張君

(1.中煤科工集團(tuán) 太原研究院有限公司， 山西 太原 030006；2.太原重型機(jī)械設(shè)備協(xié)同創(chuàng)新中心， 山西 太原 030024；3.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山西 太原 030024)

0 引言

分?jǐn)?shù)微積分具有悠久的歷史，廣泛應(yīng)用于工程、科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域[1-5]。許多現(xiàn)實(shí)世界的問題，如物理、化學(xué)、流體力學(xué)、控制和數(shù)學(xué)生物學(xué)，可以通過建立分?jǐn)?shù)本構(gòu)的模型來建模[6-10]。為在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)求解中要求較高的計(jì)算精度，就切比雪夫多項(xiàng)式算法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)數(shù)值模擬，并對切比雪夫多項(xiàng)式算法做了進(jìn)一步的前期調(diào)研。文獻(xiàn)[11]中為了快速精準(zhǔn)地建立機(jī)床集合誤差項(xiàng)數(shù)學(xué)模型，提出了一種基于切比雪夫多項(xiàng)式的參數(shù)化建模方法，該建模過程簡單且易程序化，切比雪夫多項(xiàng)式的高精度使得建立的模型精度高，同時為機(jī)床設(shè)計(jì)和誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[12]中應(yīng)用了切比雪夫多項(xiàng)式插值代替了傳統(tǒng)CS算法中的泰勒級數(shù)展開，得到了新的二維頻譜信號的近似且推導(dǎo)出了完整的成像流程。該算法精度高、誤差小，誤差空變性弱等特點(diǎn)，提升了成像質(zhì)量，減少了距離向分塊數(shù)，驗(yàn)證了切比雪夫多項(xiàng)式算法在逼近誤差絕對值和空變性上有很大的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[13]中介紹了用切比雪夫逼近多項(xiàng)式分析非線性電路的方法以及用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的例子,該方法不僅適用于非線性電路的分析和計(jì)算,也可用于解決其它工程上的非線性問題。文獻(xiàn)[14]中將多項(xiàng)式函數(shù)最佳逼近的代數(shù)式運(yùn)用在大地測量常用計(jì)算公式的最佳逼近問題，結(jié)果表明其計(jì)算速度，子午線孤長正反算為例可比相應(yīng)的同精度的經(jīng)典方法提高5倍至數(shù)十倍。文獻(xiàn)[15]中采用切比雪夫多項(xiàng)式擬合 GPS 精密星歷，結(jié)果表明最終星歷和快速星歷可以達(dá)到 mm 級，證明運(yùn)用切比雪夫點(diǎn)擬合精密衛(wèi)星星歷方法可行可靠。文獻(xiàn)[16]中利用切比雪夫擬合方法,在GPS衛(wèi)星信號失鎖情況下,對DR數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理,并把處理結(jié)果與未失鎖情況下的GPS導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,驗(yàn)證切比雪夫擬合效果，且能獲得良好的精度。文獻(xiàn)[17]基于計(jì)算全息法檢測圓柱面系統(tǒng)的輔助裝調(diào)，提出選用切比雪夫多項(xiàng)式替代傳統(tǒng)的澤尼克多項(xiàng)式進(jìn)行系統(tǒng)波像差擬合，建立計(jì)算機(jī)輔助裝調(diào)模型指導(dǎo)被測柱面裝調(diào)。文獻(xiàn)[18]中基于切比雪夫多項(xiàng)式具有良好的正交性質(zhì)，展開公式中的冪函數(shù)數(shù)項(xiàng)更容易進(jìn)行變分?jǐn)?shù)階微分的計(jì)算，具備了進(jìn)行函數(shù)逼近處理的基礎(chǔ)，具有形成算子矩陣的條件。該文獻(xiàn)還進(jìn)一步探討變分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值計(jì)算方法奠定了理論基礎(chǔ)，具有一定的工程實(shí)用價值。

由此可見，上述文獻(xiàn)都闡述了切比雪夫多項(xiàng)式在求解精度上獲得了較高的精度，適用的應(yīng)用場合較廣，尤其是針對本單位設(shè)計(jì)、生產(chǎn)的礦用錨桿鉆機(jī)機(jī)械臂在井下打孔、上錨桿都需要較高精度的定位，該設(shè)備在井下變載荷工況下都需要高精度的定位，且均要采用分?jǐn)?shù)階控制算法設(shè)計(jì)的反饋控制系統(tǒng)。該系統(tǒng)包括受控對象模型、與其串聯(lián)鏈接的控制器模型和負(fù)反饋連接的反饋模型,同時切比雪夫多項(xiàng)式擬合方法在分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)數(shù)值模擬研究中有較強(qiáng)的理論基礎(chǔ)和實(shí)際應(yīng)用場合。因此，對于設(shè)備控制系統(tǒng)要解決人工生產(chǎn)效率低、勞動強(qiáng)度大的問題，非常有必要運(yùn)用切比雪夫多項(xiàng)式算法來研究分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)數(shù)值模擬計(jì)算。

1 分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)概述

典型的分?jǐn)?shù)反饋控制系統(tǒng)框架如圖1所示,其中Gc(t)為分?jǐn)?shù)控制器;G0(t)為分?jǐn)?shù)控制器系統(tǒng)的傳遞函數(shù);Gf(t)為分?jǐn)?shù)系統(tǒng)的反饋環(huán)傳遞函數(shù);U(t)和Y(t)a為系統(tǒng)的輸入和輸出。

圖1 分?jǐn)?shù)離散控制系統(tǒng)框架圖

該分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)是開關(guān)始終處于閉合狀態(tài)下的連續(xù)系統(tǒng)，其時域模型的建立，即為:

anDαny(t)+an-1Dαn-1y(t)+…+a0Dα0y(t)=

bmDβmu(t)+bm-1Dβm-1u(t)+…+b0Dβ0u(t)

(1)

(2)

迄今為止，給出了求解分?jǐn)?shù)階微分方程的各種數(shù)值方法。這些方法包括小波法[19-20]，切比雪夫，勒讓德多項(xiàng)式[21-22]和配方法。在文獻(xiàn)[23]中，L. Pezza就是利用一種近似方法,來研究半線性非局部分?jǐn)?shù)演化方程的部分近似能控性。在文獻(xiàn)[24]中，Ali Lotf使用Epsilon penalty和Ritz方法的擴(kuò)展，來解決一類混合邊界條件下的分?jǐn)?shù)最優(yōu)控制問題。

本文利用切比雪夫多項(xiàng)式得到了分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)的數(shù)值解，其組織架構(gòu)如下：在第2部分，介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的定義;第3部分給出了切比雪夫多項(xiàng)式的一些相關(guān)性質(zhì);第4部分介紹了數(shù)值方法和數(shù)值例子。第五部分得出結(jié)論。

2 分?jǐn)?shù)階微積分定義和符號

Riemann-Liouvilleμ階分?jǐn)?shù)階積分函數(shù)[25]，定義為:

(3)

式中:ζ∈R+和Γ(·)表示gamma函數(shù)。

Caputoμ階的分?jǐn)?shù)階微分函數(shù)[25]，定義為：

m-1<μ≤m

(4)

式中:μ∈R+，m∈N+。

3 切比雪夫多項(xiàng)式

3.1 切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)

切比雪夫多項(xiàng)式次數(shù)的解析形式[26]:

(5)

式中:Ti(0)=(-1)iandTi(1)=1。

正交性式為

(6)

b0=2,bk=1,k≥1。

3.2 函數(shù)逼近

假設(shè)y(t)∈L2[0,1],則由切比雪夫多項(xiàng)式展開多項(xiàng)式展開得：

(7)

其中:ci系數(shù)的表達(dá)式為:

(8)

考慮式(5)中的截?cái)嗉墧?shù)，其表達(dá)式可如下式(9)所示：

(9)

其中

C=[c0,c1,…,cM]T

Φ(t)=[T0(t),T1(t),…,TM(t)]T

(10)

式中:向量Φ(t)的微分函數(shù)表達(dá)式可為：

(11)

其中P(1)是(M+1)×(M+1)由運(yùn)行矩陣求導(dǎo)可得，即

(12)

式中,當(dāng)M為奇數(shù)時,k=1,3,5,…,M;當(dāng)M為偶數(shù)時,k=1,3,5,…,M-1。

由此類似，運(yùn)行矩陣Pn由Φ(t)求n階導(dǎo)數(shù)得：

(13)

式中:Pn=(P(1))n。

3.3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)行矩陣

主要目的是證明切比雪夫多項(xiàng)式分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的下列定理[26]。

引理1 假設(shè)Ti(t)是切比雪夫多項(xiàng)式,則

DμTi(t)=0, i=0,1,2,…,

μ

-1,μ>0

(14)

定理1 設(shè)Φ(t)為式(12)中定義的Chebyshev向量，并假設(shè)μ>0。

(15)

式中:P(μ)由Caputo定義下的(M+1)×(M+1)運(yùn)行矩陣μ階微分法求得，且定義為：

P(μ)=

000…0???…?000…0Sμ(μ,0)Sμ(μ,1)Sμ(μ,2)…Sμ(μ,M)???…?Sμ(i,0)Sμ(i,1)Sμ(i,2)…Sμ(i,M)???…?Sμ(M,0)Sμ(M,1)Sμ(M,2)…Sμ(M,M)?è?????????????÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

式中：

Sμ(i,j)=∑ik=μ·[(-1)i-k2i(i+k-1)!Γk-μ+12()]/[bjΓk+12()(i-k)!Γ(k-μ-j+1)Γ(k-μ+j+1)]

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用Chebyshev多項(xiàng)式對分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬。其式(1)的每一項(xiàng)都可以用Chebyshev多項(xiàng)式的基表示為:

(16)

(17)

?

(18)

和

(19)

(20)

?

(21)

式中:C和U均由式(11)獲得。

將式(16)～(21)帶入式(1)中，可以得到:

anCTP(αn)Φ(t)+an-1CTP(αn-1)Φ(t)+…+

a0CTP(α1)Φ(t)=bmUTP(βn)Φ(t)+

bm-1UTP(βn-1)Φ(t)+…+b0UTP(β1)Φ(t)

(22)

測試時，考慮分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)，即

D1.8y(t)+D1.5y(t)+y′(t)+y(t)=u(t),

y′(0)=0,y(0)=-1,t∈[0,1]

(23)

該系統(tǒng)的解析解是y(t)=t2-1。當(dāng)M=4,6,8時，數(shù)值和分析結(jié)果的絕對誤差如表1所示。由表1可知，數(shù)值解與解析解均隨著M的增長有較好的吻合。

表1 數(shù)值和分析結(jié)果的絕對誤差

5 結(jié)論

本文提出了一種利用切比雪夫多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)的數(shù)值方法，即利用對運(yùn)行矩陣求解n階導(dǎo)數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為易于求解的線性代數(shù)方程組。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著M的增大，數(shù)值解收斂于解析解。