趙方鑫，李思銳，羅永順，王曉淵

(貴州大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 貴州 貴陽 550025)

液晶是介于通常液體和固態(tài)晶體之間的中間態(tài)物質(zhì), 它既有晶體的分子有向特性，又有流體那樣的流動性。液晶分子幾何的各向異性促使液晶系統(tǒng)表現(xiàn)出像晶體一樣的各向異性，其復雜而迷人的結(jié)構(gòu)以及獨特的物理化學性能吸引著眾多科學家的關(guān)注。 隨著溫度從高到低的變化，液晶材料往往表現(xiàn)出從均勻相到向列相再到近晶相的相變過程。詳細的液晶介紹可以參考文獻[1]。

液晶除了呈現(xiàn)出各種豐富的相結(jié)構(gòu)外, 它的一個十分重要物理現(xiàn)象就是缺陷的存在。 從直觀上講, 缺陷(包括點缺陷和線缺陷)就是局部分子排列不連續(xù)的地方。 缺陷存在的原因比較多，有雜質(zhì)的存在、邊界條件的限制、區(qū)域拓撲限制、液晶的流動等,他們會對液晶材料產(chǎn)生重要的影響。 缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究不僅數(shù)學上重要,而且也與許多物理現(xiàn)象直接相關(guān)聯(lián)。因此，缺陷性態(tài)的研究已經(jīng)成為液晶研究的重要問題之一。

液晶缺陷的早期研究主要集中在描述向列相的向量模型。對單常數(shù)近似情形的Oseen-Frank模型(即對應調(diào)和映照)，SCHOEN和UHLENBECK[2]證明了它的奇點為有限集。對一般形式的Oseen-Frank模型，HARDT等[3]證明了其極小解的奇點集的一維Hausdorff測度為零，這從數(shù)學上排除Oseen-Frank模型描述線缺陷存在的可能性。對于修正的Ericksen模型，ALPER等[4-5]研究了相應的液晶缺陷結(jié)構(gòu)。由于Q-張量模型能夠刻畫更復雜的線缺陷結(jié)構(gòu)，目前也有一些工作。例如，IGNAT等[6]研究線缺陷結(jié)構(gòu)的存在性與穩(wěn)定性。針對三維Q-張量模型，CANEVARI[7]研究了線缺陷在小彈性常數(shù)趨于零的漸近行為。

在不同區(qū)域拓撲的限制下,近晶A相與向列相的缺陷結(jié)構(gòu)在物理性態(tài)上往往表現(xiàn)出巨大的差異性，近晶A相分子層排列促使其出現(xiàn)的缺陷結(jié)構(gòu)更為豐富。 在二維情形，CALDERER等[8]研究了近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)和焦錐織構(gòu)的物理性態(tài)；通過極小化能量泛函，在二維區(qū)域限制下獲得了近晶A相缺陷的分類：向錯、位錯和焦錐織構(gòu)。三維情形焦錐織構(gòu)的穩(wěn)定性研究仍是一個重要而有意義的公開問題，本文主要工作是在三維球形區(qū)域和邊界條件限制下，研究近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

1 近晶A相靜力學模型

根據(jù)分子指向有序的不同，液晶可以分為：向列相(nematic phase)、膽甾相(cholesteric phase)、近晶相(smectic phase)等。 當液晶分子的空間位置和指向都處于無序狀態(tài)時，稱為均勻相。 向列相的特點是分子位置無序但分子排列長程有序，而且在局部區(qū)域分子傾向于朝某個方向排列，這個方向也稱為分子的優(yōu)取向，通常用一個單位向量n來刻畫。膽甾相的特點是分子指向傾向于沿著某個方向螺旋式的改變。近晶相也稱層狀相，顧名思義，其特點是分子分層排列，每層之間的液晶可以自由流動。近晶A相是近晶相中最簡單而重要的相結(jié)構(gòu)，其分子層的法向與分子優(yōu)取向平行，可以看成是分子層法向的一維晶體、分子層內(nèi)的二維流體。

為了研究液晶的現(xiàn)象和性質(zhì)，最有力的工具就是建立適當?shù)臄?shù)學模型。類似于向列相液晶，根據(jù)序參量選取的不同，近晶數(shù)學模型也大致分為三類：分子模型(molecular model),如McMillan模型[9]；張量模型(tensor model)和向量模型(vector model),它們的典型代表是Landau-de Gennes模型[10]和 Chen-Lubensky模型[11]。本文主要針對de Gennes向量模型，開展近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究。 為了描述近晶相，除了向列相的分子指向序參數(shù)n之外，DE GENNES利用近晶相液晶與超導相似性,引入一個獨立的復值序參數(shù)

Ψ(x)=ρ(x)ei?(x)

(1)

來刻畫空間分子密度的非均勻性，如Nematic-Smectic相變等。于是，分子密度可以定義為

=ρ0(x)+ρ(x)cos?(x)。

式中：ρ0為分子平均密度，非負模量ρ(x)=|Ψ(x)|為調(diào)制密度的波幅，?(x)為刻畫分子層位置(也稱為相位)的實值函數(shù)，? 幾乎處處平行于分子層的法向。 分子層的空間厚度定義為d=2π/q，其中q=|?| 稱為波數(shù)。

1972年，DE GENNES[12]建立了刻畫向列相到層狀A相相變的向量模型：

(2)

在能量泛函式(2)中，EF(n,n) 是刻畫向列相液晶的Oseen-Frank自由能密度，其形式為[1]

K1(·n)2+K2(n·×n)2+K3|n·(×n)|2+

(K2+K4)[tr(n)2-(·n)2]。

(3)

式中：K1,K2,K3,K4為Frank彈性系數(shù)。 前三個平方項是相互獨立的，即其中任何一項在其他兩項等于零時均可不為零。其對應明確的物理意義，即只引起·n,n·×n,n·(×n)之一不為零的那些形變相應地稱為展曲(splay)、扭曲(twist)和彎曲(bend)。非形變狀態(tài)的穩(wěn)定性條件要求所有的三個系數(shù)K1,K2,K3都是正的，相應的稱為展曲、扭曲和彎曲系數(shù)。最后一項主要源于液晶區(qū)域邊界的貢獻。 當時，Oseen-Frank自由能密度可以簡化成一個常數(shù)近似的形式：

2 平衡態(tài)解

基于上述模型的介紹，本文主要研究簡化的近晶A相靜力學模型:

FdeG(Ψ,n)

(4)

假設近晶A相液晶材料區(qū)域為如下球形區(qū)域

Ω={(r,θ,φ):0

式中，R>0為球半徑。 為簡單起見,我們只考慮單位球區(qū)域

Ω={(r,θ,φ):0

設R>0為近晶A相系統(tǒng)的特征長度，若將式(1)帶入能量泛函式(4)，并引入無量綱化參數(shù)

則可導出無量綱化能量泛函：

ρ2+K|n|2]dx，

(5)

而相應的Euler-Lagrange方程為

-ξ2(Δρ-ρ|?-αn|2)+ρ=0,

(6)

(7)

-KΔn+αρ2(?-αn)=λ,

(8)

式中：λ是相應于單位長限制|n|=1 的Lagrange乘子。

如果考慮三維球形區(qū)域徑向?qū)ΨQ時，選擇如下序參數(shù)：

Ψ=Ψ(r)=ρ(r)ei?(r),

則能量泛函式(5)變?yōu)?/p>

(9)

相應的Euler-Lagrange方程(6)—(8)變?yōu)?/p>

-ξ2[(r2ρr)r-r2ρ(?r-α)2]+r2ρ=0,

(10)

[ρ2r2(?r-α)]r=0,

(11)

2K+αρ2(?r-α)=λ。

(12)

與文獻[8]中的方法完全類似，在Dirichlet邊界條件下，利用最大值原理，我們可以確定Euler-Lagrange方程(10)—(12)存在唯一解，而這樣的解正好對應著一個平衡態(tài)結(jié)構(gòu)。 在二維單位圓上，近晶A相的徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的特點是：缺陷中心位于單位圓心，而分子層是以缺陷中心為圓心的同心圓，分子排列方向平行于圓的半徑方向[8]。類似地，在三維單位球上，我們也可以得到這樣類似的缺陷結(jié)構(gòu)：缺陷中心位于單位球心，分子層是以缺陷中心為球心的同心球，分子排列方向平行于球的徑向方向。

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)主要使用標準的二階變分方法來討論近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。 對序參數(shù)ρ,? 和n作擾動：

ρε=ρ0+ερ1(r,θ,φ),

?ε=?0+ε?1(r,θ,φ),

(13)

使得

我們首先對式(13)中的第三式進行漸近展開，可得

于是，通過整理可得

nε=n0+ε[n1-(n0·n1)]+

O(ε3)。

為了便于分析，我們令

如果(ρ0,?0,n0)滿足Euler-Lagrange方程(10)—(12)，則有

F (ρε,?ε,nε)

=F(ρ0,?0,n0)+ε2B (ρ1,?1,n1)+O(ε3),

(14)

其中

B (ρ1,?1,n1)

4ξ2ρ0ρ1(?0-αn0)·(

(15)

而F(ρ0,?0,n0)就是近晶A相液晶處于平衡態(tài)時的能量。

接下來證明

δ2F(ρ,?,n)

=B (ρ1,?1,n1)≥0。

(16)

從式(15)中第二項和第三項看出

4ρ0ρ1(?0-αn0)·(

(17)

假設有坐標：

n1(r,θ,φ)

=U(r,θ,φ)ar+V(r,θ,φ)aθ+W(r,θ,φ)a?,

(18)

其中ar,aθ,a?是相應的標準正交基，

ar=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T,

aθ=(cosθcosφ,cosθ)T,

a?=(-sinφ,cosφ,0)T。

于是，可得

(19)

已知n0=ar，將式(18)和(19)帶入能量泛函式(17)后，則

由式(11)可以推出

其中C是與r無關(guān)的常數(shù)。又由式(12)知

于是可以推出

4 結(jié)語

缺陷結(jié)構(gòu)是液晶實驗中十分重要而且引人注目的圖案樣品。如何理解缺陷產(chǎn)生的機理以及它們的穩(wěn)定性，已經(jīng)成為液晶理論與實驗研究的中心課題。在三維球內(nèi)的區(qū)域限制下，本文針對描述近晶A相的de Gennes模型(本質(zhì)就是向量模型)，研究了其徑向?qū)ΨQ點缺陷結(jié)構(gòu)的性態(tài)，通過最大值原理確定了相應缺陷結(jié)構(gòu)的存在性，然后利用標準的二階變分方法證明了這樣的點缺陷結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。