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        一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng)正周期解的存在性

        2020-01-17 11:33:44羅超良侯愛玉羅嘉程劉清華
        關(guān)鍵詞:食餌捕食者時(shí)滯

        羅超良,侯愛玉,羅嘉程,劉清華,曾 彪

        (1.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,湖南 株洲 412007;2.西安工程大學(xué) 城市規(guī)劃與市政工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

        0 引言

        食餌-捕食者模型是生物數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容,對(duì)食餌與捕食者相互作用的研究具有很高的理論價(jià)值與現(xiàn)實(shí)意義。近年來,很多學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了研究,并取得了較多的研究成果[1-7]。如文獻(xiàn)[1]研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)的非自治的食餌-捕食系統(tǒng)

        周期解的存在性。

        式中:x(t)為t時(shí)刻食餌總數(shù);

        y(t)為t時(shí)刻捕食者總數(shù);

        a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、g(t)、h(t)、m(t)都是周期為T的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。

        在多因素綜合影響下,不可避免地會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象,這將會(huì)對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)產(chǎn)生很大影響;同時(shí),食餌數(shù)量增長(zhǎng)速度與過去某時(shí)間的食餌數(shù)量及增長(zhǎng)速度有關(guān),捕食者數(shù)量增長(zhǎng)速度也與過去某時(shí)間的食餌數(shù)量有關(guān)。基于此,本文考慮如下一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)非自治的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng):

        式中:ρ、m、σ1、σ2都為常數(shù),且ρ>0、m>0;

        a(t)、b(t)、c(t)、d(t)、h(t)、τ(t)是周期為ω的連續(xù)函數(shù)。

        下面討論系統(tǒng)(2)正周期解的存在性。

        1 主要結(jié)論

        在主要結(jié)論之前,先給出下面3個(gè)引理。

        引理1(Arzele-Ascoli定理)[2]集合列緊的充分必要條件是下列2個(gè)條件成立:

        1)集合A是一致有界的,即存在正常數(shù)M,使得對(duì)于,恒有

        2)集合A是等度連續(xù)的,即對(duì),始終存在δ=δ(ε)>0,使得對(duì)于任意的t1,t2∈[a,b],當(dāng)時(shí),就有,。

        引理 2[2]如果f(t)、g(t)為區(qū)間[α,β]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),則,使得

        引理3(延拓定理)[2]設(shè)X、Y是兩個(gè)Banach空間,L是指標(biāo)為零的Fredholm算子,是X中的有界開集,N∶X→Y在上是L緊的,若下列條件滿足:

        i)對(duì)于任意的λ∈ (0,1),方程Lx=λNx的解滿足;

        iii)deg{JQN,ΩKerL,0} ≠ 0,其 中JQN∶KerL→ KerL;

        則方程Lx=λNx在內(nèi)至少存在一個(gè)解。

        為研究方便,引入以下記號(hào):

        其中f(t)是連續(xù)的ω周期函數(shù)。

        在給出主要結(jié)論之前,先作如下假設(shè):

        H2ρeB<1,其 中,

        定理1假設(shè)H1~H4都成立,則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)正周期解。

        2 主要結(jié)論的證明

        首先,考慮如下系統(tǒng)

        于是,接下來只需證明系統(tǒng)(3)存在周期解。

        設(shè)L∶X→Z,N∶X→Z,且

        則系統(tǒng)(3)可以改寫成Lu=Nu,u∈X,ImL=

        顯然,KerL=R2是Z的閉子空間,且dim KerL=codim ImL=2。因此,L是指標(biāo)為0的Fredholm算子。

        設(shè)P∶X→X,Q∶Z→Z,且

        P和Q是兩個(gè)連續(xù)的映射,則

        ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q)。

        此外,L的廣義逆算子滿足

        則QN∶X→Z,KP(I-Q)N∶X→X分別為:

        顯然,QN和KP(I-Q)N都是連續(xù)的。

        令Lu=λNu,λ∈(0,1),于是有

        所以

        由式(5)可知

        由式(8)及u1(t)的周期性,可得

        結(jié)合式(9)和(10),可得

        所以

        于是,由式(4)(5)和(13)可得

        又由假設(shè)H2得

        若,則(i=1,2),使得

        ??

        由式(5)(15)及基本不等式a2+b2≥2ab,有

        于是

        令ξ-τ(ξ)=δ+kω,δ∈[0,ω],k為整數(shù),則

        結(jié)合式(15)(17)和(18)可得

        因此

        所以

        又由假設(shè)H2得

        所以

        又因?yàn)橄到y(tǒng)

        令β=β2+β5+β6+β7+β0,其中β0足夠大使得系統(tǒng)(20)存在唯一解,且

        顯然,β不依賴于λ,則

        即引理3中的條件i)滿足。

        即引理3中條件ii)滿足。

        所以引理3中條件iii)滿足。于是系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)正周期解,因此系統(tǒng)(2)至少有一個(gè)正周期解。證畢。

        3 結(jié)語(yǔ)

        本文研究了一類具有Holling Ⅲ功能反應(yīng)的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng)正周期解的存在性??紤]到多種因素的綜合影響,不可避免地會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象,這對(duì)生態(tài)系統(tǒng)將產(chǎn)生很大影響。于是,在原始模型基礎(chǔ)上加入了時(shí)滯因素,并利用Mawhin重合度理論中的延拓定理,得到了新系統(tǒng)正周期解的存在性條件。

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