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（湖南工業(yè)大學 理學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

本文考慮一類耦合非對稱代數(shù)Riccati方程（coupled nonsymmetric algebraic Riccati equation，CNARE）

式中：Xi∈Rn×n為方程的解，i,j∈U={1,2,…,s}，其中s是大于1的整數(shù)；

Ai∈Rm×m，Bi∈Rm×n，Ci∈Rn×m，Di∈Rm×n為方程的系數(shù)矩陣；

eij為非負常量，且滿足列和為1。

此類方程在粒子輸運理論[1-2]、控制理論[3]和馬爾可夫鏈[4-6]等領域中有著廣泛而深入的應用。在實際建模中，人們對此類方程感興趣的是其具有實際意義的最小非負解。特別地，當s=1時，耦合方程（1）還原成非對稱Riccati方程

Q(X)=XCX-XD-AX+B=0。

其最小非負解的存在性和相關數(shù)值求解方法已經(jīng)得到了充分的研究[7]。

為了更好地研究更廣泛的耦合方程（1）的最小非負解的存在性和相關的數(shù)值迭代方法，本文將耦合方程（1）寫成如下統(tǒng)一形式：

El為只有(i,j)塊和(j,i)塊分別為eijIn和ejiIn，其余塊都為0的矩陣，共有p=s(s-1)/2個。

2 定義與預備定理

對任何矩陣A和B，A>B（A≥B）表示矩陣A中所有元素大于（大于或等于）矩陣B中的所有元素，特別地若A≥0，則稱A為非負矩陣。

定義1[8-9]若矩陣A∈Rn×n的非對角元非正，則稱A為Z-矩陣。

任何Z-矩陣都可寫成sI-B，其中B≥0。

定義2[8-9]若s≥ρ(B)，Z-矩陣A=sI-B（B≥0）稱為M-矩陣。特別地，若s=ρ(B)，稱A為奇異的M-矩陣；若s>ρ(B)，稱A為非奇異的M-矩陣，其中ρ(B)為B譜半徑。

定理1[10]對Z-矩陣A，下述命題等價：

1）A是非奇異的M-矩陣；

2）A是非奇異矩陣且滿足A-1≥0；

3）存在某一向量v>0使Av>0；

4）A的所有特征值都有正的實部。

定理2[10]設A∈Rn×n是一個M-矩陣，如果B∈Rn×n中的元素滿足關系bii≥aii，aij≤bij≤0，i≠j，1≤i，j≤n，則B也是一個M-矩陣。

本文假設耦合方程（2）滿足如下條件：

注1 由克羅內(nèi)克積的性質(zhì)可知，當且僅當A，D和E是Z-矩陣時IA+DTI-∑ElEl也是Z-矩陣。在不混淆的情況下，本文從此開始省略求和符號∑的上下標。

3 迭代方法

3.1 牛頓迭代

考慮對耦合方程（2）的牛頓迭代法。假設Rm×n是Banach空間，R是Riccati函數(shù)在空間Rm×n到自身的映射，則其Frechet導數(shù)為[12-13]

則求解耦合方程（2）等價于如下迭代格式：

對上述牛頓迭代格式有如下收斂性定理3。

定理3如果存在一個非負矩陣X使得方程（2）滿足R(X)≤0，且條件（3）成立，則對上述非負矩陣X，一定存在（2）的一個非負解S使得S≤X，特別地，S是方程（2）的最小非負解。此外，對于牛頓迭代格式（4），當X0=0時，序列{Xi}是適定的，并滿足

而且矩陣

也是一個M-矩陣。

證明設X為任意一個非負矩陣，使得

對于牛頓迭代式（4），用數(shù)學歸納法證明對所有的k滿足：Xk

是非奇異M-矩陣。

當X0=0時，有

即有

式中vec運算是將矩陣的列轉化成一個長矢量[14]。

設當k=i≥0時歸納假設成立。

由式（2）和式（4）得

(A-XiC)(Xi+1-X)+(Xi+1-X)(D-CXi)-∑El(Xi+1-X)El=

B-XiCXi-AX+XiCX-XD+XCXi=-(Xi-X)C(Xi-X)。

因為Xi

另一方面，由式（4）得

由式（2）和式（6）可得

(A-Xi+1C)(Xi+1-X)+(Xi+1-X)(D-CXi+1)-∑El(Xi+1-X)El=

-(Xi+1-Xi)C(Xi+1-Xi)-(Xi+1-X)C(Xi+1-X)<0。即有

因此由定理1中的命題3）可知，

是非奇異M-矩陣。

再次由式（4）和式（6）可得

因此有Xi+1

最后，假設對所有的i≥0，非奇異M-矩陣

注2 上述結果與文獻[13]中定理9.1.1有相似的性質(zhì)。

3.2 不動點迭代

將耦合方程（2）中系數(shù)矩陣A、D進行分解，寫成

A=A1-A2，D=D1-D2，

且滿足A2,D2≥0，A1,D1是Z-矩陣。則耦合方程（2）變?yōu)?/p>

其中線性算子

定理4如果對于非負矩陣X，R(X)≤0，則由不動點迭代式（8）給定初始迭代點X0=0，對任意的k≥1有

證明對不動點迭代式（8），采用數(shù)學歸納法證明

Xk

當k=0時，有

這個方程等價于

設當k=i≥0時歸納假設成立。

由式（7）和式（10）得

另一方面，由式（10）得

因此有Xi+1

4 數(shù)值實驗

本章通過數(shù)值實驗驗證牛頓迭代和不動點迭代的收斂理論，并比較兩種迭代方法的數(shù)值表現(xiàn)。計算采用Matlab 14a編程，其機器精度為2-53，約為2.2e-16。在不動點迭代法中，矩陣A1和D1分別為矩陣A和D的對角矩陣和下三角矩陣，記為不動點迭代I和不動點迭代II。當兩類算法方程殘量小于10-15時，終止算法。方程殘量的計算公式為

例1考慮一類耦合非對稱代數(shù)Riccati方程（1），其對應的系數(shù)矩陣為

解分別采用牛頓迭代和兩類不動點迭代方法編程求解上述問題。當所有算法終止后，將迭代次數(shù)和方程殘量列于表1中。

表1 例1中牛頓迭代與不動點迭代數(shù)值表現(xiàn)Table1 Numerical representation of Newton’s method and two fixed-point iterations in example 1

從表1可以看出，迭代終止時，牛頓法迭代次數(shù)比不動點迭代I和不動點迭代II少很多。迭代終止時，牛頓法迭代能獲得比不動點迭代I和不動點迭代II更小的方程殘量。對兩種不動點迭代而言，不動點迭代II的迭代次數(shù)比不動點迭代I少，其獲得的方程殘量也比不動點迭代I更小。實際上，不動點迭代I等價于Jacobi迭代，而不動點迭代II等價于Gauss-Seidel迭代。

圖1為3種迭代方法方程殘量的歷史圖。從圖中可以看出，牛頓迭代法是二次收斂，而兩種不動點迭代都是線性收斂，但不動點迭代II比不動點迭代I在每步都能獲得更小的方程殘量。

圖1 例1中牛頓迭代與不動點迭代方程殘量歷史圖Fig.1 Residual history diagram for Newton’s method and fixed-point iteration equation in example 1

例2考慮一類耦合非對稱代數(shù)Riccati方程（1），其對應的系數(shù)矩陣為

解與例1類似，分別采用牛頓迭代和兩類不動點迭代方法編程求解上述問題。當所有算法終止后，將迭代次數(shù)和方程殘量列于表2中。

表2 例2中牛頓迭代與不動點迭代數(shù)值表現(xiàn)Table2 Numerical representation of Newton’s method and two fixed-point iterations in example 2

從表2可以得出，當?shù)K止時，牛頓法所需的迭代次數(shù)比不動點迭代要少得多，而且能獲得更小的方程殘量。

圖2為3種迭代方法方程殘量的歷史圖。從圖中可以看出牛頓法迭代是二次收斂的，而2種不動點迭代都是線性收斂。

圖2 例2中牛頓迭代與不動點迭代方程殘量歷史圖Fig.2 Residual history diagram for Newton’s method and fixed-point iteration equations in example 2

5 結語

本文采用牛頓迭代法和不動點迭代法求解一類非對稱耦合的Riccati方程。在一定條件下證明了這兩種迭代方法單調(diào)收斂到具有實際意義的最小非負解，數(shù)值實驗驗證了提出方法的有效性。