浙江省安吉縣高級(jí)中學(xué) (313300) 魏侹路

今年高考結(jié)束后，筆者和幾個(gè)班上程度較好的學(xué)生交流了一下對(duì)今年數(shù)學(xué)試卷的感受．大家普遍感覺最后兩題難度很大，特別是解析幾何，雖然問題看上去也很常規(guī)，可就是怎么算都算不出來．在筆者詢問了他們的方法之后，發(fā)現(xiàn)多數(shù)人是選擇了從設(shè)直線AB入手，只有少數(shù)人是像參考答案給出的一樣設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)．那么，設(shè)直線AB入手到底是否可行呢？筆者嘗試后給出了下面解法．

圖1

一、考題再現(xiàn)

(2019浙江第21題)如圖1，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解法一：(1)p=2,y2=4x；

這種解法過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于求面積的過程中涉及到了點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，我們是利用了求根公式將其解出．這不同于我們通常設(shè)直線方程后“設(shè)而不求”，利用韋達(dá)定理整體計(jì)算的一般做法，因此整個(gè)過程計(jì)算量非常大．這對(duì)于考生而言，在考場(chǎng)上近乎是不可能完成的任務(wù)．那么，如果一開始不是從直線AB的方程出發(fā)，而是改從點(diǎn)坐標(biāo)入手，這就是參考答案給出的思路，下面筆者給出另一種設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的解法．

圖2

比較兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，解法二的運(yùn)算量明顯會(huì)比解法一小一些，所以相對(duì)于此題是較優(yōu)的方法.但是我們也要注意到，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的過程中，難點(diǎn)在于如何將面積比值轉(zhuǎn)化到點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)上來，而解法一中面積比值的計(jì)算思路是比較直接的.所以解法二運(yùn)算量減少的“代價(jià)”是思維量的提升.

二、回顧真題

可以說今年的高考解析幾何是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的解法較優(yōu)，那么之前幾年的情況又如何呢？我們可以看到，2018年的高考解析幾何參考答案給出的做法依然是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，那設(shè)直線入手是否可行呢？

圖3

(2018浙江第21題)如圖3，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．

(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；

通過比較上述設(shè)直線求解與參考答案設(shè)點(diǎn)的求解方法后可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)點(diǎn)的做法計(jì)算量較小.因?yàn)樵谠O(shè)直線的做法中無法回避還要設(shè)出點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)，導(dǎo)致參數(shù)數(shù)量增加了兩個(gè)，這對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算化簡要求更高.所以，此題依然是設(shè)點(diǎn)的做法較優(yōu).

接下來我們?cè)倩仡櫼幌?017年的高考解析幾何，當(dāng)年此題參考答案給出的做法是設(shè)直線，那從設(shè)點(diǎn)入手又是否可行呢？

圖4

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

本題設(shè)點(diǎn)的做法運(yùn)算量比設(shè)直線大大簡化，但是這又是以思維量的提升為“代價(jià)”的，因?yàn)槿绾螌PA|·|PQ|轉(zhuǎn)化到點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)上來是一個(gè)難點(diǎn)，這里是借助向量這一工具實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化.所以，此題依然是設(shè)點(diǎn)的解法較優(yōu).

三、幾點(diǎn)思考

1.“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”該如何選擇

回顧近三年的高考解析幾何我們發(fā)現(xiàn)，無論是“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”，一般都是可以做的.但是這三題的運(yùn)算量都是“設(shè)線”時(shí)大一些，那么什么情況下我們選擇“設(shè)線”時(shí)好一些呢？筆者以為，關(guān)鍵要看所設(shè)直線能否方便的將“問題所需量”與之聯(lián)系起來.2019年中的問題是△AFG,△CQG的面積比值，“問題所需量”就是點(diǎn)A,F,G,Q,C的坐標(biāo)或是相關(guān)長度、距離，但是設(shè)直線AB卻無法直接聯(lián)系點(diǎn)Q的坐標(biāo).而且，問題只需要點(diǎn)A，不需要點(diǎn)B，不利于“設(shè)而不求”運(yùn)算的進(jìn)行.因此，“設(shè)線”不是最佳方案.此題2018年中的問題是△PAB的面積，“問題所需量”就是點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo)或是相關(guān)長度、距離，設(shè)直線AB無法直接聯(lián)系點(diǎn)P的坐標(biāo).因此，“設(shè)線”也不是最佳方案.2017年中的問題是|PA|·|PQ|，“問題所需量”就是點(diǎn)A,P,Q的坐標(biāo)或是相關(guān)長度、距離，設(shè)直線AP較容易聯(lián)系三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或是相關(guān)長度、距離.因此，參考答案給出的是“設(shè)線”的方案.本文中給出的做法雖然運(yùn)算簡潔，但需借助向量，并非所有考生都能想到.在考場(chǎng)時(shí)間有限的環(huán)境下，“設(shè)線”的做法仍不失為首選方案.所以，當(dāng)所設(shè)直線能夠方便的表達(dá)出“問題所需量”時(shí)，“設(shè)線”應(yīng)當(dāng)是我們采取的常規(guī)手段.當(dāng)所設(shè)直線不能夠方便的表達(dá)出“問題所需量”時(shí)，我們考慮“設(shè)點(diǎn)”.

2.“設(shè)點(diǎn)”在橢圓中是否可行

我們注意到這三題的背景都是拋物線，所以“設(shè)點(diǎn)”都比較方便，那么若是橢圓的背景下，“設(shè)點(diǎn)”的做法還行得通嗎？那么我們來看下面這個(gè)問題.

可以看出，“設(shè)點(diǎn)”的做法在近三年的浙江高考解析幾何中都可以解決問題，即便是橢圓的背景下也不例外.

3.“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”，運(yùn)算的核心是什么

點(diǎn)、直線、曲線作為幾何中的基本圖形，構(gòu)建起了我們研究的解析幾何對(duì)象.解析幾何的基本方法是坐標(biāo)法，因此，我們研究解析幾何圖形中的眾多關(guān)系，最終都是將其轉(zhuǎn)化成為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線或曲線方程中的有關(guān)系數(shù)等變量.無論是“設(shè)線”或是“設(shè)點(diǎn)”的做法，運(yùn)算的核心都是在建立起眾多變量之間的聯(lián)系.例如，在2019年的21題解法一中，問題最終轉(zhuǎn)化到變量m上去.參考答案及解法二中，問題最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)這一變量.

一般來說，“設(shè)線”時(shí)至多只有兩個(gè)變量，當(dāng)所設(shè)直線能夠方便的表達(dá)出“問題所需量”時(shí)，“設(shè)線”具有變量少、運(yùn)算思路簡潔的特點(diǎn).而“設(shè)點(diǎn)”相對(duì)而言變量更多，變量間的關(guān)系更復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求更高，但思維量的提升往往能帶來運(yùn)算量的降低.特別是當(dāng)直線無法方便的將“問題所需量”與之聯(lián)系起來時(shí)，“設(shè)點(diǎn)”往往是較優(yōu)方案.

4.“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”，學(xué)生的障礙在哪里

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)過程中比較關(guān)注的是運(yùn)算法則和運(yùn)算結(jié)果的正確性.但對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解，運(yùn)算思路的探究往往忽視.而“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”，這個(gè)問題的關(guān)鍵恰恰在于學(xué)生選取什么量將題目中的信息聯(lián)系起來，如何才能將已知信息轉(zhuǎn)化到所設(shè)變量上去.這恰恰是學(xué)生算法思想的體現(xiàn).因此，在今后的日常教學(xué)工作中，筆者應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解和對(duì)運(yùn)算方法的優(yōu)化.通過讓學(xué)生探究不同的算法，經(jīng)歷不同的運(yùn)算過程，在比較中養(yǎng)成對(duì)運(yùn)算思考的習(xí)慣，從而發(fā)展他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng).