李 綱，盧 峰，朱 斌，吳玉遲，谷渝秋

(中國工程物理研究院 激光聚變研究中心 國防科技等離子體物理重點實驗室，綿陽 621900)

引 言

近年來，超短超強飛秒激光技術得到飛速發(fā)展，峰值功率由太瓦(TW，1012W)提高到幾拍瓦(PW，1015W)甚至是數(shù)十拍瓦量級[1-2]。與此相應，激光脈沖的聚焦峰值功率密度也得到迅速提高，可達1020W·cm-2以上，遠遠大于相對論激光強度[3]。由于超強飛秒激光脈沖極高的峰值功率密度、電場強度、以及磁場強度等，它與物質相互作用時能夠提供極端高溫、高壓等物理條件，使得超強飛秒激光脈沖在強場物理研究領域發(fā)揮了重要作用，甚至可以模擬天體物理中一些重要的過程。利用超短超強飛秒激光與固體靶或者氣體靶相互作用，可以獲得高品質的電子束、質子束、中子束等[4]，可以研究極端高溫、高壓等物理條件下的材料特性。

在上面提到的超強飛秒激光脈沖與物質相互作用過程中，激光脈沖的聚焦特性對物理作用過程和作用結果起著非常重要甚至是決定性的影響，比如在激光尾波場電子加速中，聚焦光斑會影響電子束的穩(wěn)定性、單能性、以及產額等[5-6]。因此在進行物理實驗之前，必須對超強激光的聚焦特性進行精確測量，并給出相應的分析和評估[7-8]。原則上，在很多飛秒激光與物質相互作用的實驗以及飛秒激光精密加工中，研究人員期望獲得近衍射極限大小、高能量集中度的聚焦光斑，從而提高飛秒脈沖的聚焦峰值功率密度[9-11]。然而由于光學系統(tǒng)失調、光學鏡片面形誤差、以及鍍膜缺陷等因素的影響，會給飛秒脈沖引入不利的相位畸變或者波前像差，如球差、慧差等，進而嚴重影響飛秒脈沖的聚焦特性。2011年，GONZLEZ-GALICIA等人基于賽德爾(Seidel)像差理論對超短飛秒激光脈沖通過消色差雙透鏡的聚焦特性進行了詳細研究[12-13]。2015年，LI等人對高數(shù)值孔徑下初級像差對高斯光束的聚焦特性進行了初步研究[14]；同年，SUN等人對徑向偏振飛秒脈沖的緊聚焦特性進行了數(shù)值模擬和實驗研究[15-16]。然而這些研究均沒有系統(tǒng)地給出不同波前像差情況下,飛秒脈沖在聚焦焦平面處直觀的2維強度場分布，以及光強分布隨光束傳輸軸如何演化的過程。事實上，通過飛秒脈沖在焦平面處直觀的2維強度場分布以及強度傳輸演化過程，一方面可以初步判斷是否存在波前像差，另一面也能夠為波前像差的補償提供直接參考[17]。

本文中將基于瑞利-索末菲標量衍射理論，對比研究在各類波前像差下，包括場曲、像散、慧差、三葉形像差以及球差等，對具有均勻強度分布和高斯強度分布的超短飛秒激光脈沖聚焦特性的影響。該研究結果對超短飛秒激光束的光束質量評估及聚焦特性分析具有實際的指導意義。

1 Zernike波前像差

Zernike多項式是定義在單位圓域上的正交多項式，因為它易與Seidel像差建立聯(lián)系的特點，常被用作基底函數(shù)系對光束的波前像差進行擬合[18]。比如在激光系統(tǒng)中，利用Zernike多項式可以描述因腔鏡失調、面形誤差以及激光窗口熱透鏡效應等導致的波前畸變。Zernike多項式表示為[19]：

(1)

式中，Z代表Zernike多項式，k為多項式階數(shù)，下標ke代表k為偶數(shù)，下標ko代表k為奇數(shù)；n為徑向自由度；m為角向頻率，變化范圍為-n,-n+2,…，n-2，n；ρ為單位圓上的半徑，取值范圍為[0，1]；極角θ的取值范圍為[0，2π]。徑向多項式Rn,m定義為：

Rn,m(ρ)=

(2)

基于Zernike多項式，則飛秒脈沖的波前像差φ(ω,r,θ)可以表示為[20]：

(3)

式中，ω為激光角頻率，r為徑向坐標，ck為模式系數(shù)，R為激光光斑半徑。由于飛秒脈沖的寬光譜特性，每個光譜元對應的模式系數(shù)可以表示為[20]：

(4)

式中，ω0代表激光的中心頻率。各階Zernike多項式及對應的波前像差如表1所示[19]。

Table 1 Zernike polynomial and the corresponding primary aberration

2 飛秒脈沖聚焦模型

由于飛秒脈沖具有極高的峰值功率，因此對飛秒脈沖聚焦通常采用反射式的離軸拋物面鏡進行。離軸拋物面鏡無色散、色差，同時消除了光學非線性效應對超短脈沖激光的影響；而當入射光與光軸嚴格平行時，反射光可無球差的聚焦于焦點。離軸拋物面鏡的面形誤差以及調節(jié)精度對飛秒脈沖的聚焦特性具有重要影響[21]，在本文中將離軸拋物面鏡等效于理想的消色差透鏡，從而可以利用瑞利-索末菲標量衍射理論重點討論不同像差對飛秒脈沖聚焦特性的影響。

考慮兩種情況：(1)入射飛秒脈沖具有均勻的強度分布；(2)入射脈沖具有高斯強度分布。這兩種情況下的入射脈沖電場頻域復振幅E可以分別表示為[21]：

u(x,y)exp[iφ(ω,x,y,z=0)]

(5)

E(ω,x,y,z=0)=

exp[iφ(ω,x,y,z=0)]

(6)

其中,

(7)

式中,E0為常數(shù)，x,y,z為空間坐標，τ為脈沖持續(xù)時間(1/e2半寬)，ω0為中心頻率，R為光斑半徑(高斯強度分布下為1/e2半徑)，φ為波前像差。對(5)式和(6)式進行傅里葉逆變換，可得入射脈沖的時域形狀。模擬表明，波前像差φ(ω,x,y,z=0)項對飛秒脈沖時域分布的影響幾乎可以忽略，故聚焦前脈沖的持續(xù)時間可直接對(5)式和(6)式中的exp[-τ2(ω-ω0)2/4]項進行傅里葉逆變換求解，其傅里葉逆變換為exp[-t2/τ2]，式中t為時間，因此時域強度分布為exp[-2t2/τ2]，可見τ即為脈沖持續(xù)時間(1/e2半寬)。根據(jù)瑞利-索末菲標量衍射理論，聚焦后飛秒脈沖場演化可以表示為[20]：

(8)

式中，(x′,y′)為傳輸距離z處的空間坐標，f為拋物面鏡焦距，λ為激光波長，k為激光波數(shù)(2π/λ)，rd為衍射距離，θd為衍射角，它們分別表示為：

(9)

cosθd=z/rd

(10)

對(8)式進行數(shù)值求解，可求得衍射距離z處的頻域復振幅分布E(ω,x′,y′,z)，再對其進行傅里葉逆變換，可得時域電場：

E(t,x′,y′,z)=

(11)

因此,衍射距離z處在一個光周期T的平均強度分布為：

(12)

而I(x′,y′,z)正是所關心的聚焦強度分布。特別的，當z=f時，即為焦平面處的強度分布。

3 像差對聚焦光斑的影響

數(shù)值模擬中假定入射脈沖E0=1，脈沖持續(xù)時間τ=30fs，中心波長λ0=800nm(對應中心頻率ω0=2.36rad·fs-1)，光斑半徑R=5mm，透鏡焦距f=200mm，模式系數(shù)ck(ω0)=1，并且只考慮單個波前像差對聚焦光斑的影響。圖1中計算了均勻強度分布的飛秒脈沖在不同波前像差下焦平面處的光強分布。由圖1可見，在無像差的情況下，可獲得半徑約10μm的近衍射極限光斑。注意到圖1中即使在無像差情況下，聚焦光斑的外圍也存在較弱的對稱背景噪聲，這是因為在數(shù)值模擬中，假定了入射脈沖的光強度均勻分布在直徑10mm的范圍內，因此入射光斑在透鏡邊緣存在較強的邊緣衍射效應?？梢灶A見，當入射脈沖具有高斯強度分布時，由于電場振幅1/e的衰減特性，當聚焦透鏡尺寸足夠大時，其邊緣衍射效應幾乎可以忽略，從而減小聚焦光斑外圍由于衍射效應帶來的強度噪聲。從圖1可知，各類像差對均勻強度飛秒脈沖的聚焦光斑具有非常明顯的不利影響，聚焦光斑的扭曲變形會導致聚焦峰值功率密度的降低。另外，注意到不同波前像差對應不同的聚焦光斑形態(tài)，比如k為7和8時的慧差與k為9和10時的三葉形像差，這也為聚焦光場是否存在像差或者何種像差占主導地位提供初步參考。

Fig.1 Intensity distribution at focal plane (f=200mm，z=f) of femtosecond pulse with homogenous intensity distribution under different kinds of aberration

圖2中計算了具有高斯強度分布的飛秒脈沖在不同波前像差下焦平面處的光強分布。與圖1相比，除了k=11的球差外，其它各類像差對焦平面處的光強分布影響很小。從圖2可知，當入射飛秒脈沖具有高斯強度分布時，即使存在一定量的波前像差，在焦平面處仍然有可能獲得較好的聚焦光斑(當然這與波前像差的絕對量大小有關，即與模式系數(shù)ck(ω)的大小有關)。在k=11的球差情況下，焦平面處的聚焦光斑尺寸遠大于其它像差情況下的光斑尺寸。后面的計算表明，在k=11的球差情況下，最小聚焦光斑并非位于焦平面，而在焦平面前約1mm的距離。

Fig.2 Intensity distribution at focal plane (f=200mm，z=f) of femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

盡管相對于均勻強度分布的飛秒脈沖，波前像差對具有高斯強度分布的飛秒脈沖在焦平面處的光強分布形態(tài)影響要小，但計算表明，在不同的波前像差下，高斯強度飛秒脈沖的聚焦光斑光強分布形態(tài)在焦平面之前和焦平面之后還是具有比較明顯的區(qū)別。圖3和圖4中分別計算了當聚焦焦距f=200mm時，聚焦光斑在焦平面前1mm和焦平面后1mm處的光強分布情況。為了與圖1和圖2進行對比，圖3和圖4的水平和豎直長度均與圖1、圖2一樣，仍為60μm，這樣可以對光斑的相對大小進行直接對比。從圖3和圖4可以明顯地看出不同波前像差對光斑形態(tài)的影響。特別是在k為5和6的像散情況下，焦平面前的光斑形態(tài)與焦平面后對稱位置處的光斑形態(tài)呈90°夾角，比如k=6時，焦平面前1mm處為水平橢圓光斑，而焦平面后1mm處變?yōu)樨Q直橢圓光斑，這也為聚焦時存在像散的情況提供了直接判斷(對于大口徑離軸拋物面鏡聚焦飛秒脈沖時通常會存在像散)。

Fig.3 Intensity distribution before focal plane of 1mm (f=200mm，z=199mm) for femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

Fig.4 Intensity distribution after focal plane of 1mm (f=200mm，z=201mm) for femtosecond pulse with Gaussian intensity distribution under different kinds of aberration

Fig.5 Pulse shape in time domain at the central position of focal plane (f=200mm) for femtosecond pulse with homogenous intensity distribution under different kinds of aberration

4 結 論

研究了在不同波前像差下具有均勻強度分布和高斯強度分布的飛秒脈沖的聚焦特性。對比焦平面處的光強分布，波前像差對均勻強度分布飛秒脈沖聚焦特性的影響比高斯強度分布的飛秒脈沖要明顯。對于高斯強度分布的飛秒脈沖，計算表明，各類波前像差對焦平面前和焦平面后的光強分布具有較為明顯的影響，使光強分布形態(tài)變差。因此對于高斯強度分布的飛秒脈沖，即使在焦平面處有可能獲得較好的聚焦光斑，波前像差的存在也不利于在焦點處獲得穩(wěn)定的、較長的光束傳播距離。盡管在實際的聚焦光學系統(tǒng)中，可能會同時存在多種波前像差，使飛秒光束的聚焦特性變得更為復雜，但是本文中的研究仍然對超短飛秒激光束的光束質量評估及聚焦特性分析具有實際的參考和指導意義。