羅超良,侯愛玉,羅嘉程,劉清華,曾 彪
(1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,湖南 株洲 412007;2.西安工程大學(xué) 城市規(guī)劃與市政工程學(xué)院,陜西 西安 710048)
食餌-捕食者模型是生物數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容,對(duì)食餌與捕食者相互作用的研究具有很高的理論價(jià)值與現(xiàn)實(shí)意義。近年來,很多學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了研究,并取得了較多的研究成果[1-7]。如文獻(xiàn)[1]研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)的非自治的食餌-捕食系統(tǒng)
周期解的存在性。
式中:x(t)為t時(shí)刻食餌總數(shù);
y(t)為t時(shí)刻捕食者總數(shù);
a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、g(t)、h(t)、m(t)都是周期為T的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。
在多因素綜合影響下,不可避免地會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象,這將會(huì)對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)產(chǎn)生很大影響;同時(shí),食餌數(shù)量增長(zhǎng)速度與過去某時(shí)間的食餌數(shù)量及增長(zhǎng)速度有關(guān),捕食者數(shù)量增長(zhǎng)速度也與過去某時(shí)間的食餌數(shù)量有關(guān)。基于此,本文考慮如下一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)非自治的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng):
式中:ρ、m、σ1、σ2都為常數(shù),且ρ>0、m>0;
a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、h(t)、τ(t)是周期為ω的連續(xù)函數(shù)。
下面討論系統(tǒng)(2)正周期解的存在性。
在主要結(jié)論之前,先給出下面3個(gè)引理。
引理1(Arzele-Ascoli定理)[2]集合列緊的充分必要條件是下列2個(gè)條件成立:
1)集合A是一致有界的,即存在正常數(shù)M,使得對(duì)于,恒有
2)集合A是等度連續(xù)的,即對(duì),始終存在δ=δ(ε)>0,使得對(duì)于任意的t1,t2∈[a,b],當(dāng)時(shí),就有,。
引理 2[2]如果f(t)、g(t)為區(qū)間[α,β]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),則,使得
引理3(延拓定理)[2]設(shè)X、Y是兩個(gè)Banach空間,L是指標(biāo)為零的Fredholm算子,是X中的有界開集,N∶X→Y在上是L緊的,若下列條件滿足:
i)對(duì)于任意的λ∈ (0,1),方程Lx=λNx的解滿足;
iii)deg{JQN,ΩKerL,0} ≠ 0,其 中JQN∶KerL→ KerL;
則方程Lx=λNx在內(nèi)至少存在一個(gè)解。
為研究方便,引入以下記號(hào):
其中f(t)是連續(xù)的ω周期函數(shù)。
在給出主要結(jié)論之前,先作如下假設(shè):
H2ρeB<1,其 中,
定理1假設(shè)H1~H4都成立,則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)正周期解。
首先,考慮如下系統(tǒng)
于是,接下來只需證明系統(tǒng)(3)存在周期解。
令
設(shè)L∶X→Z,N∶X→Z,且
則系統(tǒng)(3)可以改寫成Lu=Nu,u∈X,ImL=
顯然,KerL=R2是Z的閉子空間,且dim KerL=codim ImL=2。因此,L是指標(biāo)為0的Fredholm算子。
設(shè)P∶X→X,Q∶Z→Z,且
P和Q是兩個(gè)連續(xù)的映射,則
ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q)。
此外,L的廣義逆算子滿足
則QN∶X→Z,KP(I-Q)N∶X→X分別為:
顯然,QN和KP(I-Q)N都是連續(xù)的。
令Lu=λNu,λ∈(0,1),于是有
所以
由式(5)可知
由式(8)及u1(t)的周期性,可得
結(jié)合式(9)和(10),可得
所以
于是,由式(4)(5)和(13)可得
又由假設(shè)H2得
若,則(i=1,2),使得
??
由式(5)(15)及基本不等式a2+b2≥2ab,有
于是
令ξ-τ(ξ)=δ+kω,δ∈[0,ω],k為整數(shù),則
結(jié)合式(15)(17)和(18)可得
因此
所以
又由假設(shè)H2得
所以
又因?yàn)橄到y(tǒng)
令β=β2+β5+β6+β7+β0,其中β0足夠大使得系統(tǒng)(20)存在唯一解,且
顯然,β不依賴于λ,則
即引理3中的條件i)滿足。
即引理3中條件ii)滿足。
所以引理3中條件iii)滿足。于是系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)正周期解,因此系統(tǒng)(2)至少有一個(gè)正周期解。證畢。
本文研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng)正周期解的存在性??紤]到多種因素的綜合影響,不可避免地會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象,這對(duì)生態(tài)系統(tǒng)將產(chǎn)生很大影響。于是,在原始模型基礎(chǔ)上加入了時(shí)滯因素,并利用Mawhin重合度理論中的延拓定理,得到了新系統(tǒng)正周期解的存在性條件。