無控的彎曲型系統(tǒng)的響應差異性并不明顯；然而在第四個振動周期內，因為TMD的作用，彎曲型TMD系統(tǒng)的頂層位移小于剪切型TMD系統(tǒng)的頂層位移的50%，并且在第10層處，彎曲型TMD系統(tǒng)的層間位移小于剪切型TMD系統(tǒng)的層間位移的10%，這表明彎曲型TMD系統(tǒng)明顯優(yōu)于剪切型TMD系統(tǒng)。

由以上結論可以得知，采用剪切型模型對彎曲特性顯著的高層建筑結構進行動力分析，會導致結構響應預測不準確等問題的發(fā)生，而基于剪切型模型進行振動控制設計，其有效性將大大降低。因此，不建議或者應謹慎使用剪切型模型對高層建筑結構進行減振裝置設計，而應采用彎曲型模型對彎曲性顯著的高層結構進行模型簡化，這樣才能使所得動力響應分析結果合理準確。