尹 星,鐘再敏,周水華,李俊杰

(同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院,上海201804)

0 引 言

電勵磁同步電機(jī)(以下簡稱EESM)由于其功率因數(shù)可調(diào)、過載能力強(qiáng)、效率高等特點(diǎn)[1],現(xiàn)被廣泛應(yīng)用在車用電驅(qū)動系統(tǒng)中。準(zhǔn)確的電機(jī)模型是車用電機(jī)精確控制的前提,然而,電機(jī)在運(yùn)行過程中,由于其非線性特性與諧波特性,難以得到準(zhǔn)確的電機(jī)數(shù)學(xué)模型。

傳統(tǒng)的基于集中參數(shù)的電機(jī)數(shù)學(xué)模型,是在假設(shè)氣隙磁場呈正弦分布和不考慮轉(zhuǎn)子鐵心飽和的情況下,得到了較為簡潔的電機(jī)數(shù)學(xué)模型。但其忽視了電感參數(shù)會隨著空間位置發(fā)生變化的情況,不能準(zhǔn)確描述電機(jī)運(yùn)行過程中的非線性特性和諧波特性,難以實(shí)現(xiàn)對電機(jī)的精確控制[2]。

為精確考慮電機(jī)運(yùn)行過程中的諧波和非線性特性,實(shí)現(xiàn)對電機(jī)磁場情況的準(zhǔn)確描述[3],本文研究了一種基于磁共能重構(gòu)的EESM分布參數(shù)建模方法。由于EESM存在轉(zhuǎn)子勵磁繞組,與永磁體勵磁的永磁同步電機(jī)相比,其需要更多的參數(shù)來表征磁共能在空間上的分布情況,主要體現(xiàn)在分布參數(shù)矩陣Ck的維度上;同時,轉(zhuǎn)子側(cè)變量的引入,使得整個分布參數(shù)建模方法較永磁同步電機(jī)更復(fù)雜,但其整體建模思路與永磁同步電機(jī)類似。

首先,根據(jù)磁共能在轉(zhuǎn)子位置θr及轉(zhuǎn)矩角β兩個維度上的周期性,運(yùn)用二維傅里葉級數(shù)展開及二元多項(xiàng)式擬合,得到了以分布參數(shù)矩陣Ck表示的磁共能模型;然后,根據(jù)所重構(gòu)的磁共能模型,建立相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩、磁鏈以及定子電壓解析模型;最后,通過在變工況情況下進(jìn)行的準(zhǔn)確性驗(yàn)證,證明了所建立的分布參數(shù)電機(jī)模型在描述電機(jī)轉(zhuǎn)矩、磁鏈諧波特性方面的準(zhǔn)確性,為基于模型的電機(jī)控制提供了理論基礎(chǔ)。

1 基于有限元數(shù)值分析的磁共能重構(gòu)模型

1.1 EESM有限元模型仿真

為實(shí)現(xiàn)對電機(jī)磁場情況的準(zhǔn)確描述,有限元數(shù)值分析(以下簡稱FEA)被廣泛應(yīng)用于電機(jī)設(shè)計(jì)中。本文以某款EESM為研究對象,建立其FEA仿真模型,一方面通過FEA仿真獲取其在各個不同工況點(diǎn)下精確的磁共能數(shù)值,并用于后續(xù)的重構(gòu)磁共能建模;另一方面通過FEA仿真所得的電磁轉(zhuǎn)矩、磁鏈及電壓數(shù)值解,可對所構(gòu)建的EESM分布參數(shù)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。建立四分之一EESM有限元模型,如圖1所示,相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 EESM相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)

圖1 二維EESM四分之一FEA模型

本文利用Maxwell軟件可直接獲得電機(jī)磁共能數(shù)據(jù),對于其他有限元軟件,磁共能數(shù)據(jù)可能不能直接獲得。因此,可以依據(jù)式(1),由定子d-q軸磁鏈及轉(zhuǎn)子勵磁等效磁鏈積分獲得磁共能數(shù)據(jù)。

1.2 磁共能的二維傅里葉級數(shù)展開

對于Y型繞組連接的電機(jī),在三相對稱正弦電流激勵下,d-q軸磁鏈中僅含有6、12、18、24等6k次諧波[4-5]。根據(jù)磁鏈積分可得磁共能數(shù)據(jù),易推得EESM的磁共能也僅含有6k次諧波。

圖2展示的是定子電流Is=10 A,轉(zhuǎn)子勵磁電流Ir=3 A時磁共能的分布圖。圖2(a)表示的是磁共能在θr與β兩個維度上的分布圖,圖2(b)為固定θr下,磁共能隨著β值的變化結(jié)果,圖2(c)則為固定β下,磁共能值隨著θr的變化結(jié)果。從圖2中可以看出Wc在β及θr維度上均具有周期性,且其基波周期分別為2π與π/3。

圖2 EESM磁共能數(shù)值解分布圖

因此,根據(jù)Wc在θr及β兩個維度上的周期性,對特定(Is,Ir)下的所有磁共能數(shù)值解Wc(θr,β)進(jìn)行二維傅里葉級數(shù)展開,如下:

式中:Gm1,m2為當(dāng)θr及β維度的階數(shù)分別為m1與m2時所對應(yīng)的傅里葉級數(shù)系數(shù);ωθ為磁共能在θr維度上的角頻率;ωβ為磁共能在β維度上的角頻率。

對于真實(shí)的電機(jī)系統(tǒng),其磁共能主要集中在其基波及低次諧波中,因此,式(2)中的傅里葉級數(shù)階數(shù)可以縮小到有限次。改進(jìn)后的磁共能表達(dá)式如下:

式中:N1及N2分別為設(shè)定的磁共能在θr及β維度上傅里葉級數(shù)的最高階次。

1.3 傅里葉系數(shù)的二元多項(xiàng)式擬合

式(3)僅能描述Is,Ir為固定值時磁共能隨θr及β的變化規(guī)律,但不能表述出磁共能隨Is和Ir的變化規(guī)律。實(shí)際電機(jī)運(yùn)行過程中,當(dāng)Is和Ir增加時,EESM的磁飽和程度會加劇,從而導(dǎo)致電機(jī)電磁特性及磁共能隨θr及β的變化規(guī)律發(fā)生改變。在此,通過描述傅里葉級數(shù)系數(shù)Gm1,m2隨Is,Ir的變化,即可表征Wc隨Is,Ir的變化規(guī)律。

為了將 Gm1,m2表示為 Is,Ir的函數(shù) Cm1,m2(Is,Ir),同時考慮到電機(jī)運(yùn)行時復(fù)雜的非線性特性,本文將其形式選為Is,Ir的高階二元多項(xiàng)式,如下:

式中:N3為所選擇的二元多項(xiàng)式最高階次。此時,Wc與Is,Ir的關(guān)系可表示:

將各個Cm1,m2(Is,Ir)函數(shù)合并到一個矩陣函數(shù)C(Is,Ir)。同時,為簡化表達(dá)式,將各階傅里葉級數(shù)記為向量的形式:

最終,重構(gòu)的磁共能表達(dá)式如下:

該表達(dá)式由三部分組成,其各自表征了Wc在(Is,Ir),θr及 β四個維度上的變化規(guī)律。其中V(θr)為在θr維度上選取的傅里葉級數(shù)基底,其最高階次為N1,其可描述的θr維度上的最高次諧波為6N1次;U(β)為在β維度上選取的傅里葉級數(shù)基底,其最高階次N2同樣代表著在β維度上描述磁共能諧波的能力;C(Is,Ir)為描述磁共能隨(Is,Ir)變化的矩陣函數(shù),該矩陣函數(shù)元素為二元多項(xiàng)式,各不同項(xiàng)前面的系數(shù)Cij為維數(shù)為(2N2+1)×(2N1+1)的矩陣。在本文中將Cij稱為“分布參數(shù)矩陣”。實(shí)際應(yīng)用中,可依據(jù)電機(jī)本身的特性及應(yīng)用需求合理調(diào)整二維傅里葉級數(shù)或多項(xiàng)式擬合的維度大小,以保證模型的準(zhǔn)確性與復(fù)雜性之間的平衡。

2 基于重構(gòu)磁共能的EESM分布參數(shù)電機(jī)模型

2.1 電磁轉(zhuǎn)矩模型

根據(jù)虛位移原理[6],利用重構(gòu)的磁共能對轉(zhuǎn)子位置求偏導(dǎo),可得電磁轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式:

式中:

最終,代入各表達(dá)式,可得基于分布參數(shù)模型的電

磁轉(zhuǎn)矩解析模型:

式中:

2.2 磁鏈模型

磁共能對定子d-q軸電流的偏導(dǎo),即為d-q軸等效繞組上交鏈通過的磁鏈,以 d軸電流為例,其對應(yīng)的定子磁鏈ψd與所重構(gòu)磁共能之間的關(guān)系如下:

式中:

整理可得d軸定子磁鏈解析表達(dá)式:

同理,可得q軸定子磁鏈解析表達(dá)式:

轉(zhuǎn)子磁鏈ψf可由磁共能Wc對Ir求偏導(dǎo)得到:修正為

Ir的幅值由外界激勵給定,與Is,β,θr無關(guān),即有,代入可得轉(zhuǎn)子磁鏈解析表達(dá)式:

式(15)和式(16)的分母中均含有Is項(xiàng),當(dāng)定子電流激勵為0時,C(Is,Ir)中的C0j項(xiàng)會使磁鏈的計(jì)算結(jié)果無窮大。而C0j項(xiàng)表征的是轉(zhuǎn)子勵磁線圈本身自感產(chǎn)生的磁共能,該部分磁共能并不會在dq軸等效繞組中產(chǎn)生磁鏈,即其不會影響d-q軸磁鏈的變化。

2.3 電壓方程

由定子磁鏈解析模型可得M-T同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的定子磁鏈:

M-T同步坐標(biāo)系下的磁鏈表達(dá)形式要比d-q同步坐標(biāo)系下的磁鏈表達(dá)式簡單,因此下文將基于M-T同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來建立EESM的電壓方程。由定義可知,電流矢量Is在M軸上的分量即為定子電流矢量幅值Is,而在 T軸上的分量為0,即iM=Is,iT=0?？傻肕-T同步坐標(biāo)系下定子側(cè)的電壓矢量方程:

代入之前獲得的磁鏈解析模型,整理可得M-T坐標(biāo)系下的定子側(cè)電壓方程解析模型:式中:

同理,轉(zhuǎn)子側(cè)電壓方程的矢量形式可表示:

代入轉(zhuǎn)子磁鏈解析模型,可得轉(zhuǎn)子電壓方程解析模型:

3 分布參數(shù)模型與FEA比較

為了驗(yàn)證所建立的EESM分布參數(shù)模型的準(zhǔn)確性,在定子為諧波電流激勵和轉(zhuǎn)子電流變化時對比分布參數(shù)模型與FEA模型的結(jié)果。仿真時,在定子三相電流中加入5、7次諧波,如圖3所示。

同時,轉(zhuǎn)子電流也不再設(shè)為恒定值,而是加入一個正弦波擾動,轉(zhuǎn)子電流Ir=Ir0+Ir1cos(2πft),仿真時,設(shè)置Ir0=2 A,Ir1=0.1 A,f=50 Hz,轉(zhuǎn)子電流激勵如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)子電流激勵

圖5 為所建立的分布參數(shù)電機(jī)模型與FEA模型的比較結(jié)果,包括磁共能、轉(zhuǎn)矩、定子d-q軸磁鏈、轉(zhuǎn)子磁鏈、定子M-T軸電壓和轉(zhuǎn)子電壓的對比。

從圖5中可看出,分布式參數(shù)電機(jī)模型得到的各數(shù)據(jù)結(jié)果同F(xiàn)EA所得結(jié)果之間的吻合程度較高,基本證明了所建立的EESM分布參數(shù)模型可以充分描述電機(jī)在各種工況下的運(yùn)行狀態(tài),為基于模型的電機(jī)控制提供了理論基礎(chǔ)。

圖5 Is=10 A,Ir=2 A,β =135°時分布參數(shù)模型與有限元模型的對比結(jié)果

4 結(jié) 語

本文利用FEA所得電機(jī)的磁共能數(shù)據(jù),利用二維傅里葉級數(shù)展開和多項(xiàng)式擬合對磁共能數(shù)值解進(jìn)行了重構(gòu),獲得了EESM的分布參數(shù)電機(jī)模型。經(jīng)對比驗(yàn)證,所構(gòu)建的分布參數(shù)電機(jī)模型與FEA所得數(shù)據(jù)具有良好的一致性,證明了分布參數(shù)電機(jī)模型能充分描述電機(jī)在運(yùn)行過程中的非線性特性與諧波特性,對基于模型的電機(jī)控制技術(shù)有重要的參考價值。