郭林杰，于海生，吳賀榮

(青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島 266071)

0 引 言

異步電動機(jī)因結(jié)構(gòu)簡單、造價較低等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)的各個領(lǐng)域[1-2]。由于可以將異步電動機(jī)解耦成磁鏈和轉(zhuǎn)矩兩個分系統(tǒng)，達(dá)到類似直流電動機(jī)的控制效果，故間接磁場定向控制得到了很多學(xué)者的關(guān)注[3-4]。但間接磁場控制的精確度非常依賴于轉(zhuǎn)子電阻和轉(zhuǎn)子磁鏈的準(zhǔn)確估計[5]。然而，受到溫度升高、集膚效應(yīng)等因素的影響，轉(zhuǎn)子電阻在電機(jī)實(shí)際運(yùn)行過程中會發(fā)生明顯變化，從而影響轉(zhuǎn)子磁鏈的估計，進(jìn)一步導(dǎo)致系統(tǒng)控制出現(xiàn)偏差，嚴(yán)重影響間接磁場控制的性能[6]。因而研究轉(zhuǎn)子電阻的在線辨識算法成為矢量控制的熱門課題之一。近年來，基于模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)(以下簡稱MRAS)的轉(zhuǎn)子電阻辨識算法因其結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)而備受矚目[7]。

文獻(xiàn)[8]根據(jù)電流型和電壓型磁鏈觀測器兩者的輸出誤差，構(gòu)建MRAS，在線辨識轉(zhuǎn)子電阻。文獻(xiàn)[9]設(shè)計電磁轉(zhuǎn)矩模型在線補(bǔ)償轉(zhuǎn)子電阻差值。文獻(xiàn)[10-11]采用無功功率模型在線估計轉(zhuǎn)子電阻，并分別利用波波夫超穩(wěn)定性理論和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[12]提出了定子電流與轉(zhuǎn)子磁鏈點(diǎn)乘的MRAS方案，并進(jìn)一步分析指出了該方案不受定子電阻變化的影響。

本文在αβ坐標(biāo)系下推導(dǎo)異步電動機(jī)全階狀態(tài)觀測器，實(shí)時估計轉(zhuǎn)子磁鏈；在此基礎(chǔ)上利用波波夫超穩(wěn)定性理論設(shè)計MRAS的轉(zhuǎn)子電阻在線估計算法；最后，設(shè)計反步控制器來加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。

1 異步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型

異步電動機(jī)在αβ坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型[13]：

(2)

式中：

為電機(jī)漏磁系數(shù)；isα，isβ分別為定子電流在αβ坐標(biāo)系下的分量；λrα，λrβ分別為轉(zhuǎn)子磁鏈在αβ坐標(biāo)系上的分量；usα，usβ為定子電壓分量；Rs，Rr分別是定子和轉(zhuǎn)子電阻；Ls，Lr和Lm分別是定子、轉(zhuǎn)子電感和互感；ωr為轉(zhuǎn)子電角速度。

2 全階狀態(tài)觀測器設(shè)計

在式(1)的基礎(chǔ)上建立異步電動機(jī)全階觀測器[14]：

(3)

式中：“^”為估計值；G為反饋增益矩陣，用來保證觀測器的漸近穩(wěn)定和快速收斂。

將觀測器的極點(diǎn)全部配置到異步電動機(jī)極點(diǎn)左側(cè)的k倍位置，以保證觀測器的漸近穩(wěn)定。選擇合適的k，使觀測器能夠快速收斂。

由式(1)可得到異步電動機(jī)模型的特征方程：

定義反饋矩陣G：

(5)

則由式(3)和式(5)可得出全階觀測器的特征方程：

(7)

聯(lián)立式(4)、式(6)、式(7)可得全階觀測器反饋增益矩陣G的各項(xiàng)表達(dá)式：

(8)

3 轉(zhuǎn)子電阻在線辨識算法

定義觀測器狀態(tài)誤差：

(9)

用式(3)減去式(1)得到誤差狀態(tài)方程：

(10)

為了在線估計轉(zhuǎn)子電阻，將異步電動機(jī)模型自身作為參考模型，設(shè)計的全階觀測器作為可調(diào)模型，構(gòu)建MRAS，全階觀測器中含有待辨識的轉(zhuǎn)子電阻。由于異步電動機(jī)轉(zhuǎn)子磁鏈不能直接測量，選取容易測量的定子電流作為兩個模型比較的物理量，并運(yùn)用波波夫超穩(wěn)定性理論設(shè)計轉(zhuǎn)子電阻的在線辨識算法。

將式(10)代入波波夫不等式[15]有：

(11)

將式(11)進(jìn)一步整理：

(12)

取轉(zhuǎn)子電阻Rr的自適應(yīng)律：

(13)

將式(13)代入式(12)可得：

(14)

將式(14)拆解成兩部分：

(15)

(16)

若式(15)、式(16)均成立，則可保證式(14)成立。

對式(15)而言，設(shè)存在一個函數(shù)f(t)，其對時間的導(dǎo)數(shù)：

(17)

再選取函數(shù)F1，使其滿足:

(18)

式中：ki為正實(shí)數(shù)。

將式(17)、式(18)代入式(15)中可得：

由此，式(15)滿足不等式。由式(17)、式(18)可得:

(20)

再對式(16)進(jìn)行求解，將式(16)整理成:

(21)

要使式(21)成立，只需式(22)左邊的被積函數(shù)為正即可，令:

(22)

式中：kp為正實(shí)數(shù)。將式(22)代入式(21)可得:

(23)

由上式可知，式(18)也滿足波波夫不等式。將式(20)和式(22)代入式(13)，可得轉(zhuǎn)子電阻自適應(yīng)律:

(24)

4 反步控制器設(shè)計

定義ω和λrd的跟蹤誤差：

(25)

(26)

選擇李雅普諾夫函數(shù)：

(27)

對上式(27)求導(dǎo)可得：

(28)

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，令:

(29)

此時，式(28)可表示:

(30)

選取電流isd和isq為虛擬控制量，由式(26)和式(29)可得：

(31)

定義定子電流誤差：

(32)

對式(32)求導(dǎo)可得：

(33)

式中：

選擇李雅普諾夫函數(shù):

(34)

對式(34)求導(dǎo)可得:

為使控制器漸近穩(wěn)定，令:

(36)

此時，可以得到控制律:

(37)

將式(37)代入式(35)可得:

(38)

因此，控制器漸近穩(wěn)定。

基于轉(zhuǎn)子電阻在線辨識的異步電動機(jī)反步法速度控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于全階觀測器的異步電動機(jī) 轉(zhuǎn)子電阻辨識和反步控制系統(tǒng)框圖

5 仿真結(jié)果和分析

利用MATLAB/Simulink平臺對本文的控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。異步電動機(jī)的參數(shù)：額定功率PN=4 kW；額定轉(zhuǎn)速nN=1 400 r/min ；額定頻率fn=50 Hz；額定電壓Vn=380 V；定子和轉(zhuǎn)子電阻Rs=1.85 Ω，Rr=2.658 Ω；定子和轉(zhuǎn)子電感Ls=0.294 1 H，Lr=0.289 8 H；互感Lm=0.283 8 H；轉(zhuǎn)動慣量Jm=0.128 4 kg·m2；反步控制器中k1=500，k2=200，k3=150，k4=55；極對數(shù)p=2；全階觀測器極點(diǎn)倍數(shù)k=1.2；辨識系統(tǒng)kp=1.5，ki=300。

異步電動機(jī)以60 rad/s的速度空載起動，在t=0.5 s時負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變?yōu)?0 N·m，在t=1 s時轉(zhuǎn)子電阻增大50%，變?yōu)?.987 Ω?？紤]到轉(zhuǎn)子電阻由于溫度等因素隨時間呈現(xiàn)非線性變化，本文采用指數(shù)函數(shù)代替階躍函數(shù)來模擬轉(zhuǎn)子電阻非線性變化。選取函數(shù)Rr=Rr0+C(1-e-t/T0)，C和T0為實(shí)常數(shù)。由圖2可以看出，帶有辨識系統(tǒng)的反步控制可以快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時，轉(zhuǎn)速沒有受到影響。由圖3可以看出，全階觀測器可以較快地估計出轉(zhuǎn)子磁鏈的幅值；在轉(zhuǎn)子電阻增大時，無辨識系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子磁鏈幅值發(fā)生變化，磁鏈偏離穩(wěn)態(tài)值1 Wb，有辨識系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子磁鏈幅值沒有明顯變化。圖4中無辨識系統(tǒng)的電磁轉(zhuǎn)矩脈動變大。由圖5可以看出，本文的轉(zhuǎn)子電阻辨識算法可以較快、精確地辨識出轉(zhuǎn)子電阻真實(shí)值。圖6中無辨識系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子磁鏈位置與實(shí)際位置不符，這會導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩和磁鏈解耦出現(xiàn)偏差，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能。加入辨識模塊后，轉(zhuǎn)子磁鏈幅值較快回到給定值，轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子磁鏈位置和電磁轉(zhuǎn)矩沒有因?yàn)殡娮枳兓a(chǎn)生影響，說明該模塊消除了轉(zhuǎn)子電阻變化對間接磁場定向控制的影響。

圖2 轉(zhuǎn)速變化曲線圖

圖3 轉(zhuǎn)子磁鏈幅值圖

圖4 電磁轉(zhuǎn)矩變化圖

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩變化圖轉(zhuǎn)子電阻估計圖

圖6 轉(zhuǎn)子磁鏈位置圖

6 結(jié) 語

本文對轉(zhuǎn)子電阻辨識問題進(jìn)行了研究。首先，建立異步電動機(jī)全階觀測器，根據(jù)極點(diǎn)配置的原則，確定了反饋增益矩陣，以實(shí)時觀測轉(zhuǎn)子磁鏈；其次，根據(jù)全階觀測器，建立了MRAS在線辨識轉(zhuǎn)子電阻算法，實(shí)時更新控制系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子電阻的數(shù)值；然后，設(shè)計了反步控制器，提高了控制系統(tǒng)的控制性能；最后，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果證明了本文算法的正確性。