竇慧晶, 謝金鑫, 孫 璐，楊 帆

(北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京 100124)

多輸入多輸出(multiple input and multiple out，MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)是近年來提出的一種新體制雷達(dá)系統(tǒng)，MIMO技術(shù)給雷達(dá)系統(tǒng)的應(yīng)用性能帶來了全新的突破，與傳統(tǒng)的雷達(dá)相比，MIMO雷達(dá)在參數(shù)目標(biāo)估計(jì)、目標(biāo)參數(shù)檢測(cè)、估計(jì)性能分析、空時(shí)自適應(yīng)處理抑制、雷達(dá)干擾波形設(shè)計(jì)等方面有潛在的優(yōu)勢(shì)[1]. MIMO雷達(dá)在發(fā)射端能夠利用發(fā)射陣列的各個(gè)陣元發(fā)射彼此相互正交的信號(hào)，并且在接收端通過利用匹配濾波器進(jìn)行濾波，實(shí)現(xiàn)各發(fā)射信號(hào)波形分離. 因而，MIMO雷達(dá)相較于傳統(tǒng)雷達(dá)具有能產(chǎn)生大量虛擬陣元的優(yōu)勢(shì)，并且有效拓展了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)陣列孔徑，極大地提高了DOA參數(shù)估計(jì)的精度.

DOA估計(jì)的研究一直以來都被作為提高M(jìn)IMO雷達(dá)性能研究中的一項(xiàng)重要任務(wù). MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)算法多由陣列信號(hào)處理算法進(jìn)行改進(jìn)而來，基本上可以分為參數(shù)化估計(jì)方法、非參數(shù)化估計(jì)方法和稀疏類估計(jì)方法. 參數(shù)化估計(jì)方法如多重信號(hào)分類算法(multiple signal classification, MUSIC)、旋轉(zhuǎn)不變子空間信號(hào)參數(shù)估計(jì)(estimation of signal parameters by rotational invariance technique,ESPRIT)算法；非參數(shù)化估計(jì)方法中經(jīng)典方法有單頻率最小二乘算法、自適應(yīng)迭代法等；稀疏類方法包括壓縮感知算法等[2-4].

MUSIC算法在應(yīng)用于DOA估計(jì)時(shí)雖然有精度高的特點(diǎn)，但仍存在一些不可被忽視的問題，如計(jì)算量大，對(duì)相干及小信噪比信號(hào)無法進(jìn)行有效估計(jì)等. 文獻(xiàn)[5]根據(jù)MUSIC算法得到功率譜函數(shù)，利用其具有在譜峰處出現(xiàn)斜率突變的特性，對(duì)MUSIC功率譜進(jìn)行3次求導(dǎo)，以得到更高分辨率的譜峰，但在低快拍、低信噪比條件下性能較差，實(shí)際應(yīng)用性不高. 文獻(xiàn)[6]利用接收數(shù)據(jù)陣列同接收數(shù)據(jù)的共軛陣列同步進(jìn)行虛擬拓展，以形成陣列的二次虛擬拓展，然后利用拓展后形成的陣列導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣共同進(jìn)行DOA估計(jì)，通過構(gòu)造更多陣元的方法，極大地拓展了陣列孔徑，從而能夠獲得更高分辨率，但是利用不斷拓展矩陣的方法存在運(yùn)算量大的缺點(diǎn). 文獻(xiàn)[7]提出利用降維變換思想結(jié)合共軛ESPRIT算法的思想，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣，其原理是在最小二乘ESPRIT方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行角度估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)之間相干源解相關(guān)，獲得較好的DOA估計(jì)精度，該方法對(duì)干擾信號(hào)下的DOA估計(jì)有較好抗干擾效果，但并沒有顯著地提高DOA估計(jì)精度. 在實(shí)際情況中噪聲大部分是非高斯的，且一般具有顯著信號(hào)沖擊性，再加上相干信號(hào)源的存在，也能造成信號(hào)子空間的向量會(huì)散發(fā)到信號(hào)噪聲子空間去，影響估計(jì)精度.

本文結(jié)合擬合估計(jì)算法和矩陣預(yù)處理技術(shù)的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上提出基于MIMO雷達(dá)擬合高精度DOA估計(jì)算法. 首先，構(gòu)建十字型接收信號(hào)陣列得到回波信號(hào)，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行擬合，利用凸優(yōu)化進(jìn)行求解，得到更接近真實(shí)值的接收信號(hào)協(xié)方差矩陣，從而提高M(jìn)IMO雷達(dá)DOA估計(jì)精度；然后，針對(duì)相干信號(hào)和噪聲干擾問題，利用矩陣預(yù)處理技術(shù)實(shí)現(xiàn)縮小矩陣的特征值分布，使得有用信號(hào)能量更加集中，在相干信號(hào)和噪聲環(huán)境下也能夠獲得較好的估計(jì)值；最后，采用酉ESPRIT算法將復(fù)數(shù)域內(nèi)的復(fù)雜計(jì)算轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)域內(nèi)的計(jì)算，完成DOA估計(jì)，達(dá)到降低算法復(fù)雜度的目的.

1 信號(hào)模型

對(duì)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，收發(fā)陣列利用十字型陣列模型[8]，其中xOy平面上的參考點(diǎn)O為由交叉點(diǎn)2個(gè)相互垂直子陣共同構(gòu)成；x軸和y軸各個(gè)半軸等間距地分布著Mx和My個(gè)陣元，并滿足dx=dy，發(fā)射陣列同時(shí)由2Mx+2My-3個(gè)陣元發(fā)射載頻和帶寬相同的一組正交信號(hào)S，即S=[s1,s2,…,s2Mx+2My-3]，從中選取的第n個(gè)發(fā)射信號(hào)為sn=[sn(1),sn(2),…,sn(L)]，式中n的取值為n=1,2,…,2Mx+2My-3，L代表一個(gè)脈沖周期內(nèi)包含子脈沖數(shù). 假設(shè)位于遠(yuǎn)場(chǎng)空域存在k個(gè)目標(biāo)，信號(hào)功率為p，其中第k個(gè)目標(biāo)的角度位置信息(θk,φk)為與坐標(biāo)軸投影后與x軸和y軸的夾角，(αk,βk)為其對(duì)應(yīng)的空間俯仰角和方位角. 經(jīng)過目標(biāo)反射后可以在接收端得到2Mx+2My-3個(gè)正交發(fā)射信號(hào)波形，則接收端的信號(hào)可表示為

xq(n)=A(θk，φk)diag(χq)AT(θk，φk)S(n)+wq(n)

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

yq=G(θ,φ)χq+nq

(5)

對(duì)yq進(jìn)行列堆棧，即可由此得到Q次脈沖累加下接收到的回波數(shù)據(jù)Y，可表示為

Y=[y1,y2,…,yQ]=G(θ,φ)η+N

(6)

2 擬合高精度DOA估計(jì)算法

2.1 擬合估計(jì)

通過已知回波信號(hào)Y，可求得協(xié)方差為

R=E[YYH]=
G(θ,φ)diag(p)GH(θ,φ)+diag(σ)=
D+diag(σ)

(7)

其中：σ=[σ1,σ2,…,σM]T∈CM×1為噪聲功率矢量；D=G(θ,φ)diag(p)GH(θ,φ)為Hermitian Topelitz矩陣，在實(shí)際中考慮到采樣點(diǎn)數(shù)有限這一條件，通常對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣采用近似估計(jì)

(8)

vec(ΔR)～CN(0,ΣR)

(9)

式中：vec(ΔR)為ΔR的矢量化運(yùn)算；ΣR(RT?R)/L. 用替代R會(huì)存在較大的估計(jì)誤差，這也是子空間類算法直接在的基礎(chǔ)上求取信號(hào)子空間進(jìn)行DOA估計(jì)效果不如稀疏類算法的主要原因. 同時(shí)對(duì)相干信源，會(huì)出現(xiàn)秩的虧損，需要額外進(jìn)行空間平滑或去相干處理才能在的基礎(chǔ)上進(jìn)行DOA估計(jì)[10]. 為了能夠進(jìn)行更準(zhǔn)確的協(xié)方差估計(jì)，利用文獻(xiàn)[9]中提出的協(xié)方差擬合準(zhǔn)則

(10)

由式(7)可知，由于協(xié)方差矩陣R的理論值是未知由參數(shù)θ、φ、p、σ構(gòu)成的非線性函數(shù)，利用協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的性質(zhì)，可得

(θ*，φ*，p*,σ*)=arg minf(θ,φ,p,σ)

(11)

式中(θ*，φ*，p*,σ*)為未知參數(shù)的估計(jì)值.

以采樣點(diǎn)數(shù)大于陣元數(shù)為例，將式(11)代入式(10)，對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)可以等效為

(12)

因?yàn)槭?12)為不能直接求解非線性函數(shù)，可通過將其轉(zhuǎn)換為半正定規(guī)劃問題，即

(13)

2.2 矩陣預(yù)處理

矩陣預(yù)處理技術(shù)是在解決大型線性方程組和特征值很分散的矩陣線性方程組時(shí)，采用的一種較為方便的解法，其原理是通過對(duì)系數(shù)矩陣中特征值分布進(jìn)行集中，實(shí)現(xiàn)降低矩陣的條件數(shù)的目的，達(dá)到調(diào)整矩陣的病態(tài)特性、加快收斂的效果. 把這一技術(shù)引入到DOA估計(jì)中，可以使矩陣內(nèi)有用信號(hào)更加集中，即使在面對(duì)相干信號(hào)和噪聲情況下依然能夠準(zhǔn)確估計(jì)出波達(dá)方向[11-13]. 其方法為：

對(duì)于方程Ay=b，對(duì)矩陣A進(jìn)行特征值集中. 設(shè)λm(m=1,2,…,i)是A的i個(gè)特征值，λmin和λmax分別代表A的最小和最大特征值，A的條件數(shù)即為cond(A)=λmax/λmin，條件數(shù)的大小能夠反映矩陣病態(tài)程度，為得到更準(zhǔn)確結(jié)果，通常使條件數(shù)的值越小越優(yōu). 假設(shè)要處理矩陣方程表達(dá)式為f(A)=a×A+b×I，式中a、b代表常數(shù)，原方程組表達(dá)式可變?yōu)?g(A)y=f(A)b. 此時(shí)可得處理后A的系數(shù)矩陣：g(A)=a×A2+b×A.

利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，把x軸上較大的區(qū)間通過映射變?yōu)閥軸上的一個(gè)較小區(qū)間. 為將[λmin,λmax]經(jīng)過二次函數(shù)g(y)=a×y2+b×y的作用能夠映射到較小區(qū)間上，這里將(λmax+λmin)/2作為二次函數(shù)的中心對(duì)稱軸，令

(14)

則

其中有

(15)

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行計(jì)算求解得到

(17)

對(duì)條件數(shù)的改善程度為

(18)

(19)

2.3 基于酉ESPRIT算法的二維空間聯(lián)合估計(jì)

(20)

(21)

(22)

(23)

此時(shí)令

(24)

定義一組新的矩陣

(25)

將式(25)2個(gè)矩陣合并為

P=?u+j?v

(26)

將新生成的P矩陣進(jìn)行特征值分解，取其特征值組成新的對(duì)角矩陣Σ，進(jìn)而

(27)

根據(jù)(θk，φk)與(αk,βk)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系[16]

(28)

可以求出入射波的方向角與俯仰角的估計(jì)，即

(29)

2.4 算法性能分析

比較本文算法與引入的以下3種算法的運(yùn)算復(fù)雜度. 本文所采用算法復(fù)雜度在進(jìn)行擬合估計(jì)中較高，算法的復(fù)雜度近似為O[(1/4)(QM2+KM4)+2K(M5+4K2)]，文獻(xiàn)[8]RD-ESPRIT算法復(fù)雜度可以表示成O[(QM3+M6+2K2(M2-M+2K2)]，文獻(xiàn)[17] Unitary-ESPRIT算法的復(fù)雜度可以表示為O[(1/4)(QM4+M6)+2K[M2+6K3]，文獻(xiàn)[18] 中所采用RD-MUSIC算法的復(fù)雜度可以表示為O[QM6+(1/4)K2(2QM2+M4+K2)]. 其中Q為快拍數(shù)，K為目標(biāo)個(gè)數(shù). 本文算法通過采用酉變換，將復(fù)數(shù)域運(yùn)算變?yōu)閷?shí)數(shù)域運(yùn)算，降低了算法的復(fù)雜度，與通過降維運(yùn)算降低復(fù)雜度的RD-ESPRIT算法相比具有相近的復(fù)雜度，低于另外2種算法，可得本文算法在改進(jìn)了估計(jì)精度的前提下，并沒有因此產(chǎn)生較高的算法運(yùn)算復(fù)雜度.

3 仿真結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)一為驗(yàn)證本文所提出算法DOA估計(jì)的效果，實(shí)驗(yàn)條件為在采樣點(diǎn)數(shù)為100，信噪比為5 dB，陣元數(shù)為Mx=4、My=4的條件下，設(shè)3個(gè)目標(biāo)，與接收陣列俯仰角分別為70°、30°、60°，方位角對(duì)應(yīng)為30°、50°、45°. 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真. 結(jié)果如圖2所示，易知估計(jì)值已經(jīng)基本上接近真實(shí)值，可證明本文所提出的算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效估計(jì).

實(shí)驗(yàn)二為驗(yàn)證采樣點(diǎn)、陣元數(shù)、信噪比等因素變化下對(duì)本文算法的DOA估計(jì)精度的影響，這里引入文獻(xiàn)[8] RD-ESPRIT算法、文獻(xiàn)[17] Unitary-ESPRIT算法及文獻(xiàn)[18] RD-MUSIC算法3種算法作為對(duì)比，同等條件下對(duì)比4種算法的RMSE仿真結(jié)果. 仿真條件設(shè)為：1) 陣元數(shù)為Mx=4、My=4，信噪比為5 dB，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)在20～200變化時(shí)；2) 采樣點(diǎn)數(shù)為100，信噪比為5 dB，陣元數(shù)為Mx=4、My=4，信噪比變化范圍為-10～10時(shí)；3) 采樣點(diǎn)數(shù)為100，信噪比為5 dB，陣元數(shù)變化范圍為5～20時(shí). 設(shè)置3個(gè)目標(biāo)，與接收陣列的俯仰角和方位角分別為(70°,30°)、(30°,50°)、(60°,45°)，在每個(gè)變化的條件下做100次MontE-Carlo實(shí)驗(yàn). 取每個(gè)算法得到的俯仰角和水平角RMSE均值繪制得到圖3～5的仿真結(jié)果.

由圖3可得，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，4種算法RMSE曲線都會(huì)降低，代表 DOA估計(jì)精度提高；相比較于其他3種算法，本文采用的算法總體RMSE曲線較低，即DOA估計(jì)精度較高. 由圖4可得，算法的估計(jì)精度與信噪比成正相關(guān)，本文算法在不同的信噪比條件下都優(yōu)于其他3種算法，且在低信噪比的情況下估計(jì)效果改善明顯. 由圖5知，隨著陣元數(shù)變化，當(dāng)陣元數(shù)大于4時(shí)4種算法的RMSE曲線相近，但本文算法估計(jì)精度略高于其他3種. 綜合分析可知，在非相干信號(hào)源的DOA估計(jì)中，當(dāng)信噪比、采樣點(diǎn)數(shù)、陣元數(shù)都達(dá)到比較理想情況時(shí)，4種DOA估計(jì)算法精度相差不大，本文最優(yōu)，而且當(dāng)仿真條件不在理想情況時(shí)本文所提出的算法DOA估計(jì)精度始終表現(xiàn)最好.

實(shí)驗(yàn)三為了進(jìn)一步驗(yàn)證在相干信源情況下本文算法的DOA精度，引入3個(gè)發(fā)射信號(hào)源，設(shè)定第1個(gè)信號(hào)源和第3個(gè)信號(hào)源為相干信源，在其他仿真條件和參數(shù)與實(shí)驗(yàn)二中相同的情況下，進(jìn)行100次MontE-Carlo實(shí)驗(yàn)的仿真得到圖6～8的仿真結(jié)果.

同實(shí)驗(yàn)二中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，相干信號(hào)源的環(huán)境下，4種算法的DOA估計(jì)精度都有所降低，但本文算法仍可以取得相對(duì)較好的DOA估計(jì)結(jié)果. 從圖6中可得出當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)高于60時(shí)，本文算法即開始優(yōu)于其他3種比較算法；當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較低時(shí)，根據(jù)式(12)，協(xié)方差擬合準(zhǔn)則應(yīng)用于采樣點(diǎn)數(shù)大于2倍陣元數(shù)，所以估計(jì)結(jié)果誤差較大. 從圖7中得到，在信噪比較低時(shí)本文算法表現(xiàn)依舊優(yōu)于其他3種算法；圖8中陣元數(shù)在Mx=My=2～12變化時(shí)，可看到隨著陣元數(shù)的不斷增加，4種實(shí)驗(yàn)算法的 DOA估計(jì)精度都在不斷提升，當(dāng)陣元數(shù)大于等于4時(shí)本文提出的算法即可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)；但陣元數(shù)小于4時(shí)，十字陣列性能未能發(fā)揮出來，導(dǎo)致估計(jì)性能較差.

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文提出的算法在不同仿真環(huán)境下，都可以實(shí)現(xiàn)較高精度的DOA估計(jì)，并且在相干信源下相比其他算法也有較好的表現(xiàn)，從理論和仿真中證明了所提算法的可行性. 實(shí)際應(yīng)用中考慮成本和環(huán)境問題均無法達(dá)到信噪比、陣元數(shù)和采樣點(diǎn)數(shù)最高的理論值，本文算法將在實(shí)際應(yīng)用中DOA估計(jì)精度占優(yōu). 未來將會(huì)繼續(xù)研究在不影響估計(jì)精度的前提下如何降低算法復(fù)雜度，尋求在低信噪比和低快拍數(shù)的情況下如何獲取更高估計(jì)精度的方法，并對(duì)低角度情況下產(chǎn)生的多徑效應(yīng)影響估計(jì)精度的問題進(jìn)行研究.

4 結(jié)論

1) 相對(duì)于傳統(tǒng)MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)算法，通過引入擬合估計(jì)算法，獲得較高的DOA估計(jì)精度.

2) 利用矩陣預(yù)處理技術(shù)，使得改進(jìn)的算法在相干信號(hào)和噪聲環(huán)境下均能實(shí)現(xiàn)DOA的高精度估計(jì).

3) 與稀疏類算法和MUSIC類算法相比，本文算法有很大優(yōu)勢(shì)，在提高估計(jì)精度的前提下，并沒有增加運(yùn)算量.