廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟與貿(mào)易學(xué)院 姚宇航

廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 黃雨灝

廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟與貿(mào)易學(xué)院 楊佳美 余琪 馬麗婷

金融市場中，股票等資產(chǎn)經(jīng)常出現(xiàn)價格的異常波動，一定程度上影響了市場的穩(wěn)定性[1]。大量的實證表明，價格的波動與投資者的行為存在著較強的聯(lián)系。羊群行為理論中的行為傳染模型可以較好地刻畫兩者的關(guān)系，而系統(tǒng)動力學(xué)能更直觀深入地反映事態(tài)變化的動態(tài)過程[2]。目前已有的研究主要集中在不同市場情形下的股市演化模型，由于模型往往是較為復(fù)雜的常微分方程組形式，使得模型的應(yīng)用存在著局限性[3]。

1 基于行為傳染的股市演化模型

1.1 股市演化模型的構(gòu)建

羊群效應(yīng)和價格追蹤對轉(zhuǎn)換概率產(chǎn)生影響，每個時間段，買賣股票投資者都會變，所以買賣股票者在市場中的占比也在變化，投資者的轉(zhuǎn)換概率隨之產(chǎn)生變化，進而對投資者行為產(chǎn)生影響。大多數(shù)投資者行為x在單位時間內(nèi)的變化推導(dǎo)：

根據(jù)供求理論，大多數(shù)投資者的行為也反映了市場對股票的供求程度。當X大于0時，市場中對股票的需求大于供給，股票價格上升；X越大，說明對股票的需求越大，股價上升越大。同理當X小于0時，股價下降，并且會隨著X的減少，下降也增大。假設(shè)股價的波動與大多數(shù)投資者的行為X成線性關(guān)系，可以構(gòu)建股價波動的微分方程如下：

綜上可得一個股市演化動力學(xué)方程：

當Vbs>Vsb的時候，股票最終的均衡價格大于內(nèi)在價格；當Vbs

1.2 數(shù)值仿真和參數(shù)研究

為了更直觀地了解股市演化模型的經(jīng)濟意義，以及可以定性定量分析參數(shù)對模型的影響，本文采用matlab軟件進行數(shù)值仿真并繪圖。

圖1 股票價格p、大多數(shù)投資者行為x與時間t之間的相互關(guān)系

圖2 大多數(shù)投資者行為x與股票價格p的關(guān)系

由圖1可知，x、p與t之間的函數(shù)關(guān)系圖均呈現(xiàn)一種“振蕩衰減”的形狀。此外，大多數(shù)投資者行為與股票價格呈現(xiàn)“異步性”。分析可得，投資者的羊群行為會推動股票價格的上漲或下跌。由于金融市場內(nèi)在的調(diào)節(jié)機制，羊群行為程度將下降，而股票價格由于“慣性”的原因?qū)⒗^續(xù)上漲。

由圖2可知，大多數(shù)投資者行為與股票價格之間呈現(xiàn)“動態(tài)循環(huán)”的狀態(tài)。在一個周期內(nèi)會經(jīng)歷四個階段：第一階段是大多數(shù)投資者行為均大于0并趨向于0，股票價格上升。第二階段是大多數(shù)投資者行為均小于0并偏離于0，股票價格會下降。第三階段和第四階段產(chǎn)生的原因和第一階段同理。

2 單自由度欠阻尼振動模型

2.1 微分方程的求解及數(shù)值仿真

其中X為振幅，φ0為初相位，假設(shè)質(zhì)量塊的初始速度為v0，初始位移為x0?？汕蟮茫?/p>

式(4)和式(5)即為單自由度欠阻尼非受迫振動微分方程的解析解。式(4)描述了質(zhì)量塊的位移與時間t的關(guān)系。

為了更直觀地了解質(zhì)量塊位移、運動速度和時間的關(guān)系，采用MATLAB 進行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如下。

圖3 質(zhì)量塊位移、運動速度和時間

圖4 質(zhì)量塊位移和運動速度的關(guān)系

由圖3、圖4可知，在欠阻尼非受迫振動模型中，質(zhì)量塊的質(zhì)量塊位移、運動速度和時間的關(guān)系圖與在股市演化模型中關(guān)系圖較為相像，均呈現(xiàn)一種“振蕩衰減”的形狀?；谝陨戏治?，本文認為單自由度欠阻尼振動模型中的質(zhì)量塊位移方程和股市演化模型中的股票價格方程存在著較強的聯(lián)系，并提出假設(shè)：質(zhì)量塊的位移方程是股票價格方程的解析解形式。為了驗證該假設(shè)，本文采用1stopt 軟件對股市演化模型中產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)進行曲線擬合。

2.2 曲線擬合及模型檢驗

本文采用最常用的麥夸特法(Levenberg-Marquardt)+通用全局優(yōu)化法進行曲線擬合。擬合的模型為單自由度欠阻尼振動模型中的位移方程(4)，原始數(shù)據(jù)為股票價格數(shù)據(jù)，擬合之前對數(shù)據(jù)進行標準化處理，擬合結(jié)果如下。

模型的均方差RMSE和殘差平方和SSE約為0.0289和0.4139，表明模型的誤差較小。同時，模型擬合的相關(guān)系數(shù)R2為0.8819(決定系數(shù)DC為0.8745)，均可以說明，模型的擬合程度較高。F統(tǒng)計量的值為3694.8647，表明擬合的模型在整體上的顯著性較強，通過了檢驗。這驗證了假設(shè)質(zhì)量塊的位移方程是股票價格方程的解析解形式。

2.3 單自由度欠阻尼振動模型的經(jīng)濟意義解釋

2.3.1 無阻尼系統(tǒng)的固有頻率

分別取無阻尼系統(tǒng)的固有頻率ω為10、3和5.2，仿真結(jié)果如下。

隨著無阻尼系 統(tǒng)的固有頻率的增加，物體的位移達到均衡狀態(tài)的時間在減少，波動次數(shù)變化不明顯，峰值在減少；均衡時刻的位移則呈現(xiàn)一種階段性的跳躍狀態(tài)：經(jīng)過多次數(shù)值仿真條件可知，當無阻尼系統(tǒng)的固有頻率在4.9 5.3的區(qū)間時，位移會下跌到定值-1左右，其他時刻位移則在定值 0 左右。

2.3.2 粘性阻尼比

分別取粘性阻尼比ξ為0.2、0.3以及1.1，仿真結(jié)果如下。

隨著粘性阻尼比的增加，物體的位移達到均衡狀態(tài)的時間在減少，波動次數(shù)和峰值也在減少，均衡時刻的位移則變化不明顯。當粘性阻尼比大于1的時候，可知此時系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，位移幾乎呈指數(shù)增長。在股市演化模型中，投資者行為發(fā)生改變的頻率與股票價格達到均衡狀態(tài)的時間、波動次數(shù)和峰值呈負相關(guān)關(guān)系，羊群效應(yīng)影響系數(shù)和價格調(diào)整系數(shù)則相反；投資者行為發(fā)生改變的頻率越大，股票均衡時刻的價格（最終價值）也越大。

因此本文提出猜想，單自由度欠阻尼振動模型的粘性阻尼比可能與羊群效應(yīng)影響系數(shù)和價格調(diào)整系數(shù)呈現(xiàn)線性關(guān)系，而無阻尼系統(tǒng)固有頻率與股市演化模型的三個參數(shù)之間可能呈現(xiàn)較為復(fù)雜的非線性關(guān)系。

3 結(jié)語

本文對在經(jīng)濟學(xué)模型基礎(chǔ)上引入物理模型具有一定的參考價值，但由于模型做了一定的簡化假設(shè)，因此在實際應(yīng)用上存在著局限性。后續(xù)研究將著力于以下幾個方面：（1）研究股市演化模型和單自由度欠阻尼振動模型參數(shù)之間具體的函數(shù)關(guān)系式。（2）剖析無阻尼系統(tǒng)固有頻率增加過程中均衡時刻的位移呈現(xiàn)階段性的跳躍狀態(tài)的原因。（3）股市演化模型引入更多類型的投資者，并在單自由度線性系統(tǒng)基礎(chǔ)上增加自由度和激勵力的強迫振動，使得模型可以更符合實際市場的運行情況。