蘇戈曼，崔國(guó)民，鮑中凱，肖媛，蔣奧煒

（上海理工大學(xué)新能源科學(xué)與工程研究所，上海200093）

換熱網(wǎng)絡(luò)（heat exchanger network，HEN）是一種在工業(yè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的熱回收系統(tǒng)，其優(yōu)化能進(jìn)一步提高節(jié)能降耗水平和企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益，受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。1990 年，Yee 和Grossmann[1-2]建立了換熱網(wǎng)絡(luò)分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型（stage-wise superstructure,SWS），其包含大量可行的結(jié)構(gòu)，并實(shí)現(xiàn)了換熱網(wǎng)絡(luò)的同步優(yōu)化。近年來(lái)，一些新的同步優(yōu)化模型相繼被提出。He 和Cui[3]、Zhang[4]等分別提出和改進(jìn)了換熱網(wǎng)絡(luò)棋盤模型，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、布置靈活。Hong等[5]建立了一種新的換熱網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)運(yùn)模型，包含更多復(fù)雜結(jié)構(gòu)，此外還提供了線性約束條件與更為精確的換熱面積計(jì)算方法，優(yōu)化效果較好。Pav?o等[6]提出了一種增強(qiáng)型SWS，豐富了公用工程的布置方式；在此基礎(chǔ)上，該作者還增加了子級(jí)、子分流等結(jié)構(gòu)特征[7]，也取得了一定效果。

換熱網(wǎng)絡(luò)同步優(yōu)化模型在不斷發(fā)展，但從本質(zhì)上來(lái)看，其求解均屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)不連續(xù)，且包含眾多約束條件。在模型的求解過(guò)程中，約束條件的處理必不可少且十分重要。目前常用的約束處理方法包括懲罰函數(shù)法[8]、拉格朗日乘子法[9]、簡(jiǎn)約梯度法[10]、約束變尺度法[11]等。其中，懲罰函數(shù)法將有約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，適用范圍廣，對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求寬松，在換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題中被廣泛使用。Richardson 等[12]在遺傳算法的優(yōu)化過(guò)程中采用了懲罰函數(shù)來(lái)處理約束。方大俊等[13]同樣采用懲罰函數(shù)處理約束，并結(jié)合微分進(jìn)化算法，建立了罰因子協(xié)同進(jìn)化機(jī)制以保證罰因子的最佳取值。Krishna 等[14]分別將懲罰函數(shù)法和可行性方法與微分進(jìn)化算法結(jié)合，并通過(guò)對(duì)比證明懲罰函數(shù)法的優(yōu)越性。這些研究采用貪婪搜索機(jī)制，規(guī)避了懲罰函數(shù)法應(yīng)用過(guò)程中可能出現(xiàn)的換熱溫度交叉、負(fù)公用工程等違反熱力學(xué)約束的不可行解，使得優(yōu)化結(jié)果始終可行。

然而，換熱網(wǎng)絡(luò)同步優(yōu)化模型的混合整數(shù)非線性本質(zhì)使得問(wèn)題本身具有極強(qiáng)的非凸非線性特征，求解域內(nèi)存在大量局部極值點(diǎn)。因此，包括遺傳算法[15]、粒子群算法[16]、微分進(jìn)化算法[17]等在內(nèi)的貪婪算法在優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)時(shí)易過(guò)早陷入局部最優(yōu)。近年來(lái)，模擬退火算法[18-19]、煙花優(yōu)化算法[8]、強(qiáng)制進(jìn)化隨機(jī)游走算法（random walk algorithm with compulsive evolution，RWCE）[20]等非貪婪算法相繼被提出，具有跳出局部極值的能力，取得了較好的應(yīng)用效果。其中RWCE 除了能執(zhí)行非貪婪搜索即有概率接受差解，還具有個(gè)體獨(dú)立尋優(yōu)、能同步優(yōu)化連續(xù)變量和整型變量的優(yōu)點(diǎn)，算法全局搜索能力較強(qiáng)。然而，在將RWCE 應(yīng)用于懲罰處理下的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，違反約束的不可行解因被懲罰而具有較高的目標(biāo)函數(shù)值，可能作為差解被接受下來(lái)，這是非貪婪算法中不可避免的問(wèn)題，而對(duì)不可行解在優(yōu)化中的作用研究尚處于空白階段，其中機(jī)理亟需進(jìn)一步考察。

鑒于此，本文在實(shí)現(xiàn)外罰函數(shù)法處理約束的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不可行解對(duì)RWCE 算法的影響，以指導(dǎo)算法改進(jìn)，使之更加適用于罰函數(shù)處理下的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題。首先分析不可行解對(duì)優(yōu)化的具體影響，揭示偏移量較小的不可行解在促進(jìn)結(jié)構(gòu)進(jìn)化方面的作用，接著提出差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，緩解不可行解消極影響的同時(shí)合理利用其積極影響，基于此，提出一種包含兩項(xiàng)優(yōu)化技術(shù)的可行化策略，進(jìn)一步提升算法搜索能力，最后形成一種強(qiáng)化RWCE算法，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行有效性驗(yàn)證。

1 換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

1.1 問(wèn)題描述

已知NH條熱流體、NC條冷流體及其進(jìn)出口溫度、熱容流率、換熱系數(shù)，通過(guò)搭配冷、熱物流換熱以形成換熱器的網(wǎng)絡(luò)化布置，并在必要的情況下采用額外的公用工程（已知進(jìn)出口溫度和換熱系數(shù)），最終使各物流均能達(dá)到目標(biāo)溫度，并實(shí)現(xiàn)投資運(yùn)行成本的最小化。其中，投資運(yùn)行成本包括換熱器固定投資費(fèi)用、換熱面積費(fèi)用及公用工程運(yùn)行費(fèi)用。為了解決上述優(yōu)化問(wèn)題，本文采用經(jīng)典的Grossmann 無(wú)分流換熱網(wǎng)絡(luò)分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型，并有如下假設(shè)：

①流股物性參數(shù)不變；

②公用工程只布置在流股末端；

③換熱器均逆流布置；

④不考慮流股在流動(dòng)過(guò)程中的壓降損失。

以2×2算例為例展示分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型，結(jié)構(gòu)如圖1所示，冷、熱流體按一定順序進(jìn)行匹配，并在各流股末端布置公用工程。其中m為級(jí)數(shù)編號(hào)，設(shè)NS為總級(jí)數(shù)，則換熱器個(gè)數(shù)最多為NH×NC×NS。

圖1 換熱網(wǎng)絡(luò)無(wú)分流分級(jí)超結(jié)構(gòu)模型

1.2 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)見(jiàn)式(1)。

式中，TAC 為年綜合費(fèi)用；i、j為熱、冷流股編號(hào)；FFIX為換熱單元固定投資費(fèi)用；E為判斷換熱單元存在與否的0-1邏輯變量；CA為換熱單元面積費(fèi)用系數(shù)；δ為換熱單元面積費(fèi)用指數(shù)；Ai,j,m為換熱器的換熱面積；ACU,i、AHU,j分別為冷、熱公用工程換熱面積；CCU、CHU分別為冷、熱公用工程運(yùn)行費(fèi)用系數(shù)；QCU,i、QHU,j分別為冷、熱公用工程換熱量；P1、P2、P3、P4為違反約束條件的不可行解相應(yīng)的懲罰函數(shù)，具體計(jì)算方式將在下文給出。

1.3 主要約束

1.3.1 出口溫度約束

熱、冷出口溫度約束見(jiàn)式(2)、式(3)。

式中，THout,i、TCout,j分別為熱、冷流體出口溫度；THtar,i、TCtar,j分別為熱、冷流體的目標(biāo)溫度。

1.3.2 換熱溫度可行約束

由熱力學(xué)定律，換熱網(wǎng)絡(luò)的冷、熱流股之間或流股與公用工程之間的換熱溫度不能出現(xiàn)溫度交叉現(xiàn)象，因此存在換熱溫度可行約束。

（1）換熱器處換熱溫度可行約束[式(4)]

式中，ΔTleft,i,j,m、ΔTright,i,j,m分別為換熱器左、右

端溫差，兩者均不為負(fù)才能避免溫度交叉。計(jì)算方式如式(5)和式(6)，其中THin,i,j,m、THout,i,j,m分別為換熱器在熱流體上的進(jìn)、出口溫度，TCin,i,j,m、TCout,i,j,m分別為換熱器在冷流體上的進(jìn)、出口溫度。

（2）公用工程處換熱溫度可行約束[式(7)]

式中，ΔTleft,i、ΔTright,i分別為冷公用工程的左、右端溫差；ΔTleft,j、ΔTright,j分別為熱公用工程的左、右端溫差。四項(xiàng)均非負(fù)才能避免冷、熱公用工程出現(xiàn)溫度交叉，計(jì)算方式如式(8)～式(11)。其中THU,in、THU,out分別為熱公用工程進(jìn)、出口溫度；TCU,in、TCU,out分別為冷公用工程進(jìn)、出口溫度；THout,i,NC,NS為第i股熱流體最后一個(gè)換熱器的出口溫度；TCout,1,j,1為第j股冷流體第1個(gè)換熱器的出口溫度。

1.3.3 公用工程非負(fù)約束

公用工程布置在流股末端，其大小取決于流股上最后一個(gè)換熱器的出口溫度與流股目標(biāo)溫度，兩個(gè)溫度之差不能為負(fù)，如式(12)。

ΔTCU,i、ΔTHU,j分別為冷、熱公用工程的換熱溫差，按式(13)與式(14)計(jì)算。

1.4 采用外罰函數(shù)法處理約束

針對(duì)1.3.2 節(jié)與1.3.3 節(jié)兩種約束，采用外罰函數(shù)法以防止溫度交叉與負(fù)公用工程這兩種主要的不可行解出現(xiàn)。具體操作如式(15)～(18)所示。其中，P1為換熱器處出現(xiàn)溫度交叉的懲罰函數(shù)；P2、P3分別為冷、熱公用工程出現(xiàn)溫度交叉的懲罰函數(shù)；P4為出現(xiàn)負(fù)公用工程的懲罰函數(shù)；a1、a2、a3、a4為罰因子；β為罰指數(shù)；h1～h8為常數(shù)項(xiàng)。

此外，定義不可行解偏移量|ΔToffset|為不可行解回到可行域至少需要補(bǔ)充的溫差大小。具體來(lái)看，換熱器溫度交叉的不可行解偏移量為|ΔTleft,i,j,m|或|ΔTright,i,j,m|；對(duì)于熱公用工程，造成其溫度交叉的偏移量為|ΔTleft,j|或|ΔTright,j|，造成公用工程為負(fù)的偏移量為|ΔTHU,j|，對(duì)于冷公用工程，造成其溫度交叉的偏移量為|ΔTleft,i|或|ΔTright,i|，造成公用工程為負(fù)的偏移量為|ΔTCU,i|。

2 強(qiáng)制進(jìn)化隨機(jī)游走算法

憑借操作簡(jiǎn)單靈活和全局搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，RWCE在換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題上相對(duì)于其他啟發(fā)式方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。本文采用RWCE 算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)，具體操作過(guò)程如下。

（1）初始化 隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)包含N個(gè)個(gè)體的初始種群，按式(19)將初始換熱量賦值于各個(gè)體，每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)NK維的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（NK為換熱器數(shù)目）。

其中，Qn,k,0表示第n個(gè)個(gè)體第k個(gè)（k=1,2,…,NK；n=1,…,N）換熱器的初始換熱量；Qmax為初始換熱量最大值，rand(0,1)為(0,1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

（2）個(gè)體隨機(jī)游走 以各個(gè)體換熱器的換熱量作為連續(xù)變量，進(jìn)行式(20)的隨機(jī)游走操作。

其中，Qn,k,it、Q′n,k,it+1分別為游走前、后換熱器的換熱量；ΔL為隨機(jī)游走的步長(zhǎng)；α1、α2均為(0,1)內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)。

設(shè) 置 最 小 換 熱 量Qmin，當(dāng)Q′n,k,it+1小 于Qmin時(shí)，Q′n,k,it+1將被清零，即對(duì)應(yīng)換熱器消去，否則生成或保留換熱器，以此實(shí)現(xiàn)連續(xù)變量與整形變量同步優(yōu)化，具體操作如式(21)所示。

（3）選擇與變異 若隨機(jī)游走后的解Q′n,it+1［如式(22)］年綜合費(fèi)用降低，則接受游走后的解，否則以一定的概率接受差解，實(shí)現(xiàn)個(gè)體變異，操作如式(23)。

其中，Qn,it為隨機(jī)游走前個(gè)體n的解，Qn,it+1為被選擇進(jìn)入下一代的解，φ為接受差解概率，γ為(0,1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

（4)終止條件 當(dāng)個(gè)體游走的迭代步數(shù)達(dá)到指定值ITmax時(shí)，結(jié)束迭代，否則返回個(gè)體隨機(jī)游走繼續(xù)優(yōu)化。

3 不可行解的影響分析及改進(jìn)策略

本節(jié)結(jié)合實(shí)例分析不可行解被接受后對(duì)RWCE優(yōu)化的影響，揭示偏移量較小的不可行解對(duì)結(jié)構(gòu)變異能力的促進(jìn)作用，并提出改進(jìn)策略，提高算法的結(jié)構(gòu)進(jìn)化能力。

3.1 不可行解對(duì)優(yōu)化的影響分析

通過(guò)記錄觀察不可行解產(chǎn)生前后的結(jié)構(gòu)變化，發(fā)現(xiàn)負(fù)公用工程與溫度交叉產(chǎn)生的原因存在兩種情況：①結(jié)構(gòu)中的某條流股新增了換熱器，使得該流股上的換熱負(fù)荷增加；②結(jié)構(gòu)不變，某條流股上的部分換熱器增加了換熱量。本質(zhì)上，兩種原因均可歸結(jié)為結(jié)構(gòu)的某部分區(qū)域出現(xiàn)過(guò)度換熱。因此，負(fù)公用工程與溫度交叉對(duì)優(yōu)化過(guò)程的影響類似，本文選取負(fù)公用工程這類不可行解作為研究對(duì)象。通過(guò)跟蹤個(gè)體在接受負(fù)公用工程后的優(yōu)化路徑，探究不可行解對(duì)優(yōu)化的影響。選取9股流算例[21]（算例參數(shù)如表1所示），采用RWCE 進(jìn)行優(yōu)化并設(shè)參數(shù)N=1，ΔL=90kW，Qmin=81kW，Qmax=100kW，φ=0.005，NS=4，β=2，ITmax=2×107，a1～a4均取106，h1～h6均取1.5，h7、h8取1。

統(tǒng)計(jì)優(yōu)化中被接受的不可行解個(gè)數(shù)u1、使得TAC下降（TAC1＞TAC2）的不可行解個(gè)數(shù)u2以及u2占u1的比例。其中，TAC1為接受不可行解前的原可行解年綜合費(fèi)用，TAC2為接受不可行解并經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代后獲得的新可行解年綜合費(fèi)用。按不同偏移量區(qū)間對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了劃分，結(jié)果如表2 所示，從表2可以看出以下幾點(diǎn)。

表1 9股流算例參數(shù)

表2 RWCE不可行解個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)表

①隨偏移量增大，被接受的不可行解個(gè)數(shù)呈遞減趨勢(shì)，表明優(yōu)化過(guò)程中的不可行解偏移量整體偏小。

②在有限的迭代步數(shù)內(nèi)，多數(shù)不可行解被接受后難以產(chǎn)生費(fèi)用下降，甚至對(duì)優(yōu)化不利。

③仍有一部分不可行解能使得優(yōu)化費(fèi)用下降，表明不可行解也有積極作用；并且整體上該比例隨著偏移量增大呈減小趨勢(shì)，甚至區(qū)間[0,0.5]對(duì)應(yīng)比例為區(qū)間[2,3.5]對(duì)應(yīng)比例的近兩倍，表明偏移量較小的不可行解對(duì)優(yōu)化更為有利。偏移量較大的不可行解產(chǎn)生費(fèi)用下降相對(duì)困難，并且因其離可行域較遠(yuǎn)，被接受后還需耗費(fèi)更多的迭代步數(shù)才能返回可行域，對(duì)優(yōu)化效率存在負(fù)面影響。

④局部上來(lái)看，在[1,1.50]與[1.50,2.00]的偏移量區(qū)間內(nèi)，使得費(fèi)用下降的不可行解比例(u2/u1)×100%反而隨著偏移量增大而增大，這種反?，F(xiàn)象體現(xiàn)了算法較強(qiáng)的隨機(jī)性及變異能力。

3.2 偏移量較小的不可行解的正面作用

為深入探究偏移量較小的不可行解對(duì)降低TAC的作用機(jī)理，繼續(xù)觀察RWCE的優(yōu)化過(guò)程。圖2為優(yōu)化中的一個(gè)可行解，在一次隨機(jī)游走后，由于換熱器B 的換熱量增加，導(dǎo)致冷流體C3 上總換熱量超過(guò)自身?yè)Q熱潛能，出現(xiàn)了負(fù)公用工程（結(jié)構(gòu)如圖3所示），偏移量為0.004℃。該變化還促使H4流股上的換熱量分布得到了調(diào)整，并消去了換熱器D，產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)變化。在僅僅1378步迭代后，圖3中的不可行解重返可行域內(nèi)，速度較快；同時(shí)得到了圖4的結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)與圖3相同，只調(diào)整了連續(xù)變量，但不同于圖2結(jié)構(gòu)，表明接受偏移量較小的不可行解可以促進(jìn)結(jié)構(gòu)進(jìn)化；此外，圖4結(jié)構(gòu)的年綜合費(fèi)用較圖2結(jié)構(gòu)下降了1673USD/a，提升了優(yōu)化質(zhì)量。

3.3 差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略

圖2 9股流算例的一個(gè)可行解

圖3 9股流算例含有負(fù)公用工程的不可行解

圖4 不可行解重返可行域后的可行解

基于上述分析，在有限的迭代步數(shù)內(nèi)，多數(shù)不可行解對(duì)優(yōu)化是不利的，而部分不可行解特別是偏移量較小的不可行解對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)化存在一定積極作用。因此，在優(yōu)化過(guò)程中，無(wú)需禁止所有不可行解，應(yīng)該整體調(diào)小不可行解的接受概率，有效利用其對(duì)優(yōu)化的促進(jìn)作用，同時(shí)降低其由于偏移量增大而帶來(lái)的消極影響。對(duì)此，提出差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，如式(24)所示，接受差解概率為關(guān)于不可行解偏移量的函數(shù)。其中，φ'（≤φ）為改進(jìn)后的接受差解概率，c（＞0）為常數(shù)項(xiàng)。通過(guò)調(diào)整接受差解概率來(lái)改變不可行解的接受情況，使得不可行解接受概率整體低于可行解，同時(shí)偏移量較小的不可行解接受概率大于偏移量較大的不可行解接受概率。

以下對(duì)策略的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。同樣以9股流算例為例，取c=4，其他優(yōu)化參數(shù)均與3.1節(jié)相同。統(tǒng)計(jì)不可行解接受情況，包括u1、u2及其比值，如表3所示。采用差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略后，算法優(yōu)化路徑得到改善，[0,0.5]中不可行解增多，并且占所有不可行解的比例為96.6%，較表2 中相應(yīng)比例75.3%多了21.3%，顯著提高了較小偏移量不可行解的接受比例，而較大偏移量的不可行解明顯減少，同時(shí)[0,0.5]中u2個(gè)數(shù)及u2與u1之比也較表2 明顯增大，表明不可行解對(duì)優(yōu)化的促進(jìn)作用得到了提升。

表3 采用差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的不可行解個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)表

觀察TAC 的變化，對(duì)比采用策略前后的TAC迭代曲線。如圖5所示，共同進(jìn)化2000萬(wàn)步時(shí)，改進(jìn)前的費(fèi)用曲線雖然前期快速下降，但在進(jìn)化后期趨于平緩，結(jié)構(gòu)變異能力減弱，最終費(fèi)用較高；而改進(jìn)后的費(fèi)用曲線在后期仍有所下降，保持著較好的結(jié)構(gòu)變異能力，且最終得到更低的費(fèi)用。由此可見(jiàn)，差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略充分利用了偏移量較小的不可行解對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)化的促進(jìn)作用，提升了優(yōu)化質(zhì)量。

圖5 9股流算例TAC曲線對(duì)比

4 不可行解的可行化策略

從表3可以看出，由于差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略以較大的概率接受偏移量較小的不可行解，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果常含有較小偏移量。因此，本文提出一種不可行解的可行化策略，將分段罰指數(shù)技術(shù)和雙種群優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于優(yōu)化過(guò)程中帶有較小偏移量的個(gè)體歷史最優(yōu)解，使其快速返回可行域，同時(shí)進(jìn)一步提升優(yōu)化質(zhì)量。

4.1 分段罰指數(shù)

采用差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的優(yōu)化結(jié)果常為偏移量較小的不可行解，如果采用原罰指數(shù)（即β＞1）繼續(xù)優(yōu)化，難以得到精確可行解。因此，本文根據(jù)懲罰函數(shù)性質(zhì)，按照偏移量大小對(duì)懲罰指數(shù)分段賦值，如式(25)，在(|ΔToffset|/h)≤1 的區(qū)間內(nèi)采用0 ＜β≤1 的 精 確 懲 罰，(|ΔToffset|/h)＞1 時(shí) 取β＞1，以此加大對(duì)較小偏移量不可行解的懲罰力度，減少其重返可行域的迭代步數(shù)，加速其可行化進(jìn)程。

4.2 雙種群優(yōu)化

由于分段罰指數(shù)技術(shù)加大了對(duì)較小偏移量不可行解的懲罰力度，若直接將該技術(shù)用于RWCE 的優(yōu)化過(guò)程，則會(huì)使得較小偏移量的不可行解難以產(chǎn)生。因此提出雙種群優(yōu)化技術(shù)，在原種群（種群1）的基礎(chǔ)上建立一個(gè)與之規(guī)模相同且個(gè)體一一對(duì)應(yīng)的新種群（種群2）。種群1 仍然采用原懲罰函數(shù)，并采用RWCE 與差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略進(jìn)行優(yōu)化，可以產(chǎn)生大量具有較小偏移量的不可行解；種群2個(gè)體接收來(lái)自種群1相應(yīng)個(gè)體的歷史最優(yōu)解（往往具有較小偏移量），采用分段罰指數(shù)技術(shù)使其快速可行化，并將接受差解概率清零以增強(qiáng)連續(xù)變量?jī)?yōu)化。該策略如圖6所示。

圖6 雙種群優(yōu)化示意圖

僅選取個(gè)體的歷史最優(yōu)解作為可行化對(duì)象，一方面可以減少計(jì)算時(shí)間，另一方面由于其往往具有較好的進(jìn)化潛力，甚至優(yōu)于最終結(jié)果，該選擇還可以提升優(yōu)化質(zhì)量。

4.3 可行化策略有效性分析

仍以9股流算例為例，驗(yàn)證可行化策略的有效性。如表4所示，統(tǒng)計(jì)了種群1個(gè)體在迭代過(guò)程中產(chǎn)生的若干個(gè)歷史最優(yōu)解TAC（均具有較小偏移量）及其傳遞給種群2并完成可行化后的TAC及可行化過(guò)程耗費(fèi)的步數(shù)，可以看出以下幾點(diǎn)。

（1）與3.2節(jié)可行化耗費(fèi)步數(shù)1378步相比，采用分段罰指數(shù)技術(shù)后的可行化過(guò)程僅需幾十步，耗費(fèi)步數(shù)大大減少，實(shí)現(xiàn)了不可行解的快速可行化。

（2）雙種群技術(shù)保護(hù)了過(guò)程中不可行解的進(jìn)化潛力，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化質(zhì)量的提升，如第7.75×106步的個(gè)體歷史最優(yōu)解TAC 雖然相對(duì)較高，但經(jīng)過(guò)可行化后的TAC卻最低。

（3）種群1中的歷史最優(yōu)解均為帶有較小偏移量的不可行解，所受懲罰值較小，對(duì)應(yīng)TAC 也較小。在傳遞到種群2后，為了保證可行，對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)在消去偏移量的過(guò)程中可能增加其他的費(fèi)用，使得真實(shí)的TAC略有上升，如表中除第7.75×106步之外的結(jié)果。然而，這并不能排除可行化后的費(fèi)用存在降低的可能。

表4 9股流算例歷史最優(yōu)解可行化前后費(fèi)用情況

4.4 改進(jìn)算法流程

結(jié)合差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整和可行化兩條強(qiáng)化策略后，形成一種強(qiáng)化RWCE 算法（an enhanced RWCE，ERWCE），算法流程如圖7所示。ERWCE在原RWCE 算法的基礎(chǔ)上合理利用較小偏移量不可行解以強(qiáng)化結(jié)構(gòu)進(jìn)化，并通過(guò)可行化策略來(lái)解決優(yōu)化結(jié)果帶有較小偏移量的問(wèn)題，同時(shí)提升優(yōu)化質(zhì)量。

圖7 ERWCE算法流程

5 算例分析

選取2 個(gè)基準(zhǔn)算例以進(jìn)一步驗(yàn)證ERWCE 的有效性。對(duì)于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題，在可接受計(jì)算時(shí)間條件下，優(yōu)化質(zhì)量更加重要[20]。因此本文側(cè)重優(yōu)化質(zhì)量，以年綜合費(fèi)用為評(píng)價(jià)優(yōu)化質(zhì)量的指標(biāo)，考察優(yōu)化算法性能。

5.1 算例1

算例1 取自文獻(xiàn)[22]，包含6 股熱流體和10 股冷流體，具體參數(shù)如表5所示，分別用RWCE、結(jié)合差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的RWCE、ERWCE 算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)。RWCE 優(yōu)化參數(shù)為N=100，ΔL=250kW，Qmin=225kW，Qmax=250kW,φ=0.005，NS=5，β=2，ITmax=108，a1～a4均取107，h1～h8均取1；結(jié)合差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的RWCE 在此基礎(chǔ)上增加了c=1；ERWCE 在上述參數(shù)的基礎(chǔ)上增加分段罰指數(shù)如式(26)所示。三種算法得到的TAC迭代曲線如圖8所示。

表5 算例1參數(shù)表

圖8 算例1 TAC曲線對(duì)比圖

可以發(fā)現(xiàn)，RWCE算法的優(yōu)化曲線前期下降較快，但中后期不再變化；而結(jié)合差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的RWCE 在優(yōu)化過(guò)程中有多處大幅下降，雖然前期較慢，但在進(jìn)化后期仍有明顯下降趨勢(shì)，取得了更好的結(jié)果；ERWCE 算法的優(yōu)化曲線前期下降最快，迅速找到了優(yōu)于前兩個(gè)的結(jié)果，并在中后期仍有所下降，取得了最優(yōu)的結(jié)果，優(yōu)化效率明顯高于RWCE。

圖9 采用RWCE算法得到的結(jié)構(gòu)圖（TAC為6931859USD·a-1）

圖10 采用ERWCE算法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖（TAC為6837245USD·a-1）

表6 算例1結(jié)果對(duì)比

采用RWCE 算法優(yōu)化的最終結(jié)果如圖9 所示，TAC為6931859USD/a，采用ERWCE算法優(yōu)化的最終結(jié)果如圖10 所示，TAC 為6837245USD/a，較改進(jìn)前下降了94614USD/a，與文獻(xiàn)無(wú)分流的最優(yōu)結(jié)果[23]相比，下降了23866USD/a，與文獻(xiàn)有分流的最優(yōu)結(jié)果[24]相比下降了11481USD/a，費(fèi)用對(duì)比如表6所示。

RWCE 得到的TAC 只比文獻(xiàn)[23-24]高，優(yōu)化性能已經(jīng)較好；ERWCE 結(jié)合了RWCE 與兩條增強(qiáng)策略，搜索能力更強(qiáng)，優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于所有文獻(xiàn)且包括文獻(xiàn)[24]的有分流結(jié)果。因?yàn)橛蟹至髂Ｐ碗m然擴(kuò)大了求解域，但是大大增加了模型的復(fù)雜性，不利于算法的充分優(yōu)化，最終結(jié)果可能不如無(wú)分流模型。文獻(xiàn)[23]同樣采用無(wú)分流模型，但未能搜索到本文結(jié)構(gòu)，因?yàn)镋RWCE算法性能更優(yōu)，能實(shí)現(xiàn)更為充分的搜索。

5.2 算例2

算例2取自文獻(xiàn)[27]，包含8股熱流體和7股冷流體，具體參數(shù)如表7所示。采用RWCE算法，設(shè)置優(yōu)化參數(shù)為N=100，ΔL=100kW，Qmin=90kW，Qmax=100kW，φ=0.001，NS=4，β=2，ITmax=108，a1～a4均取107，h1～h6均取1，h7、h8取2，最終TAC 為1519103USD/a。采用ERWCE 算法（圖11），設(shè)置第二種群罰指數(shù)的分段函數(shù)如式(27)所示，其他優(yōu)化參數(shù)不變，最終TAC 為1511689USD/a，較RWCE下降了7414USD/a。

表7 算例2參數(shù)表

費(fèi)用對(duì)比如表8所示。與文獻(xiàn)中的有分流結(jié)構(gòu)相比，ERWCE 得到的TAC 只比文獻(xiàn)[28]高。在無(wú)分流結(jié)果中，ERWCE 得到的TAC 最低，且比文獻(xiàn)[20]節(jié)省了7279USD/a，后者采用了基礎(chǔ)RWCE，性能不及ERWCE，因此無(wú)法搜索到本文結(jié)構(gòu)。此外，文獻(xiàn)[20]結(jié)果在C3和C6上均存在熱公用工程，而ERWCE 得到的結(jié)果新增了H2 與C3、C6 的匹配，從而消去了C3和C6上的熱公用工程，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)進(jìn)化。

表8 算例2結(jié)果對(duì)比

6 結(jié)論

本文分析了不可行解對(duì)RWCE 優(yōu)化進(jìn)程的影響，并提出了兩條強(qiáng)化策略，形成了ERWCE 算法，有如下結(jié)論。

（1）多數(shù)不可行解對(duì)優(yōu)化不利，部分不可行解能使得費(fèi)用下降，特別是較小偏移量的不可行解因能促進(jìn)結(jié)構(gòu)進(jìn)化，對(duì)優(yōu)化存在一定積極作用。

（2）差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略在整體上降低了不可行解的接受概率，緩解了不可行解的負(fù)面作用，同時(shí)有效利用了較小偏移量不可行解對(duì)優(yōu)化的正面影響，提升了RWCE算法結(jié)構(gòu)進(jìn)化能力。

（3）可行化策略包含分段罰指數(shù)與雙種群優(yōu)化技術(shù)，既解決了優(yōu)化結(jié)果常帶有較小偏移量的問(wèn)題，又保護(hù)了優(yōu)化過(guò)程中個(gè)體歷史最優(yōu)解的進(jìn)化潛力，提升了優(yōu)化質(zhì)量。

圖11 采用ERWCE的優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖（TAC為1511689USD·a-1）

（4）以兩個(gè)基準(zhǔn)算例驗(yàn)證了ERWCE 算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)的搜索能力明顯強(qiáng)于原RWCE，得到了年綜合費(fèi)用低于所有文獻(xiàn)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

符號(hào)說(shuō)明

Ai,j,m——換熱器的換熱面積，m2

ACU,i,AHU,j——冷、熱公用工程換熱面積，m2

CA——換熱單元面積費(fèi)用系數(shù)，USD/m2

CCU,CHU——冷、熱公用工程運(yùn)行費(fèi)用系數(shù)，USD/(kW·a)

c——常數(shù)項(xiàng)

E——判斷換熱單元存在與否的0-1邏輯變量

FFIX——換熱單元固定費(fèi)用，USD/a

h1～h8——常數(shù)項(xiàng)

ΔL——隨機(jī)游走的步長(zhǎng)，kW

ITmax——最大迭代步數(shù)

N——初始種群個(gè)體數(shù)

NC——冷流股數(shù)

NH——熱流股數(shù)

NK——換熱器數(shù)目

NS——總級(jí)數(shù)

P1～P4——不可行解相應(yīng)的懲罰函數(shù)，USD/a

QCU,i,QHU,j——冷、熱公用工程換熱量，kWq

Qmax——換熱量初始最大值，kW

Qmin——換熱器最小換熱量，kW

Qn,k,0——第n個(gè)個(gè)體第k個(gè)換熱器的初始換熱量，kW

Qn,k,it——游走前換熱器的換熱量，kW

Q'n,k,it+1——游走后換熱器的換熱量，kW

Qn,it——隨機(jī)游走前個(gè)體n的解

Qn,it+1——被選擇進(jìn)入下一代的解

Q'n,it+1——隨機(jī)游走后個(gè)體n的解

TAC——年綜合費(fèi)用，USD/a

TCin,i,j,m,TCout,i,j,m——換熱器在冷流體上的進(jìn)、出口溫度，℃

TCout,j——冷流體的出口溫度，℃

TCtar,j——冷流體的目標(biāo)溫度，℃

TCU,in,TCU,out——冷公用工程進(jìn)、出口溫度，℃

THin,i,j,m,THout,i,j,m——換熱器在熱流體上的進(jìn)、出口溫度，℃

THout,i——熱流體出口溫度，℃

THtar,i——熱流體的目標(biāo)溫度，℃

THU,in,THU,out——熱公用工程進(jìn)、出口溫度，℃

ΔTCU,i,ΔTHU,j——冷、熱公用工程的換熱溫差，℃

ΔTleft,i,ΔTright,i——冷公用工程的左、右端溫差，℃

ΔTleft,j,ΔTright,j——熱公用工程的左、右端溫差，℃

ΔTleft,i,j,m,ΔTright,i,j,m——換熱器左、右端溫差，℃

|ΔToffset|——不可行解偏移量的統(tǒng)稱，℃

u1——被接受的不可行解個(gè)數(shù)

u2——被接受后使得TAC下降的不可行解個(gè)數(shù)

a1～a4——懲罰函數(shù)罰因子

β——懲罰函數(shù)罰指數(shù)

δ——換熱單元面積指數(shù)

φ——接受差解概率

φ'——差解概率動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的接受差解概率

下角標(biāo)

CU、HU——冷、熱公用工程

i，j——熱、冷流股編號(hào)

in,out——進(jìn)口，出口

k——某個(gè)體中的換熱器編號(hào)

m——級(jí)數(shù)編號(hào)

n——個(gè)體編號(hào)

α1,α2,γ——均為(0,1)區(qū)間均勻隨機(jī)數(shù)