郭志堅(jiān)，孫 乾

(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

1 引 言

原子閾上電離(Above-Threshold Ionization,ATI)是強(qiáng)激光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的一個(gè)基本過(guò)程[1]。閾上電離發(fā)生的過(guò)程可以分為多光子電離(γ>1)和隧穿電離(γ<1)兩種電離機(jī)制。根據(jù)經(jīng)典的三步模型理論，在隧穿電離機(jī)制下，電子在激光場(chǎng)作用下，有一定概率返回母核發(fā)生重散射，即高階閾上電離[2]。電子波包之間的干涉效應(yīng)在強(qiáng)場(chǎng)電離中是一個(gè)非常重要的概念，末態(tài)動(dòng)量相同的電子波包會(huì)發(fā)生干涉效應(yīng)，干涉理論可以用來(lái)分析強(qiáng)場(chǎng)電離中的許多現(xiàn)象[3-6]。根據(jù)產(chǎn)生電子波包的時(shí)間間隔，可將電子波包分為周期間干涉(電離間隔為一個(gè)周期之外)和周期內(nèi)干涉(電離間隔為一個(gè)或多個(gè)周期)，周期間干涉和周期內(nèi)干涉的相互作用形成了閾上電離光電子能譜和二維動(dòng)量譜的典型特征。近幾年，學(xué)者們利用鞍點(diǎn)近似方法、經(jīng)典軌道蒙特卡洛方法及量子軌道蒙特卡洛方法等對(duì)電子波包干涉進(jìn)行了大量的研究[7-10]。

由于紅外激光技術(shù)的快速發(fā)展，強(qiáng)場(chǎng)電離已經(jīng)可以在深度隧穿電離機(jī)制下發(fā)生，隨著人們對(duì)強(qiáng)場(chǎng)電離的深入研究，逐漸發(fā)現(xiàn)庫(kù)侖勢(shì)以及電子與母核發(fā)生的再散射對(duì)光電子能譜以及二維動(dòng)量譜有著非常重要的影響。在深度隧穿電離機(jī)制下，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)在紅外激光場(chǎng)作用下光電子能譜將在低能處產(chǎn)生尖銳的峰，即低能結(jié)構(gòu)(Low-Energy Structure,LES)[11]，而經(jīng)典的強(qiáng)場(chǎng)近似(Strong Field Approximation,SFA)模型無(wú)法重現(xiàn)出該結(jié)構(gòu)。一些人認(rèn)為該結(jié)構(gòu)是在長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)作用下電子與母核的再散射引起的[12-13]， LES的出現(xiàn)不依賴于靶原子或分子，但是與激光強(qiáng)度、波長(zhǎng)以及脈寬有很大的關(guān)聯(lián)，對(duì)此至今仍然沒(méi)有合理的解釋。另外，在光電子二維動(dòng)量分布中，在低能部分的扇形結(jié)構(gòu)也被認(rèn)為是由庫(kù)侖勢(shì)引起的，在SFA基礎(chǔ)上考慮庫(kù)侖勢(shì)效應(yīng)的Coulomb-Volkov近似(Coulomb-Volkov Approximation,CVA)方法能夠較好地重現(xiàn)出該結(jié)構(gòu)。

本文采用了一種SFA和CVA結(jié)合時(shí)間窗函數(shù)(限制電離時(shí)間)來(lái)得到電子波包干涉的方法，從電子波包干涉的角度出發(fā)，研究了在隧穿電離機(jī)制下(γ=0.5)庫(kù)侖勢(shì)以及電子再散射對(duì)少周期原子閾上電離二維光電子動(dòng)量譜的影響。首先通過(guò)SFA方法和CVA方法的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)庫(kù)侖勢(shì)在電子波包干涉中起到非常重要的作用，在庫(kù)侖勢(shì)的影響下，電子波包周期內(nèi)干涉和周期間干涉共同作用，形成了二維動(dòng)量譜中的扇形條紋結(jié)構(gòu)。另外，采用數(shù)值求解TDSE(Time-Dependent Schrodinger Equation)方法計(jì)算了不同脈寬下氫原子的二維動(dòng)量譜，發(fā)現(xiàn)二維動(dòng)量譜中存在特殊的徑向條紋，在2 cycles脈沖下的徑向條紋尤其明顯，隨著脈寬增加，周期內(nèi)干涉作用使得這些徑向條紋變得模糊。通過(guò)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)這些徑向條紋是再散射電子波包之間的干涉引起的。

2 基本方法

2.1 TDSE方法

在單電子近似下，強(qiáng)場(chǎng)中電子的波函數(shù)可通過(guò)求解下面的含時(shí)薛定諤方程得到：

Hi(t)]ψ(r,t) ,

(1)

E(t)=E0a(t)cos(ωt+φ)z.

(2)

包絡(luò)函數(shù)a(t)形式如下[13]：

(3)

在數(shù)值計(jì)算中，隨時(shí)間演化的波函數(shù)ψ(r,t)通過(guò)下面方式展開[14]：

(4)

電離振幅通過(guò)投影方法得到：

(5)

末態(tài)動(dòng)量為p的自由態(tài)電子，其動(dòng)量分布可通過(guò)下面方程得到：

(6)

其中，P為電離幾率，f(p)表示電子從基態(tài)躍遷到動(dòng)量為p的末態(tài)的電離振幅。

對(duì)于線性極化的激光場(chǎng)，光電子二維動(dòng)量譜為：

(7)

(8)

2.2 SFA方法

對(duì)于SFA方法，電子的電離振幅為：

f(p)=f1(p)+f2(p) ,

(9)

其中第一項(xiàng)表示直接電離部分，即SFA1：

(10)

SFA模型中，電離態(tài)用Volkov態(tài)表示，即：

(11)

q(t)=p+A(t)，A(t)為電場(chǎng)矢勢(shì)，Sp(t)可寫作：

(12)

對(duì)于氫原子，基態(tài)為：

(13)

對(duì)空間部分積分之后，電離振幅為：

(14)

與電子再散射有關(guān)的電離振幅為(SFA2)[15]：

(15)

|χk(t)〉表示動(dòng)量為k的Volkov態(tài)，對(duì)空間部分積分后，有：

(16)

積分過(guò)程中對(duì)動(dòng)量k采用了鞍點(diǎn)近似，kS為鞍點(diǎn)動(dòng)量，α是為了避免積分發(fā)散引入的量，本文取α=1。

為了得到電子波包干涉圖像，引入時(shí)間窗函數(shù)，其定義為[16]：

(17)

其中，ti為時(shí)間窗的中心，Δt=0.01T，T為電場(chǎng)的周期。電場(chǎng)可以寫成如下形式：

(18)

結(jié)合時(shí)間窗函數(shù)，SFA1電離振幅可以表示成：

(19)

式中的E(ti)為第i個(gè)時(shí)間窗電場(chǎng)的平均值。

2.3 CVA方法

CVA未考慮電子的再散射情況，它在SFA1的基礎(chǔ)上，考慮了在激光場(chǎng)作用下電離電子受到母核的庫(kù)侖勢(shì)，電子從基態(tài)到連續(xù)態(tài)的躍遷振幅為：

(20)

其中，|ψ0(t)〉為原子基態(tài)，對(duì)于氫原子仍采用式(5)的形式，|ψp(t)〉為Coulomb-Volkov態(tài)，其表達(dá)式為[17]：

ψp(r,t)=χp(r,t)cp(r) ,

(21)

庫(kù)侖態(tài)cp(r)為：

1; (pr+p·r)] ,

(22)

其中，1F1為合流超幾何函數(shù)。

3 結(jié)果與討論

圖1給出了模擬計(jì)算所用激光場(chǎng)的電場(chǎng)及矢勢(shì)(在最大峰值處進(jìn)行了歸一化)，脈寬為5 fs，A、B、C為式(17)中提到的時(shí)間窗。A窗和B窗(或A窗和C窗)電離的電子具有相同的末態(tài)動(dòng)量，電離間隔在一個(gè)周期之內(nèi)，其電子波包會(huì)發(fā)生周期內(nèi)干涉；B窗和C窗電離的電子波包會(huì)發(fā)生周期間干涉；3個(gè)時(shí)間窗都打開時(shí)，得到的是周期內(nèi)干涉和周期間干涉共同作用的結(jié)果。

圖1 激光場(chǎng)的電場(chǎng)及矢勢(shì)，I=4.0×1014 W/cm2, λ=800 nm, CEP=0, Γ=5 fs Fig.1 Electric field and vector potential of laser field with I=4.0×1014 W/cm2, λ=800 nm, CEP=0, Γ=5 fs

電子波包干涉圖像如圖2(彩圖見期刊電子版)所示。為了說(shuō)明庫(kù)侖勢(shì)的作用，圖2分別展示了SFA及CVA結(jié)合時(shí)間窗函數(shù)得到的二維動(dòng)量譜。圖2(a)、2(c)以及2(e)為SFA模擬結(jié)果，圖2(b)、2(d)以及2(f)為CVA模擬結(jié)果。(a)和(b)為周期內(nèi)干涉圖像；(c)和(d)為周期間干涉圖像；(e)和(f)為周期內(nèi)干涉及周期間干涉相互作用的圖像。

圖2 氫原子電子波包干涉形成的二維動(dòng)量譜 Fig.2 2D momentum spectra of H atom with EPs interferences

由于CVA方法考慮了長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)，所以圖2(b)的周期內(nèi)干涉及圖2(d)的周期間干涉圖像均向閾值方向移動(dòng)，低能部分的干涉條紋均出現(xiàn)了扭曲。圖2(b)及2(d)在閾值附近均出現(xiàn)了徑向條紋，共同形成了圖2(f)中的扇狀條紋；圖2(e)相應(yīng)位置處為垂直條紋，這充分說(shuō)明二維動(dòng)量譜中的扇形結(jié)構(gòu)是在長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)作用下，由周期內(nèi)干涉和周期間干涉共同作用形成的。

圖3(彩圖見期刊電子版)是電子波包干涉形成的光電子能譜，圖3(a)為周期內(nèi)干涉能譜，可見，能譜中隨著光電子能量增加，峰與峰的間隔逐漸增大；圖3(b)為周期間干涉能譜，能譜中峰與峰的間隔相等，是典型的ATI峰；圖3(c)是周期間干涉和周期內(nèi)干涉相互作用形成的能譜，圖中的藍(lán)色曲線為圖3(a)的周期內(nèi)干涉能譜，通過(guò)比較可以明顯地看到光電子能譜仍然保持ATI特征，但是譜線整體受到了周期內(nèi)干涉的調(diào)制。

圖3 CVA方法得到的電子波包干涉形成的光電子能量譜，激光參數(shù)與圖1相同。(a)周期內(nèi)干涉；(b)周期間干涉；(c)周期內(nèi)干涉和周期間干涉相互作用的結(jié)果 Fig.3 Photoelectron energy spectra of EPs interferences by CVA under the same laser field as shown in Fig.1. (a)Intracycle interference; (b)intercycle interference; (c) intercycle and intracycle interferences

圖4比較了采用SFA、CVA及TDSE方法計(jì)算得到的氫原子的二維動(dòng)量譜(不設(shè)置時(shí)間窗)，激光參數(shù)與圖1相同。3種方法得到的二維動(dòng)量譜在整體結(jié)構(gòu)上非常相似，都可以看到明顯的周期內(nèi)干涉條紋和周期間干涉條紋。SFA方法未考慮長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)效應(yīng)，在閾值附近產(chǎn)生垂直條紋，CVA及TDSE方法得到的是扇形的徑向條紋，考慮了庫(kù)侖勢(shì)修正的CVA方法也未能夠完全重復(fù)出TDSE的扇形結(jié)構(gòu)，一些研究認(rèn)為這是由于閾值附近的扇形結(jié)構(gòu)不僅與庫(kù)侖勢(shì)作用下的直接電離有關(guān)，同時(shí)與電子跟母核的再散射有關(guān)[18]。從本文得到的結(jié)果來(lái)看，CVA方法雖然重復(fù)出了閾值附近的扇形條紋，但是扇形條紋的數(shù)目與TDSE結(jié)果仍然有明顯差別，總是少于TDSE中的條紋數(shù)目，因此認(rèn)為其他幾條扇形條紋與電子再散射有關(guān)是合理的。此外，由于庫(kù)侖勢(shì)作用，3種方法得到的周期內(nèi)干涉條紋位置有明顯的偏移，這種現(xiàn)象在圖5給出的能量譜中能夠更直觀的看到。圖5(a)、5(b)及5(c)分別為TDSE、CVA和SFA模擬計(jì)算的光電子能量譜，在圖中的箭頭標(biāo)記處為周期內(nèi)干涉產(chǎn)生的峰，由于庫(kù)侖勢(shì)作用，TDSE和CVA對(duì)應(yīng)的峰均向低能方向移動(dòng)，其中TDSE移動(dòng)較為明顯。

圖4 H原子二維光電子動(dòng)量譜，激光參數(shù)與圖1相同 Fig.4 2D photoelectron momentum spectra of H atom under the same laser field as shown in Fig. 1

圖5 H原子能量譜，激光參數(shù)與圖1相同 Fig.5 Photoelectron energy spectra of H atom with under the same laser field as shown in Fig.1

圖6(a)、6(c)及6(e)分別給出了氫原子在光學(xué)周期為2 cycles、4 cycles和8 cycles(對(duì)應(yīng)的半峰全寬分別為1.9、3.8、7.6 fs)脈沖下的二維動(dòng)量譜。 在2 cycles激光脈沖作用下得到的二維動(dòng)量譜在pz<0的區(qū)域能看到明顯的周期內(nèi)干涉條紋，本文首次發(fā)現(xiàn)在pz>0的區(qū)域出現(xiàn)非常明顯的徑向條紋，使得該區(qū)域的周期內(nèi)干涉條紋非常模糊； 4 cycles對(duì)應(yīng)的動(dòng)量譜中周期內(nèi)干涉和周期間干涉均能明顯觀察到，除此之外，pz>0.5的區(qū)域出現(xiàn)了和圖6(a) 類似的條紋，但是在周期內(nèi)干涉作用下不是很清楚；在8 cycles脈沖作用下，pz>0.5區(qū)域的徑向條紋仍然可以觀察到。圖6(c)及6(e)在00區(qū)域的圖像是基本對(duì)稱的，這與圖6(a)有明顯區(qū)別。為了分析庫(kù)侖勢(shì)對(duì)圖6(a)、6(c)及6(e)中出現(xiàn)的徑向條紋的作用，將作用勢(shì)由長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)換成短程勢(shì)[19]，得到的二維動(dòng)量譜如圖6(b)、6(d)及6(f)所示。對(duì)比發(fā)現(xiàn)不考慮庫(kù)侖勢(shì)的情況下，動(dòng)量譜在閾值附近的扇形條紋消失，變成了垂直條紋(預(yù)期的結(jié)果)，對(duì)上面所述徑向條紋的出現(xiàn)并沒(méi)有產(chǎn)生明顯的影響。

圖7采用SFA及CVA方法模擬了圖6(a)的結(jié)果。模擬計(jì)算的電場(chǎng)如圖7(a)所示，采用 SFA1、CVA得到的動(dòng)量譜如圖7(b)、7(c)所示，二者均未能重現(xiàn)出圖6(a)的徑向條紋，由于SFA1和CVA只涉及電子直接電離的情況，未考慮電子再散射。為了證實(shí)該條紋與電子再散射有關(guān)，本文在圖7(a)中設(shè)置了兩個(gè)時(shí)間窗對(duì)電子的電離時(shí)間tb以及返回母核發(fā)生再散射的時(shí)間tr進(jìn)行了限制。根據(jù)經(jīng)典的三步模型理論，在激光場(chǎng)峰值附近處電離的電子，會(huì)在激光場(chǎng)作用下大約經(jīng)過(guò)0.75T左右的時(shí)間返回母核與電子發(fā)生再散射，因此將電離時(shí)間限制在-0.6T0方向運(yùn)動(dòng)，在激光場(chǎng)改變方向時(shí)返回母核附近與母核發(fā)生彈性散射，若發(fā)生背向散射將在pz>0區(qū)域被探測(cè)到。采用SFA2方法結(jié)合上述時(shí)間窗得到的動(dòng)量譜如圖7(d)所示，圖中pz>0區(qū)域出現(xiàn)了明顯的徑向條紋，證明圖6(a)中的徑向條紋確實(shí)是再散射電子波包形成的；圖7(e)為直接采用SFA2模擬的動(dòng)量譜(不設(shè)置時(shí)間窗)，在pz>0區(qū)域出現(xiàn)了和圖7(d)一致的條紋結(jié)構(gòu)，再次說(shuō)明了該條紋結(jié)構(gòu)是再散射電子波包引起的，圖7(d)在pz<0區(qū)域沒(méi)有出現(xiàn)類似徑向條紋，這是由于在2 cycles作用下其他峰值附近處電離的電子很難發(fā)生再散射。由于SFA2忽略了長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)，所以在閾值附近的條紋成了垂直條紋。

圖6 H原子TDSE二維光電子動(dòng)量譜，I=4.0×1014 W/cm2， λ=800 nm， CEP=0。(a)、(c)及(e)為考慮庫(kù)侖勢(shì)的計(jì)算結(jié)果，(b)、(d)及(f)為考慮短程勢(shì)的計(jì)算結(jié)果；(a)和(b)脈沖持續(xù)時(shí)間為2 cycles；(c)和(d)為4 cycles；(e)和(f)為8 cycles Fig.6 TDSE 2D photoelectron momentum spectra of H atom when I=4.0×1014 W/cm2, λ=800 nm and CEP=0. (a)、(c) and (e) calculated with coulomb potential , (b)、(d) and (f) calculated without coulomb potential ; (a ) and (b) with 2 cycles pulse; (c) and (d) with 4 cycles pulse; (e) and (f) with 8 cycles pulse

圖7 H原子二維光電子動(dòng)量譜及對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)和矢勢(shì)，激光參數(shù)與圖6(a)相同。 (a)電場(chǎng)和矢勢(shì) ；(b)SFA結(jié)果；(c)CVA結(jié)果；(d)SFA2結(jié)合時(shí)間窗的結(jié)果；(e)SFA2結(jié)果 Fig.7 Electric field and vector potential, and 2D photoelectron momentum spectra of H atom under the same laser field as shown in Fig. 6(a). (a)Electric field and vector potential; (b)result from SFA; (c)result from CVA; (d)result from SFA2 with time windows; (e)result from SFA2

4 結(jié) 論

本文采用SFA、CVA以及數(shù)值求解TDSE 3種方法研究了在深度隧穿電離機(jī)制下氫原子在線性極化少周期強(qiáng)激光場(chǎng)中的二維光電子動(dòng)量譜。首先對(duì)比分析了SFA結(jié)合時(shí)間窗函數(shù)以及CVA結(jié)合時(shí)間窗函數(shù)模擬計(jì)算得到的氫原子電子波包周期內(nèi)干涉及周期間干涉圖像，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)程庫(kù)侖勢(shì)作用下，周期內(nèi)干涉條紋和周期間干涉條紋整體向閾值方向移動(dòng)，在閾值附近受庫(kù)侖勢(shì)影響最為明顯；更重要的發(fā)現(xiàn)是在庫(kù)侖勢(shì)作用下，周期內(nèi)干涉和周期間干涉相互作用形成了二維動(dòng)量譜中的扇形條紋。此外，利用TDSE方法求解了不同脈寬下的二維光電子動(dòng)量譜，發(fā)現(xiàn)動(dòng)量譜中除了周期內(nèi)干涉條紋和周期間干涉條紋之外存在另外一種徑向條紋結(jié)構(gòu)，這些徑向條紋在閾值附近受庫(kù)侖勢(shì)的影響明顯，但是在pz>0.5的區(qū)域庫(kù)侖勢(shì)的影響幾乎可以忽略，正是由于這種條紋的出現(xiàn)使得周期內(nèi)干涉圖像變得模糊。通過(guò)在SFA2模型中設(shè)置時(shí)間窗(電離時(shí)間以及返回時(shí)間)，重現(xiàn)了該結(jié)構(gòu)，證實(shí)了該徑向條紋是再散射電子波包干涉形成的，單獨(dú)采用SFA2也模擬出了該結(jié)構(gòu)。目前SFA模型中對(duì)再散射電子的貢獻(xiàn)考慮不夠，這是SFA模型急需改進(jìn)的地方。