王 慧 簡紹勇 李 娟 周文惠

（新余學(xué)院 江西新余 338000）

數(shù)學(xué)建模競賽等與樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的問題都需要進(jìn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)預(yù)處理，在此過程中，涉及的數(shù)據(jù)以及變量較多，因此增加了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜程度，在處理時(shí)希望把多變量轉(zhuǎn)換為較少的綜合變量，從而能夠反映出相應(yīng)的變量信息。而主成分分析、因子分析以及獨(dú)立成分分析方法可以處理多變量、大樣本的數(shù)據(jù)信息，同時(shí)能夠進(jìn)行降維處理，在數(shù)學(xué)建模競賽當(dāng)中得到了較為廣泛的應(yīng)用。因此，對這三種統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行研究具有實(shí)際的應(yīng)用意義。

一、三種統(tǒng)計(jì)分析方法簡介

（一）主成分分析

主成分分析法（PCA）就是指通過正交變換，把分量相關(guān)的多個(gè)變化轉(zhuǎn)化為分量不相關(guān)的綜合變量的過程。其中，被選擇出來的變量叫作主成分，可以對數(shù)據(jù)的各種指標(biāo)進(jìn)行解釋；而綜合變量不僅要能夠反映出原變量的信息，還要保證互不相關(guān)。主成分分析法是一種數(shù)學(xué)變換方法，在變換的過程中，變量的方差是不變的，還要以方差遞減的形式把變換后的綜合變量進(jìn)行排序。

（二）因子分析

因子分析法（FA）是主成分分析法的推廣，主要是把原始的變量通過一些公共的因子變量來表示，是一種研究把多個(gè)觀測變量轉(zhuǎn)變?yōu)樯贁?shù)的不相關(guān)的綜合變量的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。此種方法主要針對在大量觀測數(shù)據(jù)當(dāng)中得到一部分有價(jià)值的、難以直接測量的、相對獨(dú)立的因子。

（三）獨(dú)立成分分析

獨(dú)立成分分析法（ICA）是主成分分析法以及因子分析法的延伸，此種方法應(yīng)用效果較好，一旦其他的統(tǒng)計(jì)方法失效，那么依然可以找出支持觀測數(shù)據(jù)的內(nèi)在因子。獨(dú)立成分分析法就是在大量的觀測數(shù)據(jù)當(dāng)中恢復(fù)、分離獨(dú)立的數(shù)據(jù)信息。

主成分分析、因子分析以及獨(dú)立成分分析方法都可以處理多變量、大樣本的數(shù)據(jù)信息，同時(shí)能夠進(jìn)行降維處理，在數(shù)學(xué)建模競賽當(dāng)中得到了較為廣泛的應(yīng)用。

二、三種統(tǒng)計(jì)分析方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

(一)主成分分析法的應(yīng)用

在某年數(shù)學(xué)建模夏令營當(dāng)中有如下問題：對水資源風(fēng)險(xiǎn)的主要因子進(jìn)行識別，對風(fēng)險(xiǎn)帶來的危害進(jìn)行等級劃分，對不同風(fēng)險(xiǎn)的因子進(jìn)行控制以便維護(hù)社會的和諧與穩(wěn)定。根據(jù)水資源的相關(guān)信息，求得影響水資源短缺的主要風(fēng)險(xiǎn)因子，其影響因素包括工業(yè)用水、農(nóng)業(yè)用水、氣候條件、人口規(guī)模等等，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，利用降維的方式，通過主成分分析法進(jìn)行研究分析。

首先，將影響因素的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，建立數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化模型。然后對數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分的計(jì)算，再根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率求得主成分因素。根據(jù)主成分當(dāng)中各因子的數(shù)據(jù)，判斷出影響水資源的主要因素。

（二）因子分析法的應(yīng)用

在某年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽當(dāng)中有如下的問題：根據(jù)數(shù)據(jù)分析重金屬污染的主要原因，究其根本就是求得產(chǎn)生重金屬污染的因子，從而研究其原因，所以在這一問題當(dāng)中可以用因子分析法。

以生活區(qū)域?yàn)槭纠?，分析過程為：首先，求得生活區(qū)重金屬之間的相關(guān)系數(shù)矩陣I，根據(jù)此矩陣并且利用SPASS 軟件將因子的特征值以及累積貢獻(xiàn)率求出。根據(jù)分析可知當(dāng)因子為6時(shí)的累積貢獻(xiàn)率為91%左右，因此可以選6 個(gè)成分因子來分析產(chǎn)生社區(qū)污染的因素。其次，再對旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣進(jìn)行計(jì)算，從而判斷因子對重金屬的影響。

根據(jù)最終結(jié)果，可以判斷出6 個(gè)因子所對應(yīng)的變量有哪些，同時(shí)說明造成生活區(qū)污染的主要原因。

（三）獨(dú)立成分分析法的應(yīng)用

在某年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽當(dāng)中有如下的問題：按照已知數(shù)據(jù)，如何根據(jù)基因和腫瘤的關(guān)系來選擇出優(yōu)秀的分類因素。我們可以把基因組作為區(qū)別正常人和腫瘤患者之間的分類因素，利用獨(dú)立成分分析法基于數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找出獨(dú)立的基因組。

假定基因數(shù)據(jù)矩陣為1 900 個(gè)，均為相互獨(dú)立的基因組信號，分析過程為：首先，將基因數(shù)據(jù)矩陣A 進(jìn)行中心化處理和白化處理過程。然后隨機(jī)生成可逆的歸一化初始矩陣B，并且對初始矩陣進(jìn)行迭代運(yùn)算。其次，當(dāng)?shù)瓿芍?，可以求得相互?dú)立的基因組矩陣：X=AB。對基因數(shù)據(jù)矩陣以及求得的相互獨(dú)立的基因組矩陣進(jìn)行分析，從而找出獨(dú)立的基因組[1-4]。

三、結(jié)束語

本文通過對三種統(tǒng)計(jì)分析方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用探析，使我們了解到了，多元統(tǒng)計(jì)分析方法在數(shù)據(jù)處理過程中得到了較為廣泛的應(yīng)用，而主成分分析、因子分析以及獨(dú)立成分分析方法作為其基本的數(shù)據(jù)處理方法，在數(shù)學(xué)建模當(dāng)中具有重要的應(yīng)用。對于大量的數(shù)據(jù)而言，首先就是要進(jìn)行降維、去相關(guān)等數(shù)據(jù)預(yù)處理過程，所以一定會用到三種統(tǒng)計(jì)分析方法當(dāng)中的一種或者幾種，因此，在具體的應(yīng)過程中，要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的分析方法，保證數(shù)據(jù)處理的正確性。