趙淑波 崔仁浩 劉萍 （哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系）

學(xué)生們感到數(shù)學(xué)難學(xué)主要原因在于沒(méi)有培養(yǎng)好對(duì)數(shù)學(xué)分析的辯證思維、沒(méi)有掌握好豐富的數(shù)學(xué)分析方法?；诜治鰧W(xué)掌握的困難性和重要性,加之?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須突出解題練習(xí)這個(gè)環(huán)節(jié)分析選講課應(yīng)運(yùn)而生,其是數(shù)學(xué)分析課的后繼課,是對(duì)分析課的回顧、反思,同時(shí)為學(xué)生研究生入學(xué)考試分析科目的準(zhǔn)備起協(xié)助作用。學(xué)生們對(duì)這門課的掌握情況與教師的教學(xué)有關(guān),教與學(xué)相伴而生,教對(duì)學(xué)具有引領(lǐng)功效,其作用是不言而喻的。

分析的思維是否跟得上，內(nèi)容有沒(méi)有掌握好,重要的檢驗(yàn)方式是面對(duì)題是否會(huì)做,也就是數(shù)學(xué)分析的解題能力是否培養(yǎng)起來(lái),解數(shù)學(xué)分析題當(dāng)然也是解數(shù)學(xué)題，怎樣解題？通俗說(shuō),解題就是在已知與未知之間建橋；在新知識(shí)和舊知識(shí)間建立起聯(lián)系,且聯(lián)系是非人為的、實(shí)質(zhì)性的.利用已有知識(shí)及思維結(jié)構(gòu),對(duì)抽象的形式化思想材料進(jìn)行加工,且依托思維而完成的。

解題重要,自然解題能力的培養(yǎng)是這門課教學(xué)的重中之重.教學(xué)的重心在于以問(wèn)題為載體培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)解”而不僅是給“解”；教學(xué)生如何“數(shù)學(xué)地思維”。

教學(xué)生學(xué)解數(shù)學(xué)分析題就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題,有意義地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生去探索。

一 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“構(gòu)造”,是學(xué)習(xí)解數(shù)學(xué)分析題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段

分析中關(guān)于構(gòu)造的問(wèn)題遍布于各章,面對(duì)涉及構(gòu)造性題目,重點(diǎn)研究為什么這樣處理優(yōu)于講怎樣處理,也就是,著重談為何這樣構(gòu)造,而不僅是怎么構(gòu)造。數(shù)學(xué)解題是一個(gè)嘗試過(guò)程,不同的嘗試會(huì)悟出不同的解決方法。涉及需要輔助函數(shù)、輔助點(diǎn)集等的構(gòu)造,多數(shù)情況,構(gòu)造不唯一,多種證明方法引導(dǎo)開(kāi)闊了同學(xué)們的解題思路。同時(shí)伴隨著思維的訓(xùn)練。

實(shí)數(shù)幾個(gè)等價(jià)的完備性定理是數(shù)學(xué)分析的邏輯基礎(chǔ),其應(yīng)用有一定難度。這是一道考研真題。設(shè)f在[a,b]上連續(xù),f(a)＜0,f(b)＞0。證明：存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0且f(x)＞0,x∈(x0,b]。其證明不管是應(yīng)用區(qū)間套定理還是確界原理,都需要進(jìn)行構(gòu)造。

首先引導(dǎo)學(xué)生分析：這個(gè)題目是極限理論部分關(guān)于抽象函數(shù)的特殊點(diǎn)的一般存在性問(wèn)題。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)這類題目證明方向是多選完備性定理；選哪個(gè)定理,其實(shí)幾個(gè)定理本質(zhì)上是等價(jià)的,都從不同角度刻畫(huà)了實(shí)數(shù)系的完備性。理論上,能用一個(gè)定理解決的,一定也能用其它定理來(lái)解決。形式上的不同又決定了同一個(gè)題目應(yīng)用不同的定理證明難易程度不同。聯(lián)想與該題目相關(guān)的零點(diǎn)定理的證明首選確界原理、區(qū)間套定理。這里我們也不妨先選二者試之。再引導(dǎo)學(xué)生回憶構(gòu)造法證明存在性問(wèn)題的常用思路,可先找到可疑點(diǎn),再驗(yàn)證真?zhèn)?。怎么?假設(shè)法,先假設(shè)已經(jīng)找到可疑點(diǎn),看它所應(yīng)具備的條件,然后再根據(jù)這些條件想辦法構(gòu)造。

對(duì)于證法一：確界原理

分析用確界原理的一般思路是先構(gòu)造點(diǎn)集,再證確界是所找的點(diǎn)。要找的點(diǎn)是某點(diǎn)集的上確界,同時(shí)又是另點(diǎn)集的下確界,這就意味著可選的點(diǎn)集不唯一。怎么構(gòu)造簡(jiǎn)單?假設(shè)法,假設(shè)最大零點(diǎn)已找到,其必是零點(diǎn)集的最大數(shù)也必是上確界,所以構(gòu)造的點(diǎn)集不妨就取零點(diǎn)集,驗(yàn)證其上確界為最大數(shù),證確界為最大數(shù)只需證確界屬于集合即可。

證該問(wèn)題集合的構(gòu)造不唯一,同樣可證出零點(diǎn)集的最大值點(diǎn)也是點(diǎn)集

對(duì)于證法二：區(qū)間套定理

引導(dǎo)學(xué)生分析：用區(qū)間套定理證題的思路是構(gòu)造區(qū)間套,使得套住的點(diǎn)即是所求的點(diǎn)怎么構(gòu)造?思路是由果索因,先假設(shè)點(diǎn)已找到,它應(yīng)滿足上述條件,不管怎么構(gòu)造,這個(gè)點(diǎn)一定是區(qū)間套套住的點(diǎn),現(xiàn)在就分析這個(gè)區(qū)間套具備的條件,套住的點(diǎn)是零點(diǎn),所以區(qū)間套中區(qū)間必含零點(diǎn),且零點(diǎn)右側(cè)函數(shù)值大于零,相應(yīng)的區(qū)間右側(cè)函數(shù)值也應(yīng)大于零。滿足這兩點(diǎn)構(gòu)造即可。以上是以構(gòu)造區(qū)間套為例來(lái)談如何構(gòu)造,類似還有構(gòu)造函數(shù)、開(kāi)覆蓋、構(gòu)造點(diǎn)列等。

有說(shuō)法是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造浪費(fèi)時(shí)間,我認(rèn)為如果稱是為了所謂的教學(xué)省時(shí)間,就算數(shù)學(xué)知識(shí)可以被動(dòng)地傳授給學(xué)生,但解數(shù)學(xué)題的各種典型方法、技巧、個(gè)性化解題策略和深層次蘊(yùn)含的思想不可能只靠老師單純講解幾個(gè)例題,然后學(xué)生機(jī)械模仿老師的解法,就可以獲得的。單純講授的解題方式的培養(yǎng),容易造成學(xué)生只能應(yīng)付一些模式固定的問(wèn)題。而難以處理靈活的題目。真正的解題能力是練出來(lái)的,而不是教出來(lái)的。學(xué)習(xí)解題好的方法就是在不斷解題中學(xué)習(xí)解題,是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題就是不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程,有經(jīng)驗(yàn)的解題人會(huì)發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常就在一念之間,這一念如果被攻破,問(wèn)題就迎刃而解、水到渠成。比如前面提到的構(gòu)造問(wèn)題,區(qū)間套的構(gòu)造,一旦區(qū)間套給出問(wèn)題就攻克,但問(wèn)題在于,這個(gè)構(gòu)造是別人給出的還是自己獲得的,只有自己點(diǎn)破,才對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題有意義,只有學(xué)習(xí)練就這種點(diǎn)石成金之功,才可能實(shí)現(xiàn)解題的宗旨。這種功夫基本不是別人教的,而是自己悟出來(lái)的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題,是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí),談到發(fā)現(xiàn),就需要學(xué)生自己去實(shí)踐,實(shí)踐出真知。對(duì)于實(shí)踐而言,學(xué)生們已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)就起著決定性的作用,其包括解題知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)。具備一個(gè)組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是解題者解題的必要前提。知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)儲(chǔ)備相聯(lián)系。涉及數(shù)學(xué)相關(guān)的概念、定理等,記憶里的知識(shí)被安放得井然有序會(huì)對(duì)解題有很大的幫助。這一點(diǎn)數(shù)學(xué)家波利亞也曾提到。

有兩種方式形成數(shù)學(xué)的解題知識(shí)塊,一種是按照歸類的方式形成。如何歸類,依照問(wèn)題關(guān)鍵事實(shí)歸類,常見(jiàn)如判定定理等,由此,我們將題按照解題方法進(jìn)行歸類,我們稱它為多題一解；另一種方式是對(duì)每一類數(shù)學(xué)問(wèn)題都盡可能地形成一種或幾種解題思路,由此我們建議一題多解。

二 實(shí)現(xiàn)一題多解、多題一解是形成解題知識(shí)塊的重要方式,是實(shí)現(xiàn)有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

學(xué)過(guò)的知識(shí)自然希望掌握扎實(shí)、應(yīng)用自如。將知識(shí)結(jié)成塊、形成網(wǎng)是實(shí)現(xiàn)這一想法的重要手段,如何結(jié)成塊？嘗試一題多解、多題一解。每每遇到問(wèn)題,將其能解決的各種手段有重點(diǎn)的試之。比如,極限是數(shù)學(xué)分析研究的工具。以下遞推數(shù)列以歐拉常數(shù)為極限,設(shè)x0=1,xn+1(1+xn)=1(n≥0)。證明：xn存在并求其極限值。證明數(shù)列極限存在的常用方法都可以試證之。極限定義、迫斂性定理、柯西收斂準(zhǔn)則、壓縮映像原理、單調(diào)有界定理、上下極限定義等多種方法證明。經(jīng)驗(yàn)證,這些方法都可以解決此題。就一個(gè)題而言,可以多種方法處理,推而廣之,一類問(wèn)題的解決方案同樣可以多種,如判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法：收斂定義；柯西準(zhǔn)則；四則運(yùn)算、可結(jié)合性、可交換性；基本定理；判別法：比較、比式、根式、積分、拉貝判別法等,可根據(jù)方法和題的特點(diǎn)比較,逐一試之。啟發(fā)學(xué)生用多種方法解決,以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)建立解題知識(shí)塊。我們可以分別將各個(gè)方法的常見(jiàn)考研題進(jìn)行歸類,總結(jié)用每一類方法的問(wèn)題的特點(diǎn)以及用每一類方法解題的一般思路和解題步驟。

如可按照同一判定方法將下面積分不等式證明問(wèn)題歸類

1.設(shè)f″(x)＞0,求證 其中為任意正數(shù)

3.設(shè)φ在[0,a]上連續(xù),f二階可導(dǎo),且f″(x)≥0,

4.設(shè)f在[0,1]上二階可導(dǎo),且f″(x)≤0,求證

其中λ為任意正數(shù)。

形成解題知識(shí)塊的重要方式是按照歸類的方式形成。

這些題目形式上看似不同,但都可用凸函數(shù)、積分不等式性來(lái)證明,解題思路相同,我們稱它為多題一解。會(huì)做這類題的同時(shí)掌握了該證明方法,題是無(wú)限的,但方法是有限的,學(xué)會(huì)用有限的方法解決無(wú)限的題,同時(shí)有助于形成解題知識(shí)塊,這也符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷提高運(yùn)用抽象概況思維方法水平的特點(diǎn)。勢(shì)必會(huì)收到事半功倍的效果。

當(dāng)然,強(qiáng)調(diào)多題一解、一題多解的同時(shí),方法有所側(cè)重更是快速解決問(wèn)題的必須,很多問(wèn)題的解決還是有一般規(guī)律的,如在應(yīng)用微分學(xué)基本定理證題時(shí),涉及一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時(shí),先用拉格朗日中值定理證之,遇到一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與二階及以上導(dǎo)數(shù)時(shí),先用泰勒公式處理之,看到兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時(shí),首選柯西中值定理去解決。

為了培養(yǎng)學(xué)生的解題能力這個(gè)中心,分析選講的教學(xué)除了從形式上看,要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)造,學(xué)會(huì)一題多解、多題一解,形成解題知識(shí)塊。內(nèi)容上,要注意抓住核心概念與定理這兩個(gè)基本點(diǎn)。

三 注意核心定理理解的透徹性是學(xué)會(huì)解題的關(guān)鍵

定理是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分,如果把數(shù)學(xué)概念比作數(shù)學(xué)大樹(shù)的根,我認(rèn)為數(shù)學(xué)定理就是大樹(shù)的干,有了樹(shù)干才為枝葉更好地輸送養(yǎng)分,使得枝繁葉茂,經(jīng)常我們可以直接根據(jù)概念計(jì)算證明,但是根據(jù)定理計(jì)算證明有時(shí)更直接容易。應(yīng)用定理處理問(wèn)題,使得解決問(wèn)題的深度、廣度都擴(kuò)大了,要想對(duì)定理更好地應(yīng)用必須很好的掌握,如何掌握？深挖掘細(xì)體會(huì),比如中值定理結(jié)論中形式上最簡(jiǎn)單的是Rolle定理的結(jié)果,這個(gè)定理給出了導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件,該定理的已知要求：函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),但我們注意到為得同樣的結(jié)論,函數(shù)值相等可推廣為極限值相等。即設(shè)f在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(a+0)=f(b-0)=A（A為有限數(shù)）,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=0。而且a,b不但可為有限數(shù),也可為a=-∞或b=+∞或a=-∞同時(shí)b=+∞即區(qū)間由有限區(qū)間可推廣為無(wú)窮區(qū)間。而且,極限A為有限數(shù)可推廣為A=+∞或A=-∞。相應(yīng)的拉格朗日中值定理與柯西中值定理也可作把函數(shù)值換為極限值的推廣等。

還有聯(lián)系函數(shù)極限與數(shù)列極限橋梁的歸結(jié)原則：在教科書(shū)中是這樣敘述的。設(shè)f在U0(x0；δ)上有定義,對(duì)任何含于U0(x0；δ)且以x0為極限的數(shù)列都存在,并且相等。我們注意定理中條件極限相等是可以去掉的,定理仍然成立。一方面加深了對(duì)定理的理解應(yīng)用,另一方面也顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性與嚴(yán)密性之美。

四 掌握數(shù)學(xué)分析概念的教學(xué)是教好數(shù)學(xué)分析的前提,同時(shí)把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及應(yīng)用也是上好選講課的關(guān)鍵

有數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),分析選講教學(xué)重心在于概念、定理的深層次理解及應(yīng)用上。就概念而言,從思維的形式來(lái)看,所有的思維形式都離不開(kāi)概念,概念是基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)的細(xì)胞,數(shù)學(xué)分析中的概念是數(shù)學(xué)分析大廈的基石,是分析中定理與方法的源泉,根據(jù)概念證題,伴隨在整個(gè)分析學(xué)習(xí)中,不論是書(shū)中定理還是習(xí)題證明都離不開(kāi)它,分析的研究對(duì)象是函數(shù)、研究工具是極限。要談概念,函數(shù)和極限當(dāng)然是重中之重了,極限的ε-δ、ε-N定義,眾多核心概念依其而存在的,連續(xù)、可微、可積、一致收斂、一致連續(xù)等等。還包括函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂、含參量廣義積分的一致收斂等。談如何學(xué)習(xí)概念時(shí),經(jīng)常會(huì)提到抓住其本質(zhì),那么數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性是什么呢？一般來(lái)說(shuō),一個(gè)特定數(shù)學(xué)對(duì)象,在一定的條件下,保持不變的性質(zhì),就是其本質(zhì)屬性,而可變的則是非本質(zhì)屬性。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象,它的本質(zhì)屬性是什么呢？函數(shù)是一種映射,要理解函數(shù)的本質(zhì)其實(shí)質(zhì)就是弄清映射的本質(zhì)特征,映射是兩個(gè)集合之間滿足隨處且單值定義的對(duì)應(yīng)關(guān)系,而函數(shù)就是數(shù)集到數(shù)集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系,由此我們可知數(shù)集到數(shù)集上的對(duì)應(yīng)、隨處定義、單值定義是函數(shù)的本質(zhì)特征,是函數(shù)不變的性質(zhì)。

掌握了定義、定理就掌握了基本證題術(shù)中的根據(jù)定義證題術(shù)、根據(jù)定理證題術(shù)。此外,推廣性命題證題術(shù)也是數(shù)學(xué)分析中常用的一種證題術(shù),它包括仿照法、轉(zhuǎn)化法、變異法。根據(jù)推廣對(duì)象的特點(diǎn)可分為：個(gè)別向一般的推廣、一維向二維的推廣、離散問(wèn)題向連續(xù)問(wèn)題的推廣、有限向無(wú)限的推廣、有界向無(wú)界的推廣等。

五 解題回顧是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析解題的重要環(huán)節(jié)

解題回顧從時(shí)間順序來(lái)說(shuō),雖說(shuō)是數(shù)學(xué)解題最后環(huán)節(jié),卻是解題學(xué)習(xí)的最關(guān)鍵步驟,針對(duì)提高學(xué)生解題能力而言,回顧解題是最有意義的環(huán)節(jié)。然而在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中,這一點(diǎn)常被輕視或忽略,進(jìn)而使學(xué)生錯(cuò)過(guò)了更多的獲益機(jī)會(huì)。我們要清楚教學(xué)目的的問(wèn)題,進(jìn)行解題教學(xué)并不僅僅是求得所謂問(wèn)題的結(jié)果,其真正目的是為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性品質(zhì),而這一教學(xué)目的恰恰主要是通過(guò)回顧解題的授課來(lái)實(shí)現(xiàn)的,基于此,經(jīng)驗(yàn)豐富的教師總是高度重視解題回顧這一過(guò)程的教學(xué),師生一同對(duì)解題的最終結(jié)果和多種解法進(jìn)行細(xì)致分析,對(duì)解題的主要思想和關(guān)鍵要素進(jìn)行簡(jiǎn)要概況,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足,獲取經(jīng)驗(yàn),成為以后解題時(shí)聯(lián)想的基礎(chǔ)。檢驗(yàn)解答、討論解法、推廣結(jié)果和思維活動(dòng)反思,構(gòu)成回顧解題四個(gè)方面。

討論解法一題多解、多題一解,這一點(diǎn)前面已闡述,我們著重談一下推廣結(jié)果。

推廣的形式多樣,可以是從具體到抽象,從特殊到一般等。

設(shè)在內(nèi)可微,證明：在內(nèi)至少有x(1-x)f′（經(jīng)-2的一個(gè)零點(diǎn)。

注意到：如果記g(x)=x(1-x),則1-2x=g′(x)

推廣到抽象函數(shù)情形：

設(shè)函數(shù)φ,ψ在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且φ(x1)=ψ(x2)=0,x1、x2∈(a,b),證明：在(x1,x2)內(nèi)至少有φ′(x)+φ(x)φ′(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

從兩個(gè)推廣到多個(gè)函數(shù)情形

設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),且

推廣設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),且存在非負(fù)整數(shù)n,使得

簡(jiǎn)要地說(shuō),回顧的不僅是相關(guān)知識(shí)、解題方法,還包括開(kāi)始時(shí)怎樣想的,遇到哪些問(wèn)題,犯過(guò)那些錯(cuò)誤,為什么會(huì)出現(xiàn)這些問(wèn)題,分析對(duì)的理由,錯(cuò)的原因。從而不斷地積累經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過(guò)不斷的練習(xí),會(huì)總結(jié)出自己的處理經(jīng)驗(yàn),就是所稱的解題策略,會(huì)指導(dǎo)我們今后學(xué)習(xí)。同樣是行得通的思路經(jīng)常是不是唯一。

解題后的回顧為今后學(xué)生們的解題積累經(jīng)驗(yàn)。在浩瀚無(wú)邊的題海中,學(xué)生是爹爹不休地做題,老師是風(fēng)風(fēng)火火地講題,有時(shí)我們甚至把解題回顧看成是浪費(fèi)時(shí)間。正如古人所說(shuō)：工欲善其事,必先利其器,解題回顧可稱是磨礪解題武器的過(guò)程,別忘了我們的目標(biāo)是學(xué)會(huì)解題,而不是解完所有題,解題回顧起到事半功倍的效果。

總之,不管這門課的教學(xué)手段、形式如何,教學(xué)的主旨都是為了學(xué)生能夠更好地學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)不只是本門課程內(nèi)容,更是要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所談的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),能夠認(rèn)為是學(xué)生經(jīng)過(guò)取得數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn),而引發(fā)的持續(xù)長(zhǎng)久行為、能力和傾向變化的過(guò)程。要想學(xué)會(huì)解題,要想掌握好數(shù)學(xué)分析,是一個(gè)綜合能力的培養(yǎng)。需要注意做的地方很多,這里我只談了我認(rèn)為重要的且容易忽略的幾點(diǎn),希望和讀者能有共鳴。