王羅斌, 萬 強, 韋利明, 岳動華, 賈 東

(中國工程物理研究院 總體工程研究所， 四川 綿陽 621999)

0 引 言

數(shù)字圖像相關(guān)(Digital image correlation,DIC)方法，通過采集物體變形前后的圖像，再利用圖像算法進行計算，從而得到位移和應(yīng)變信息.與傳統(tǒng)力學測量方法相比，該方法具有以下特點：可實現(xiàn)非接觸的全場測量；只需要光學采集系統(tǒng)和控制計算機，對實驗環(huán)境要求較低；圖像采集和處理程序可以固定，容易實現(xiàn)測量自動化[1].此外，該方法與掃描電鏡等顯微設(shè)備相結(jié)合，還可在微納尺度下實現(xiàn)對材料力學性能的測量[2-5].DIC方法的關(guān)鍵是在變形前后的圖像中找到最匹配的圖像子區(qū)，這就需要按照一定的方法進行相關(guān)運算和搜索.相關(guān)搜索是通過計算變形前后圖像子區(qū)的相關(guān)系數(shù)來實現(xiàn)，而相關(guān)系數(shù)則由相關(guān)函數(shù)來定義.在傳統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)中，圖像子區(qū)每個像素點對計算結(jié)果的貢獻是一樣的，這與實際情況會有所差別.對此，文獻[6]采用帶線性權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)來計算變形前后圖像子區(qū)的相關(guān)系數(shù).但該方法線性權(quán)重因子函數(shù)在計算子區(qū)的邊緣像素點上的權(quán)重取值較低，對邊緣區(qū)域像素點的影響較大，這可能導致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差.在此基礎(chǔ)上，本研究提出一種帶高斯函數(shù)權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)，并將其與線性權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)和傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)的計算結(jié)果進行了比較，同時，討論了影響算法計算性能的因素，相關(guān)結(jié)論可為DIC方法性能的改進和工程應(yīng)用提供有用參考.

1 數(shù)字圖像相關(guān)方法

1.1 DIC方法基本原理

DIC方法采用攝影機采集物體變形前后的圖像，然后通過相關(guān)的算法尋找變形前后最匹配的圖像子區(qū)，從而求得被測物體表面各點的位移.如圖1所示，在變形前灰度值分布為f(x,y)的圖像(又稱參考圖像)中，取以某待求點A(x，y)為中心的(2M+1)×(2M+1)像素點計算子區(qū)(又稱為參考圖像子區(qū))，在變形后灰度值分布g(x′,y′)的圖像中，通過相關(guān)函數(shù)計算相關(guān)系數(shù)，并按照一定的搜索方法，獲得相關(guān)系數(shù)取極值的以A′(x′，y′)為中心的(2M+1)×(2M+1)區(qū)域，由此得到了參考圖像子區(qū)中心點A(x，y)的像素位移(u,v).

圖1變形前參考圖像與變形后圖像子區(qū)示意圖

1.2 傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)

在對變形前后圖像子區(qū)進行相關(guān)運算前，需先定義它們的相關(guān)函數(shù).具體應(yīng)用時，相關(guān)函數(shù)的選擇主要考慮以下因素：

1)易操作性.相關(guān)函數(shù)應(yīng)有簡單的數(shù)學描述，表達式中的參數(shù)便于計算機自動提取，非匹配窗口與匹配窗口的相關(guān)函數(shù)輸出值應(yīng)有顯著差別.

2)抗干擾性.由于受到照明條件等影響，采集到的圖像會存在環(huán)境噪聲，好的相關(guān)函數(shù)應(yīng)能夠?qū)Νh(huán)境噪聲具有較好的抗干擾性，保持穩(wěn)定輸出.

3)較小的計算量.數(shù)字圖像的像素點多，要求相關(guān)函數(shù)的形式易于計算，以減少算法的計算量.

目前，常用的效果較好的相關(guān)函數(shù)有：零均值歸一化互相關(guān)(Zero-mean normalized cross correlation,ZNCC)函數(shù)、零均值歸一化最小平方距離(Zero-mean normalized sum of squared differences,ZNSSD)相關(guān)函數(shù)和參數(shù)最小平方距離(Parametric sum of squared difference,PSSDab)相關(guān)函數(shù)等[7].

ZNCC互相關(guān)函數(shù)的取值范圍為[-1，1].其中，當值為1時，圖像為完全相關(guān)；當值為-1時，圖像為完全不相關(guān).其表達式為，

(1)

ZNSSD互相關(guān)函數(shù)的取值范圍為[0，+∞]，值越小，則圖像的相關(guān)性越強.其表達式為，

(2)

PSSDab互相關(guān)函數(shù)的表達式為，

(3)

在式(1)～(3)中，fm、gm分別為變形前后計算子區(qū)的灰度平均值.潘兵等[7]對這3種互相關(guān)函數(shù)進行了等價性證明，推薦使用ZNSSD互相關(guān)函數(shù).

1.3 帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)

傳統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)中，圖像子區(qū)每個像素點對計算結(jié)果的貢獻是一樣的，而這與實際情況有所差別.例如，當圖像產(chǎn)生拉伸/壓縮變形時，假設(shè)圖像計算子區(qū)中心像素點的位置不變，其余像素點的位置均有變化，且離中心像素點距離越遠，其位置變化量(位移)就越大.因此，如果考慮圖像子區(qū)每個像素點對相關(guān)系數(shù)的貢獻差別，則可引入帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù).例如，采用ZNSSD互相關(guān)函數(shù)時，其表達式變?yōu)椋?/p>

(4)

式中，r(x,y)為權(quán)重因子函數(shù)，其取值僅與點(x,y)在圖像計算子區(qū)中的位置有關(guān).

考慮如圖2所示的變形前參考圖像子區(qū)和變形后2個圖像子區(qū)，其中，(a)為變形前的圖像子區(qū)，(b)和(c)分別為變形后的2個圖像子區(qū)，u,v分別表示圖像在x軸和y軸方向的位移，K、K′分別為圖像(b)和(c)中某2個像素特征點.

圖2變形前后圖像計算子區(qū)

考慮一種特殊情況下的狀態(tài)，假定變形前圖像子區(qū)(a)中各像素點的灰度值相同，均為s.變形后圖像子區(qū)(b)和(c)中像素點K和K′的灰度值為k，其余像素點的灰度值為s.

在傳統(tǒng)ZNSSD互相關(guān)函數(shù)中，圖像子區(qū)(a)與(b)的相關(guān)系數(shù)表示為，

(5)

式中，x′=x+u1，y′=y+v1.

圖像子區(qū)(a)與(c)的相關(guān)系數(shù)表示為，

(6)

式中，x″=x+u2，y″=y+v2.

式(5)和式(6)中，f(x,y)表示圖像子區(qū)(a)中的灰度值分布，gb(x′,y′)、gc(x″,y″)分別表示圖像子區(qū)(b)和(c)中的灰度值分布，fm、gbm、gcm分別表示圖像子區(qū)(a)、(b)和(c)中的灰度平均值，gbm=gcm.

由于f(x,y)=s，故，式(5)和式(6)可以改寫為，

(7)

顯然有，Cab=Cac.這說明，當采用傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)時，特征點K和K′在不同位置時的2個圖像子區(qū)不能被區(qū)分.

當采用式(4)帶權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)時，上述2個相關(guān)系數(shù)分別為，

(8)

(9)

由以上討論可以看出，當采用傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)時，特征點K和K′在不同位置的2個圖像子區(qū)不能被區(qū)分出，而采用帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)時，此類問題就能夠被解決.

2 計算驗證

2.1 計算機散斑圖像的生成

研究顯示，利用計算機數(shù)值模擬的方法，不僅可以生成理想質(zhì)量的散斑圖像，還能避免實際實驗中各種噪聲的干擾，如光照不均、系統(tǒng)畸變等引起的圖像噪聲.因此，采用數(shù)字模擬散斑圖像模擬變形，能夠準確評估數(shù)字圖像算法的計算結(jié)果，這也是目前驗證和評價數(shù)字圖像相關(guān)算法的通用做法.

針對數(shù)字散斑圖像的生成，Zhou等[8]提出了一種方法，其基本原理為：在一定大小的圖像中，隨機生成多個高斯光斑，由多個高斯光斑疊加而成一幅數(shù)字散斑圖像，其變形前后圖像中各像素點的灰度值可以表示為，

(10)

利用式(10)，即可生成一幅數(shù)字散斑圖像，同時還可以對該圖像施加平移或變形.

本研究利用上述方法，得到了一幅計算機仿真散斑圖像，具體如圖3所示.該散斑圖像參數(shù)為：圖像大小為512×512像素，高斯光斑的半徑為4，光斑數(shù)目為4 800，中心光強為255灰度值(圖像灰度值的范圍為0～255).

圖3計算所用的數(shù)字散斑圖像

2.2 帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)對算法計算性能的影響

文獻[8]提出一種線性權(quán)重因子函數(shù)，其形式為，

(11)

圖4圖像計算子區(qū)示意圖

如果采用式(11)來計算圖像計算子區(qū)中各像素點的權(quán)重，其邊緣部分像素點所占的權(quán)重較小，且4個角點處的權(quán)重均為0，這將低估圖像邊緣區(qū)域的像素點尤其是4個角點對相關(guān)系數(shù)的貢獻.對此，本研究提出一種高斯權(quán)重因子函數(shù)，其形式為，

r(x,y)=e(-d(x,y)2/M2)

(12)

利用式(10)和式(12)，線性權(quán)重因子函數(shù)和高斯權(quán)重因子函數(shù)的取值隨像素點與圖像子區(qū)中心點距離d的變化曲線如圖5所示.

圖5 2種權(quán)重因子函數(shù)變化趨勢比較

2.3 不同相關(guān)函數(shù)對DIC算法性能的影響

本研究采用曲面擬合法，分別使用傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)、線性權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)和高斯權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)計算圖像在x軸方向逐漸拉伸到應(yīng)變達20%狀態(tài)下的位移場，每次增加1%應(yīng)變.計算子區(qū)大小為41×41像素，從圖像坐標為(70，70)開始，縱向和橫向均是每隔5像素計算一個點的位移值，直到圖像坐標為(450，450).本研究共計算5 929個點的位移值，由此得到了該圖像下3種計算方法的均值誤差絕對值和標準差，并對10幅不同數(shù)字散斑圖像的計算結(jié)果取平均值.通過比較這3種方法的計算結(jié)果，由此分析權(quán)重因子對DIC算法的影響.

1)在10%拉伸狀態(tài)下3種方法的計算結(jié)果如表1所示.

表1 10%拉伸應(yīng)變下的計算結(jié)果比較

從表1可以看出，相比較于傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)，采用線性權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)和高斯權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)后，曲面擬合法計算結(jié)果的均值誤差由0.002 0像素點分別減少到0.001 3像素點和0.001 1像素點，標準差由0.111 5像素點分別減少到0.090 0像素點和0.081 4像素點.這表明，2種帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)均能夠有效提高數(shù)字圖像相關(guān)算法的計算精度，而當采用高斯權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)的計算方法時，其均值誤差和標準差均為最小.

2)在10%拉伸應(yīng)變下3種方法位移場的計算結(jié)果如圖6所示，顯示圖像的大小為60×60像素.

圖6 3種相關(guān)函數(shù)在10%拉伸應(yīng)變下位移場計算結(jié)果

從圖6可以看出，由傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)計算得到的位移場變化較大，而采用線性和高斯權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)后，計算得到的位移場平滑性更好.這表明后二者的計算結(jié)果更加穩(wěn)定，計算精度更高.

3)3種方法位移場計算結(jié)果的均值誤差絕對值和標準差與拉伸應(yīng)變的關(guān)系如圖7、圖8所示.

從圖7與圖8中可以看出，采用傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)時，其計算結(jié)果的均值誤差絕對值和標準差均遠遠大于另外2種相關(guān)函數(shù)，且隨著拉伸應(yīng)變的增加，3種相關(guān)函數(shù)的計算誤差增加幅度也越來越大.

總體而言，采用高斯權(quán)重因子函數(shù)算法的計算精度稍好于線性權(quán)重因子相關(guān)函數(shù).

圖7均值誤差絕對值與拉伸應(yīng)變的關(guān)系

圖8標準差與拉伸應(yīng)變的關(guān)系

3 結(jié) 語

本研究提出了一種帶高斯函數(shù)權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)，并將其與線性權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)和傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)的計算結(jié)果進行了對比.計算結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)，采用線性權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)或高斯權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)后，數(shù)字圖像相關(guān)算法的均值誤差和標準差均有較大幅度下降，這顯著提高了算法的計算精度.而當采用高斯權(quán)重因子相關(guān)函數(shù)的計算方法時，其均值誤差和標準差均為最小，算法的計算精度較好.

實際上，帶權(quán)重因子的相關(guān)函數(shù)，其形式并不只有線性函數(shù)或高斯函數(shù)，還存在其他函數(shù)類型，例如多項式函數(shù).對于每種狀態(tài)的圖像而言，采用哪種類型的相關(guān)函數(shù)更適合，尚需做更進一步的研究.