田 曉，張 俊，黃寶玉，楊 航，現(xiàn)嘉裕

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077)

1 引 言

無論對(duì)于經(jīng)典物理領(lǐng)域還是量子力學(xué)領(lǐng)域，光晶格都是研究多體系統(tǒng)的有利工具[1-5]。光晶格本質(zhì)上是采用激光并基于偶極力形成周期性光阱，將冷原子裝載于光晶格勢(shì)阱中，多普勒頻移和光子反沖頻移能被極大地抑制，甚至消除，被廣泛應(yīng)用于高精密光譜、量子模擬、高精度時(shí)間頻率基準(zhǔn)等諸多領(lǐng)域[6-8]?；诠鈱W(xué)交流斯塔克效應(yīng)(A.C.Stark)，光晶格勢(shì)阱中的冷原子被囚禁于一個(gè)激光波長(zhǎng)尺度的位移范圍內(nèi)，即冷原子運(yùn)動(dòng)被限制在“Lamb-Dicke”區(qū)域，避免了自由空間冷原子由于頻移問題而引起的譜線展寬問題，可獲得赫茲甚至亞赫茲量級(jí)的超窄線寬躍遷光譜。與固體物理學(xué)的傳統(tǒng)晶格相比，光晶格可避免固體晶格的缺陷，相鄰光晶格的間距在幾百納米到幾微米范圍內(nèi)，比固體晶格間距大3個(gè)數(shù)量級(jí)。通過改變光束方向、光強(qiáng)、頻率和偏振等參數(shù)，能精確地控制光晶格參數(shù)及構(gòu)造不同的光晶格，從而最終達(dá)到影響甚至操控光晶格中冷原子行為的目的。日本東京大學(xué)的Katori研究小組首次在理論上提出并從實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了利用光晶格技術(shù)對(duì)鍶原子光學(xué)頻率標(biāo)準(zhǔn)性能的高度優(yōu)化[9-10]，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院的研究人員基于構(gòu)建的一維光晶格系統(tǒng)，對(duì)冷原子裝載的“零”干擾波長(zhǎng)，即“魔術(shù)”波長(zhǎng)進(jìn)行了精密測(cè)量[11]，國(guó)防科技大學(xué)的科學(xué)研究人員針對(duì)堿金屬87Rb原子設(shè)計(jì)了大失諧一維光晶格，通過光晶格光束校準(zhǔn)、頻率失諧調(diào)整等實(shí)現(xiàn)該原子的絕熱裝載與卸載[12]。

上述的一維光晶格(One Dimension,1-D)系統(tǒng)只能在一維方向上將原子限制在Lamb-Dicke區(qū)域，而在其他方向上Doppler譜線加寬，反沖動(dòng)量頻移仍然十分明顯，無法避免重力對(duì)一維光晶格勢(shì)阱中原子的影響，此外由于勢(shì)阱中原子占有數(shù)不同，原子之間會(huì)存在碰撞頻移，從而影響原子內(nèi)部信息的精確探測(cè)。采用外偏置磁場(chǎng)是消除重力引起的原子躍遷頻移的一個(gè)途徑，但無疑將使系統(tǒng)復(fù)雜化。另外一個(gè)途徑是采用高維度的光晶格系統(tǒng)，比如三維光晶格(Three Dimensions,3-D)，一方面可消除重力影響，另一方面可使勢(shì)阱中每個(gè)晶格格點(diǎn)原子占有數(shù)最多為1，從而降低甚至消除碰撞頻移，這在超冷玻色子作為探詢?cè)拥膽?yīng)用研究中非常重要[13]，而對(duì)于費(fèi)米子，由于泡里不相容原理采用一維光晶格便能獲得超低碰撞頻移的原子囚禁效果。傳統(tǒng)的三維光晶格，采用單獨(dú)六束激光兩兩對(duì)射或者采用三束激光經(jīng)反射，組成相互正交的3對(duì)駐波光場(chǎng)，即三維光晶格。傳統(tǒng)三維光晶格存在以下幾個(gè)問題：一是同頻正交激光束的光偏振若相同，那么沿各個(gè)軸方向的晶格光在相遇區(qū)域會(huì)發(fā)生干涉，使得形成的晶格勢(shì)阱不穩(wěn)定，進(jìn)而對(duì)勢(shì)阱內(nèi)部原子造成加熱作用；二是受外部振動(dòng)的影響，晶格激光各光束之間的相對(duì)相位將發(fā)生變化，導(dǎo)致各獨(dú)立光束之間產(chǎn)生相位差，從而使勢(shì)阱深度發(fā)生變化；三是高維度光晶格系統(tǒng)所要求的晶格激光數(shù)目要多于一維光晶格，因此對(duì)輸入激光功率提出了更高的要求。目前已證實(shí)，由一束激光經(jīng)過光路折疊形成的二維光晶格，其內(nèi)部折疊激光之間相位相互關(guān)聯(lián)，且與元件振動(dòng)等原因引起的光程差沒有關(guān)系，所以形成的光晶格勢(shì)阱分布穩(wěn)定，利于光晶格系統(tǒng)的優(yōu)化[14-15]。

本文主要研究了用于超冷鍶原子囚禁的三維光晶格，基于光場(chǎng)與原子的相互作用理論，對(duì)該光晶格光場(chǎng)進(jìn)行理論描述，得到光晶格勢(shì)阱分布、囚禁頻率以及不同勢(shì)阱條件下阱中囚禁鍶玻色子88Sr拉比輻射速率的變化?？紤]構(gòu)成光晶格的激光束之間的相位關(guān)系、輸入光功率等問題，采用一束激光入射至光晶格內(nèi)部，通過晶格內(nèi)部特殊角度設(shè)定的高反射鏡，實(shí)現(xiàn)三對(duì)激光兩兩正交，即僅通過一束激光獲得腔增強(qiáng)效果的三維光晶格系統(tǒng)，然后分析該結(jié)構(gòu)光晶格系統(tǒng)與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)三維光晶格輸入激光功率的差別，以及該三維光晶格勢(shì)阱分布受激光偏振特性的影響。該研究為實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)鍶原子的三維光晶格囚禁與裝載奠定了理論基礎(chǔ)，并對(duì)其它堿土金屬原子或類堿土金屬原子的實(shí)驗(yàn)研究具有指導(dǎo)意義。

2 光晶格裝載冷原子的物理描述

兩束相向傳播且偏振方向相互平行(偏振)的線偏振激光束或旋轉(zhuǎn)方向相同的圓偏振激光，即π→π或σ→σ偏振形成一維駐波激光場(chǎng)，或稱之為一維光晶格，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 裝載冷原子的一維光晶格結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.1 Schematic diagram of one-dimensional optical lattice confining cold atoms

(1)

(2)

當(dāng)該η>>1時(shí)認(rèn)為原子處于自由空間，即呈無束縛狀態(tài)，而當(dāng)η<<1時(shí)原子吸收單光子引起的反沖動(dòng)量被囚禁勢(shì)阱吸收，此時(shí)原子被強(qiáng)束縛[16]。處于光晶格中被諧振束縛原子受到光場(chǎng)作用，其內(nèi)部電子能級(jí)發(fā)生A.C.Stark效應(yīng)，原子具有分立的振動(dòng)能級(jí)，對(duì)振動(dòng)量子數(shù)相同的躍遷，即n=n′，稱為載波躍遷，n和n′分別表示基態(tài)和激發(fā)態(tài)的振動(dòng)量子數(shù)，此種情況下原子躍遷僅有內(nèi)部電子激發(fā)。振動(dòng)量子數(shù)不同時(shí)，且n-n′=±1，便產(chǎn)生邊帶躍遷，此時(shí)原子不僅有內(nèi)部純電子激發(fā)，還有振動(dòng)能態(tài)的激發(fā)(或去激發(fā))，進(jìn)而導(dǎo)致原子振動(dòng)能態(tài)的改變。

對(duì)于內(nèi)部電子激發(fā)情況，原子有效拉比輻射速率由下式給出：

(3)

圖2 在不同振動(dòng)量子數(shù)下，原子內(nèi)部拉比輻射速率與Lamb-Dicke參數(shù)之間的關(guān)系 Fig.2 The relationship between Rabi radiation rate and parameter η of atoms under different vibrational quantum numbers

3 用于冷鍶原子囚禁的三維光晶格

3.1 一體式結(jié)構(gòu)的光晶格系統(tǒng)

為盡量降低光晶格勢(shì)阱對(duì)阱中原子的影響，對(duì)一束入射激光經(jīng)過特殊的光路設(shè)計(jì)，形成一體式結(jié)構(gòu)駐波光場(chǎng)，即三維光晶格。光晶格內(nèi)部，即腔體內(nèi)部，設(shè)置有特殊角度的高度反射鏡，使得一束入射晶格激光光束在腔體內(nèi)部傳播后，實(shí)現(xiàn)六束激光兩兩對(duì)射，3對(duì)激光相互正交的效果，該晶格系統(tǒng)可看作是1-D晶格和反射光的拓展形式。

圖3 一體式三維光晶格系統(tǒng)示意圖 Fig.3 Schematic diagram of integrated three-dimensional optical lattice

上述三維光晶格結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中M1為輸入耦合鏡，M2～M6均為高度反射鏡，M′為窗口片，HWP1～HWP3(Half wavelength plate)均為半波片。該光晶格裝置的3個(gè)方向上，即x、y、z方向的激光均為線偏振光；輸入耦合鏡M1具有一定的反射率，且連接環(huán)形壓電陶瓷PZT(Piezoelectric ceramic Transducer)用于調(diào)節(jié)該光晶格腔的腔長(zhǎng)，使之與晶格激光波長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)最佳匹配。入射激光經(jīng)由腔體輸入窗口鏡片M′進(jìn)入光晶格腔系統(tǒng)內(nèi)部，且激光入射鏡面M2～ M5角度均為22.5°，對(duì)反射鏡M6激光為正入射。一般情況下，冷原子在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形真空腔中完成制備，然后通過光學(xué)元件將晶格激光經(jīng)由安裝在腔壁的通光法蘭導(dǎo)入腔體內(nèi)，由于經(jīng)過多個(gè)光學(xué)元件，不可避免地會(huì)大幅損耗激光功率，因此直接將M′和M2～M5的鏡片設(shè)置為真空腔壁，以減少激光功率損耗，這樣相應(yīng)的腔形狀就可根據(jù)反射鏡面的角度進(jìn)行調(diào)整。進(jìn)入光晶格腔體內(nèi)部的激光束，在腔體內(nèi)通過反射鏡進(jìn)行多次反射，即激光束多次正交重合于腔中心，因此對(duì)于中心區(qū)域而言具有腔增強(qiáng)的效果，使該中心激光功率增加，相應(yīng)勢(shì)阱深度增加使得更多的原子被裝載，增加原子探測(cè)的信噪比，另一方面也意味著在實(shí)現(xiàn)相同光晶格阱深的前提下，相比于單獨(dú)六束激光束形成的三維正交晶格，對(duì)入射激光的功率要求要低。

對(duì)上述具有腔增強(qiáng)效果的一體式結(jié)構(gòu)光晶格腔中心功率與入射功率的關(guān)系進(jìn)行分析，由激光器出射的激光經(jīng)過一單模保偏光纖導(dǎo)引至該三維光晶格腔體的輸入耦合鏡處，設(shè)Pin為通過反射率為R的鏡片M1后耦合進(jìn)腔內(nèi)的功率，由此腔內(nèi)形成光晶格勢(shì)阱的激光功率PLattice可表示為：

(4)

其中，L是光晶格腔回路損耗。由式(4)可知當(dāng)R=1-L時(shí)可實(shí)現(xiàn)最大的腔增強(qiáng)效果。腔增強(qiáng)的一體結(jié)構(gòu)三維光晶格系統(tǒng)為冷原子的裝載提供了理想環(huán)境。

3.2 激光場(chǎng)偏振特性對(duì)光晶格的影響

對(duì)于堿土金屬88Sr原子的光晶格囚禁，首先選取813.4 nm作為光晶格激光波長(zhǎng)[17]，這是因?yàn)楫?dāng)鍶原子處于該激光波長(zhǎng)構(gòu)成的上述結(jié)構(gòu)光晶格勢(shì)阱時(shí)，鍶原子鐘躍遷能態(tài)(5s2)1S0和(5s5p)3P0的偶極極化率相等，即在813.4 nm附近兩躍遷相關(guān)的兩能態(tài)的極化率值相等，意味著該波長(zhǎng)對(duì)囚禁勢(shì)阱中的冷鍶原子不造成光位移，所以探測(cè)兩躍遷輻射頻率時(shí)不存在頻移問題，將該813.4 nm波長(zhǎng)稱之為鍶原子的“魔術(shù)”波長(zhǎng)。

用于裝載冷原子的光晶格，設(shè)計(jì)原則是使原子近似無干擾地被束縛于晶格勢(shì)阱中，雖然上述“魔術(shù)”波長(zhǎng)光晶格使原子能級(jí)間相對(duì)光位移差為零，但是不同方向上激光的偏振不垂直且具有相同波長(zhǎng)(頻率)時(shí)，那么光束交匯極可能產(chǎn)生干涉，導(dǎo)致勢(shì)阱不穩(wěn)定，對(duì)阱中冷原子產(chǎn)生加熱的負(fù)面作用。為了使三維光晶格穩(wěn)定，要求三維方向光偏振兩兩垂直，或者之間具有一定的頻率差(幾十MHz)。但對(duì)于頻率差實(shí)現(xiàn)需要借助于聲光調(diào)制器，勢(shì)必增加系統(tǒng)復(fù)雜性，降低系統(tǒng)穩(wěn)定性?；谝陨峡紤]，采用偏振控制，使各方向E振動(dòng)矢量方向不同，即偏振不同。在圖3所示晶格系統(tǒng)中，通過旋轉(zhuǎn)半波片HWP1～HWP3改變各方向激光光束的偏振方向，使其偏振互相垂直，這樣三維方向各光束之間偏振不同，即不滿足光的相干條件，形成的勢(shì)阱穩(wěn)定。

在上述一維光晶格光場(chǎng)及其囚禁勢(shì)阱描述的基礎(chǔ)上，并基于一維光晶格囚禁勢(shì)阱表達(dá)式(1)，得到三維光晶格勢(shì)阱如下所示：

(5)

考慮三維方向上各激光光束的偏振，并結(jié)合勢(shì)阱展開表達(dá)式(2)，討論以下激光參數(shù)對(duì)應(yīng)的三維光晶格的囚禁勢(shì)阱深度，如下所示：

(6)

(7)

再考慮各維度具有不同偏振態(tài)的激光，由此形成的三維光晶格囚禁勢(shì)阱深度表示為：

(8)

3個(gè)方向上的激光偏振相互垂直，具體地，沿x方向晶格光束的偏振平行于z軸，沿y方向晶格光束的偏振平行于x軸，沿z方向晶格光束的偏振平行于y軸。

此外，對(duì)另外一種偏振態(tài)互相垂直的情況，即沿x方向晶格光束的偏振平行于y軸，沿y方向晶格光束的偏振平行于z軸，沿z方向晶格光束的偏振平行于x軸，相應(yīng)構(gòu)成的三維勢(shì)阱表達(dá)式為：

(9)

對(duì)于三維光晶格中的冷原子，使探測(cè)激光沿z軸方向打入，因此關(guān)注晶格z方向上的勢(shì)阱情況。最終目的是通過偏振控制構(gòu)建穩(wěn)定晶格勢(shì)阱，從而在該z方向上，利用探測(cè)激光“無干擾”探測(cè)原子獲得其精確信息。

但無論上述哪類偏振態(tài)組合，在關(guān)注軸向阱深的結(jié)果均相同，z方向激光的軸向勢(shì)阱深度表示：

(10)

該一體式結(jié)構(gòu)的三維光晶格系統(tǒng)，在z方向上的激光軸向勢(shì)阱深度受相應(yīng)晶格激光之間偏振的影響效果如圖4所示，即勢(shì)阱存在干涉時(shí)(虛線表示)和無干涉時(shí)(實(shí)線表示)的勢(shì)阱分布。

圖4 三維晶格光場(chǎng)的偏振對(duì)勢(shì)阱分布的影響 Fig.4 Effect of lattice polarization on stability of potential well distribution

由圖4可知無干涉時(shí)，勢(shì)阱為正常的穩(wěn)定周期性分布。基于兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成理論可知，同頻同向且同振幅振動(dòng)的合振幅處于2A和0兩極值之間，而相互垂直且同頻同振幅振動(dòng)的合振幅相應(yīng)要小于該極值，因此相應(yīng)的勢(shì)阱深度較淺，即淺于互相平行偏振的勢(shì)阱深度。但是可通過合理設(shè)置參數(shù)，實(shí)現(xiàn)既滿足勢(shì)阱深度又無干涉的一體式三維光晶格。

3.3 晶格勢(shì)阱中的88Sr冷原子

4 結(jié) 論

考慮到囚禁堿土金屬冷鍶原子的三維光晶格穩(wěn)定性要求，提出一種內(nèi)部相位穩(wěn)定的一體式結(jié)構(gòu)光晶格系統(tǒng)。該光晶格僅由一束入射激光經(jīng)過角度特殊設(shè)置的多個(gè)反射鏡反射形成，在獲得相同勢(shì)阱深度的前提下，系統(tǒng)所需入射激光功率是傳統(tǒng)三維光晶格所需功率的1/15，該束弱功率激光經(jīng)晶格腔內(nèi)多次反射可實(shí)現(xiàn)腔增強(qiáng)。該系統(tǒng)所形成的光晶格勢(shì)阱深度為514.6ER，表示成溫度單位為86.1 μK，在軸向晶格具有大于徑向的囚禁頻率，且對(duì)應(yīng)的η值為0.17?；趯?duì)光晶格影響原子拉比輻射頻率的描述可得出，原子內(nèi)部由A.C.Stark效應(yīng)引起能級(jí)分裂進(jìn)而產(chǎn)生振動(dòng)能級(jí)，η越小表征原子束縛能力越強(qiáng)，此時(shí)處于該三維光晶格中的原子被強(qiáng)束縛，即原子輻射躍遷可比擬于無“干擾”下的原子躍遷，此時(shí)原子狀態(tài)相當(dāng)于處于一種“理想”環(huán)境。而隨著數(shù)值越來越大，原子被弱束縛，其有效拉比躍遷越來越小。此外，考慮了晶格光場(chǎng)偏振態(tài)對(duì)形成勢(shì)阱分布的影響，研究發(fā)現(xiàn)若兩維度上具有相同偏振的激光由于會(huì)發(fā)生干涉，導(dǎo)致所形成的勢(shì)阱分布不穩(wěn)定，對(duì)囚禁內(nèi)部原子的運(yùn)動(dòng)行為產(chǎn)生影響。而對(duì)各維度偏振控制形成的兩兩相互垂直偏振的三維晶格系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)勢(shì)阱的穩(wěn)定分布，不會(huì)對(duì)阱中原子造成影響。本研究對(duì)進(jìn)一步優(yōu)化鍶原子囚禁的三維光晶格系統(tǒng)提供理論指導(dǎo)，并對(duì)相關(guān)的利用光晶格操控冷原子的研究具有參考價(jià)值。