張喬宇，黃國富，金建海

(1.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082；2.中船重工（上海）節(jié)能技術(shù)發(fā)展有限公司，上海 210000)

0 引 言

船舶阻力預(yù)報是準(zhǔn)確預(yù)報船舶快速性的重要內(nèi)容之一，目前常用的預(yù)報方法有模型試驗，CFD 數(shù)值模擬和一些近似估算方法。在現(xiàn)代船舶工程中，近似模型方法很好地解決了船舶CFD 計算的復(fù)雜耗時問題[2]，避免了模型試驗的繁瑣過程與較高成本。陳愛國等[3-4]基于系列60 船舶試驗數(shù)據(jù)，建立了最佳的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),拓展了系列60 的應(yīng)用范圍。李納等[5]建立了基于廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“船型要素—船體阻力”數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合遺傳算法完成了船型要素的優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果可以為玻璃鋼漁船初步設(shè)計提供技術(shù)參考。肖振業(yè)等[6]采用支持向量和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立了國際船模KCS 總阻力的近似模型，表明了支持向量機(jī)近似模型具有較好的預(yù)測精度和可推廣能力。Devrim[7]在低雷諾數(shù)條件下，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對雙體船中心片體的形狀、布置位置進(jìn)行了選擇優(yōu)化。通過與模型試驗結(jié)果的分析對比，表明了這種外形設(shè)計的有效性，可以減少波干擾所引起的阻力。Jong-hyun Lee等[8]基于遺傳規(guī)劃的非線性數(shù)學(xué)函數(shù)的方法，在船型設(shè)計初期對船舶附加阻力進(jìn)行預(yù)報，通過預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果、理論結(jié)果的對比分析，表明該方法滿足精度要求，具有一定的適用性。

采用近似模型方法解決船舶阻力相關(guān)問題已經(jīng)受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，但近似模型方法有很多，為了提高船舶阻力預(yù)報的準(zhǔn)確性，應(yīng)該有針對性地選擇預(yù)報模型。為此，本文以公開的泰洛系列船模試驗數(shù)據(jù)為例，研究目前機(jī)器學(xué)習(xí)模型在船舶阻力預(yù)報中的應(yīng)用效果。泰洛系列船模試驗是以一艘軍艦為母型進(jìn)行系列改型[9]，生成不同寬度吃水比B/T、棱形系數(shù)Cp、排水體積長度系數(shù)1 000 ?/L3的船模，在不同傅汝德數(shù)Fr 下進(jìn)行系列阻力試驗，最終得到剩余阻力系數(shù)試驗數(shù)據(jù)?，F(xiàn)取B/T，Cp，1 000 ?/L3，F(xiàn)r 作為模型構(gòu)建輸入向量，剩余阻力系數(shù)作為輸出向量。為檢驗?zāi)Ｐ头夯芰η冶苊庠紨?shù)據(jù)集分布對模型訓(xùn)練的影響，隨機(jī)選取數(shù)據(jù)集的80%作為訓(xùn)練集、20%作為測試集，進(jìn)行20 組不同排列組合試驗，以測試樣本預(yù)報值和真實值的均方誤差和相關(guān)系數(shù)作為衡量模型適用性的評價指標(biāo)，并通過4 組不同B/T 插值樣本進(jìn)一步檢驗，以選出較好的預(yù)報模型。

1 機(jī)器學(xué)習(xí)模型原理

本文選取機(jī)器學(xué)習(xí)模型中6 種經(jīng)典的回歸預(yù)報模型進(jìn)行試驗論證，即KNN 近鄰回歸、多元線性回歸、嶺回歸、標(biāo)準(zhǔn)支持向量回歸、3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、回歸樹。

1.1 KNN 近鄰回歸

KNN 近鄰回歸屬于非參數(shù)回歸方法，是通過搜索歷史樣本庫中與新樣本相似的樣本數(shù)據(jù)來進(jìn)行預(yù)測，需要考慮的主要因素包括：從歷史樣本庫中選取與新樣本距離較近的樣本個數(shù)（K 值）、近似程度度量方式、K 個歷史樣本的權(quán)重函數(shù)和內(nèi)部實現(xiàn)算法。本文選取比較常用的歐式距離度量方式，公式如下：

1.2 多元線性回歸與嶺回歸

多元線性回歸是自變量多于一維時的回歸形式，具體的方程形式為：

式中： xi為 輸入數(shù)據(jù)向量； w為各輸入數(shù)據(jù)向量對應(yīng)的權(quán)值矩陣； yi為真實輸出值。

多元線性回歸的目標(biāo)是尋找使真實值與預(yù)測值誤差平方和最小的一組權(quán)值矩陣。誤差平方和可寫為：

上式對 w求導(dǎo)后，令其導(dǎo)數(shù)為0 進(jìn)而取極小值點，解出 w如下：

由于上式需要對矩陣求逆，當(dāng)矩陣非滿秩時求逆會出現(xiàn)問題，因此采用縮減系數(shù)法來解決這一問題，嶺回歸即是其中的一種。嶺回歸是在矩陣 xTx上加一個λI （I 是m×m 的單位矩陣）使矩陣非奇異， λ的取值需要根據(jù)具體問題進(jìn)行訓(xùn)練，使誤差最小化。該方法不僅可以解決矩陣 xTx無法求逆的問題，也可在估計中引入偏差，并且λ 限 制了 w之和，從而減少了不重要的參數(shù)[12]。

1.3 支持向量回歸

支持向量回歸是通過特征空間中估計內(nèi)積的核隱式，實現(xiàn)輸入變量到高維特征空間的映射，然后在高維特征空間中構(gòu)建線性回歸函數(shù)，對應(yīng)原空間非線性問題的求解[2]。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中： f(x) 為回歸系數(shù)， ω 和 b分別為回歸函數(shù)的法向量和偏移量； φ(x)表示特征映射函數(shù)。支持向量回歸算法可以描述為以下問題：

式中： C表示懲罰系數(shù)； ξi，為松弛變量； ε表示擬合精度[13]。通過引入拉格朗日乘子與核函數(shù)的方法求解該問題，最終可將式（6）化為：

因此，支持向量回歸模型的設(shè)計需要選擇合適的精度參數(shù) ε，懲罰系數(shù)C 以及核函數(shù)。

1.4 3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本單元如圖1 所示。圖中x1～xn為輸入值， yi為輸出值， wij表示從神經(jīng)元 j到神經(jīng)元i的連接權(quán)值，θ表示閾值， φ為激活函數(shù)，單個神經(jīng)元的運(yùn)算過程如下式：

本研究的目標(biāo)分析物是合成麝香，對水樣的預(yù)處理主要包括過濾、萃取和濃縮。采用玻璃纖維濾紙在真空條件下進(jìn)行水樣過濾，使溶解相和顆粒相分離。對于溶解相，量取1.5 L過濾后的水樣至分液漏斗中，加入 10 μL 500 ng·mL-1 DnBP-d4 回收率指示物標(biāo)準(zhǔn)溶液，混勻后再加入50 mL二氯甲烷進(jìn)行液液萃?。?次）；對于顆粒相，將玻璃纖維濾紙中的顆粒相樣品加入到索氏抽提器中以150 mL二氯甲烷靜置萃取24 h。將萃取液過無水硫酸鈉以去除剩余水分，收集萃取液于250 mL蒸發(fā)瓶中，旋轉(zhuǎn)蒸發(fā)濃縮至1 mL左右，最后氮吹濃縮至約 150 μL。

圖 1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本單元Fig.1 Basic unit of artificial neural network

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主要思想為對于樣本若干個輸入向量以及與其對應(yīng)的目標(biāo)向量，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)實際輸出與目標(biāo)向量之間的誤差，選用合適算法修改權(quán)值和閾值，使網(wǎng)絡(luò)輸出層的誤差平方和達(dá)到最小[14]。

1.5 回歸樹

回歸樹是一種非參數(shù)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，基本思想是通過給定數(shù)據(jù)集的特性采用某種算法推斷出簡單的決策規(guī)則，進(jìn)而預(yù)測目標(biāo)變量的值。樹構(gòu)建算法中常用的是CART 算法，即使用二元切分來處理連續(xù)性變量。具體算法過程如下：

在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集所在的輸入空間中，遞歸地將每個區(qū)域劃分為2 個子區(qū)域并決定每個子區(qū)域上的輸出值，構(gòu)建二叉決策樹[15]。

1） 選擇最佳切分變量j 與切分點s，求解

式中： c1， c2為 R1， R2兩個劃分區(qū)域的代表值，以使區(qū)間實際值 y1， y2與代表值之間的平方差達(dá)到最小。

2） 遍歷變量j，對固定的切分變量j 尋找切分點s，找到可使式（9）達(dá)到最小值的（j,s），用選定的（j,s）劃分區(qū)域并決定相應(yīng)的輸出值：

3） 繼續(xù)對2 個子區(qū)域重復(fù)步驟1 和步驟2，直至滿足條件，

4）最終可將輸入空間劃分為若干區(qū)域，假定M 個：R1，R2，···Rm，并生成回歸樹：

2 機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型設(shè)計

2.1 KNN 近鄰回歸模型設(shè)計

為選取合適的k 值、權(quán)重函數(shù)和內(nèi)部實現(xiàn)算法，開展不同組合參數(shù)的方案設(shè)計，得到均方誤差與相關(guān)系數(shù)隨k 值數(shù)的變化曲線，如圖2 所示。

圖 2 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨不同KNN 算法參數(shù)變化曲線Fig.2 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with different KNN algorithm parameters

由圖2 可知，當(dāng)k 值為2 時，相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)峰值，而后隨k 值的增加逐漸減小，均方誤差也在k 值為2 時出現(xiàn)低谷，之后隨k 值增加而增大；而在內(nèi)部實現(xiàn)算法與權(quán)重函數(shù)的選擇上，kd 樹算法與距離反比函數(shù)的組合最優(yōu)。故本文選擇k=2,kd 樹算法，距離反比函數(shù)的KNN 近鄰回歸模型。

2.2 嶺回歸模型設(shè)計

嶺回歸主要調(diào)節(jié)參數(shù)為 λ值，嶺回歸模型中對 λ在0.1～1.0 之間進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，均方誤差與相關(guān)系數(shù)變化曲線如圖3 所示?？梢钥闯?，最佳的 λ值只能看出在0.1 附近，因此繼續(xù)對 λ在0.01～0.1 之間尋優(yōu)，結(jié)果如圖4 所示。當(dāng) λ=0.1 時，預(yù)測效果最好。

2.3 支持向量回歸模型設(shè)計

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，在預(yù)報船舶阻力時，支持向量回歸模型需要考慮的參數(shù)有懲罰系數(shù) C、核函數(shù)與擬合精度 ε，現(xiàn)對3 個參數(shù)進(jìn)行組合方案設(shè)計?，F(xiàn)對4 種常用核函數(shù)進(jìn)行試驗，結(jié)果如表1 所示。均方誤差與相關(guān)系數(shù)隨懲罰系數(shù) C 、擬合精度 ε的變化曲線如圖5 和圖6 所示。因此，本文選取多項式核函數(shù)、懲罰系數(shù) C 為0.16、擬合精度 ε為5 的支持向量回歸模型。

2.4 3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計

通過參考文獻(xiàn)[3]，選擇貝葉斯正則化函數(shù)作為訓(xùn)練函數(shù)，均方誤差規(guī)則化函數(shù)為性能函數(shù)，隱層傳遞函數(shù)為雙曲正切S 形函數(shù)，輸出層傳遞函數(shù)為線性函數(shù)。而隱層神經(jīng)元數(shù)則參考經(jīng)驗公式（其中，m 為輸出節(jié)點數(shù)，n 為輸入節(jié)點數(shù)， a可取1～10 之間的整數(shù)）選取調(diào)優(yōu)范圍，具體變化情況由圖7 所示。從可以看出隱層神經(jīng)元數(shù)為18 時最優(yōu)。

圖 3 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨嶺回歸 λ值變化曲線（0.1～1.0）Fig.3 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with λ number of ridge regression (0.1～1.0)

圖 4 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨嶺回歸 λ值變化曲線（0.01～0.1）Fig.4 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with λ number of ridge regression (0.01～0.1)

表 1 不同核函數(shù)的相關(guān)系數(shù)與均方誤差比較結(jié)果Tab.1 Comparison results of correlation coefficients and mean square error of different kernel functions

圖 5 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨懲罰系數(shù) C變化曲線Fig.5 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with penalty Coefficient C

圖 6 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨擬合精度 ε變化曲線Fig.6 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with fitting precisionε

圖 7 均方誤差、相關(guān)系數(shù)隨隱層神經(jīng)元節(jié)點數(shù)變化曲線Fig.7 Variation curves of mean square error and correlation coefficient with number of nodes of hidden layer neurons

3 船舶阻力預(yù)報模型比較

采用以上6 種機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型進(jìn)行阻力預(yù)報試驗，得到20 組不同數(shù)據(jù)集樣本排列方式的相關(guān)系數(shù)與均方誤差平均值，如表2 所示。由于訓(xùn)練和測試樣本都是采用的原始數(shù)據(jù)，為了驗證各模型的泛化能力，選擇各模型20 組中擬合效果最好的一組，對相同的Cp，1 000 ?/L3與Fr，進(jìn)行B/T 為2.5，2.75，3.25，3.5 的4 組剩余阻力系數(shù)值進(jìn)行預(yù)報，同時采用直線內(nèi)插法[16]對4 組剩余阻力系數(shù)值進(jìn)行計算。預(yù)報剩余阻力系數(shù)值與內(nèi)插法所得值的均方誤差與相關(guān)系數(shù)如表3所示。由此可見，回歸樹模型在6 種機(jī)器學(xué)習(xí)模型中預(yù)報效果最好。

表 2 機(jī)器學(xué)習(xí)模型剩余阻力系數(shù)預(yù)報結(jié)果對比Tab.2 Comparison results of residual resistance coefficient prediction of machine learning model

表 3 四組插值樣本剩余阻力系數(shù)預(yù)報結(jié)果對比Tab.3 Comparison results of residual resistance coefficient prediction of four sets of interpolated samples

4 結(jié) 語

利用泰洛標(biāo)準(zhǔn)系列船模原始試驗數(shù)據(jù)，采用6 種經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型，對船舶剩余阻力系數(shù)進(jìn)行預(yù)報，通過每種模型預(yù)報效果對比，得到以下結(jié)論：

1）通過訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型，在泰勒標(biāo)準(zhǔn)系列船模試驗數(shù)據(jù)的參數(shù)范圍內(nèi)，可以較精確地對船舶剩余阻力系數(shù)進(jìn)行預(yù)報，避免了人工查譜的的繁瑣過程，且預(yù)報效率較CFD 數(shù)值模擬方法要高。

2）對于機(jī)器學(xué)習(xí)近似預(yù)報模型可以進(jìn)一步調(diào)整算法，以提高對船舶阻力的預(yù)報精度。

3）針對不同的船舶阻力系列數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)集的特點與分布規(guī)律，選擇合適的近似模型并進(jìn)行調(diào)優(yōu)，從而設(shè)計出具有較高泛化能力的船舶阻力預(yù)報模型的方法切實可行。