范曉鳳 劉學(xué)松 劉煥亮

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要工具，一些與量有關(guān)的化學(xué)問(wèn)題的解決用數(shù)學(xué)工具能起到披荊斬棘的作用。數(shù)軸是代數(shù)中最基本、最重要的概念，它是指規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線(xiàn)。在數(shù)軸上，每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)特定的數(shù)。數(shù)軸法是一種表示方法將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題變得直觀。在高中化學(xué)教學(xué)中，可以利用數(shù)軸法提高記憶的精準(zhǔn)性、輔助問(wèn)題分析、進(jìn)行判斷，簡(jiǎn)化復(fù)雜計(jì)算、使知識(shí)系統(tǒng)化?，F(xiàn)在，筆者以具體的例子說(shuō)明數(shù)軸法的應(yīng)用。

一、利用數(shù)軸將記憶精準(zhǔn)化

知識(shí)是能力的載體，任何一門(mén)學(xué)科都有需要記憶的知識(shí)，可以將一些涉及到數(shù)字的知識(shí)用數(shù)軸來(lái)輔助記憶。用數(shù)軸可以輔助一些與數(shù)字有關(guān)的記憶，添加適當(dāng)?shù)臉?biāo)注，更具有直觀性，可讓記憶更加精準(zhǔn)。分類(lèi)記憶建模：將數(shù)軸的含義定義好，用n個(gè)點(diǎn)(A、B、C……)將數(shù)軸劃分為n+1 個(gè)區(qū)間，不同區(qū)間里性質(zhì)有區(qū)別。

圖1 數(shù)軸法分類(lèi)記憶建模

通過(guò)數(shù)軸，使各部分變得直觀且有序，具體應(yīng)用舉例如下：

表1 數(shù)軸法分類(lèi)記憶的應(yīng)用

二、利用數(shù)軸法輔助分析和判斷

在分析化學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，常常會(huì)涉及到濃度、價(jià)態(tài)、顏色、pH、含量等各種物理量的變化情況。有些學(xué)生不擅長(zhǎng)過(guò)程分析，死記硬背，不能遷移。利用數(shù)軸可以展示隨著某種量的變化導(dǎo)致其他量的漸變過(guò)程，將變化過(guò)程動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，有利于分析問(wèn)題和作出判斷?，F(xiàn)舉兩個(gè)具體應(yīng)用如下。

1.用于滴定過(guò)程中離子濃度大小的分析和判斷。酸堿中和滴定過(guò)程中離子濃度大小比較是《水溶液中的離子平衡》的難點(diǎn)，可以通過(guò)數(shù)軸法幫學(xué)生厘清溶液中各粒子濃度變化的情況。

例如，25℃時(shí)，向0.1mol·L-1NH3·H2O 溶液中逐滴加入0.1mol·L-1HCl 溶液時(shí)，分析隨著鹽酸的滴入，溶液中的離子濃度的變化情況。首先在數(shù)軸上把幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(起點(diǎn)、溶液呈中性的點(diǎn)、恰好中和點(diǎn))對(duì)應(yīng)的溶質(zhì)和pH 標(biāo)出來(lái)。

(1)起始點(diǎn)：0.1mol·L-1NH3·H2O 溶液，溶液呈堿性，故；(2)中性點(diǎn)：溶質(zhì)為NH3·H2O 和NH4Cl 混合溶液，存在；(3)恰好中和點(diǎn)：溶質(zhì)為NH4Cl，離子濃度大小關(guān)系為：。

圖2 0.1mol·L-1 NH3·H2O 溶液中逐滴滴加鹽酸時(shí)pH 和溶質(zhì)變化圖

在滴加鹽酸的過(guò)程，OH-被H+中和，c(OH-)濃度下降，c(Cl-)增大，被沖稀，逐漸變小，各離子濃度大小依次出現(xiàn)如下情況：(滴加鹽酸前)；c(OH-)＞c(Cl-)＞c(H+) (滴加少量鹽酸時(shí))；c(Cl-)＞c(H+)(鹽酸的量漸多的某一時(shí)刻) ；c(OH-)＞c(H+)(繼續(xù)滴加鹽酸)；(溶液呈中性時(shí))；(恰好中和時(shí))。滴定完成后，如果繼續(xù)滴加鹽酸，溶液中的離子濃度還將出現(xiàn)如下情況：(鹽酸稍微過(guò)量的某一時(shí)刻)；(鹽酸過(guò)量較多)

通過(guò)數(shù)軸，將對(duì)應(yīng)的離子濃度變化動(dòng)態(tài)地展示出來(lái)，使學(xué)生能理解各個(gè)階段離子濃度大小關(guān)系，不用死記硬背，不易造成混亂。同理，也可以讓學(xué)生嘗試分析25℃時(shí)往0.1mol·L-1CH3COOH 溶液中逐滴滴加1mol·L-1NaOH 溶液時(shí)，隨著pH 的上升，溶液中各離子濃度大小的變化關(guān)系。

2.用于金屬離子除雜分析和判斷。工業(yè)流程題中，常利用調(diào)pH 的方法去除雜質(zhì)離子。題中給出的數(shù)據(jù)往往比較多，分析問(wèn)題的時(shí)候，可以用數(shù)軸法讓數(shù)據(jù)和過(guò)程變化更直觀，各種離子隨著pH 的升高逐漸沉淀的動(dòng)態(tài)過(guò)程也一目了然。

例如：(2018 全國(guó)Ⅱ卷26 題，節(jié)選)我國(guó)是世界上最早制得和使用金屬鋅的國(guó)家，一種以閃鋅礦(ZnS，含有SiO2和少量FeS、CdS、PbS 雜質(zhì))為原料制備金屬鋅的流程如圖所示：

圖3 用閃鋅礦制備金屬鋅的流程

相關(guān)金屬離子[c0(Mn+)=0.1 mol·L-1]形成氫氧化物沉淀的pH范圍如下：

表2 相關(guān)金屬離子形成沉淀的pH 范圍

(2)濾渣1 的主要成分除SiO2外還有_____；氧化除雜工序中ZnO 的作用是_____，若不通入氧氣，其后果是______。

分析問(wèn)題的時(shí)候，在草稿上畫(huà)分析草圖，可以一目了然。

圖4 用數(shù)軸法圖示相關(guān)離子沉淀的pH 范圍

從數(shù)軸上看，Zn2+沉淀的pH 與Fe2+沉淀的pH 幾乎一致，所以，必須先用氧化劑(如：O2、H2O2等)將Fe2+氧化成Fe3+，再用ZnO 調(diào)pH 除去Fe3+，氧氣的作用是作氧化劑。而Cd2+完全沉淀的pH 高于Zn2+的，故用鋅粉還原Cd2+將它除去。

此外，還有其他方面的應(yīng)用列舉如下：

表3 數(shù)軸法用于分析和判斷的實(shí)例

三、利用數(shù)軸將計(jì)算簡(jiǎn)單化

數(shù)形結(jié)合思想要求學(xué)生靈活地將化學(xué)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，或者將隱含的信息變?yōu)閿?shù)序的邊界條件，以解決化學(xué)問(wèn)題?；瘜W(xué)反應(yīng)常常是在一個(gè)混合體系中進(jìn)行，不同的物質(zhì)之間反應(yīng)過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，但最終產(chǎn)物可以用數(shù)軸法進(jìn)行粗略判斷。利用數(shù)軸可以將不同反應(yīng)物用量時(shí)的產(chǎn)物清晰呈現(xiàn)，問(wèn)題解決更加簡(jiǎn)單化。相應(yīng)的解題步驟如下：

圖5 與量有關(guān)反應(yīng)的數(shù)形結(jié)合解題步驟

找反應(yīng)：指找出可能發(fā)生的主要反應(yīng)。定順序：雖然在客觀條件下具體反應(yīng)過(guò)程中不能完全按照設(shè)想的一種物質(zhì)消耗完了再與下一種物質(zhì)反應(yīng)(如碰撞是隨機(jī)的、局部濃度較大，先產(chǎn)生的物質(zhì)會(huì)進(jìn)一步反應(yīng)等)，但是從最終結(jié)果看，可以作簡(jiǎn)單的近似處理。定臨界點(diǎn)：指根據(jù)方程式中的反應(yīng)物物質(zhì)的量的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定數(shù)軸中某些關(guān)鍵點(diǎn)。判斷或計(jì)算：指根據(jù)數(shù)值關(guān)系判斷產(chǎn)物或計(jì)算產(chǎn)物的組成等。

1.用于判斷與量有關(guān)的反應(yīng)的產(chǎn)物

例如：在Al3+中滴加一定量的OH-的產(chǎn)物判斷：

圖6 Al3+與OH-反應(yīng)產(chǎn)物判斷

類(lèi)似的問(wèn)題如CO2與堿的反應(yīng)、H2S 在O2中燃燒產(chǎn)物的判斷和計(jì)算等也適用。

2.用于判斷混合體系反應(yīng)的產(chǎn)物

例如：將鐵粉逐漸加入到含有amol Fe3+和bmol Cu2+離子的溶液中，隨著鐵粉的加入，各階段的產(chǎn)物可以大致計(jì)算。

圖7 鐵與Fe3+與Cu2+混合溶液反應(yīng)產(chǎn)物

四、利用數(shù)軸將知識(shí)系統(tǒng)化

梳理知識(shí)有多種方法，常用的有：思維導(dǎo)圖法、圖表法、對(duì)比法等。所用方法不一樣，效果也不同。如果沒(méi)有找到知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，則無(wú)法形成系統(tǒng)思維。數(shù)軸法可以比較高效地將知識(shí)的核心問(wèn)題展現(xiàn)出來(lái)，看到不同區(qū)間物質(zhì)性質(zhì)變化的遞變性。例如膠體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，教師和教輔資料常用列表對(duì)比的方法梳理膠體的性質(zhì)，容易造成知識(shí)碎片化。

表4 三種分散系對(duì)比

現(xiàn)用數(shù)軸法梳理膠體的性質(zhì)如下：

圖8 用數(shù)軸法建立膠體知識(shí)系統(tǒng)

顯然，用數(shù)軸法梳理了的膠體的內(nèi)容有內(nèi)在的邏輯關(guān)系，更有利于學(xué)生掌握膠體的性質(zhì)。比思維導(dǎo)圖(概念關(guān)系圖)更加聚焦，不會(huì)太發(fā)散。只有讓學(xué)生了解了“問(wèn)題是怎樣產(chǎn)生的？”“為什么要學(xué)這個(gè)知識(shí)？”“怎么學(xué)才真正理解學(xué)習(xí)對(duì)象？”“學(xué)了有什么用？”等一系列問(wèn)題，才不會(huì)使學(xué)生割裂看待問(wèn)題、死記硬背靜態(tài)的知識(shí)，才能讓學(xué)生系統(tǒng)地看待問(wèn)題，形成聯(lián)系的觀念、能進(jìn)行準(zhǔn)確的遷移。

五、利用數(shù)軸將化學(xué)史有序化

著名化學(xué)家傅鷹說(shuō)：“一種學(xué)科的歷史，是那門(mén)科學(xué)最寶貴的一部分?？茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻給我們智慧?！盵2]利用化學(xué)史進(jìn)行教學(xué)是很多化學(xué)教師常采用的方法，可以幫助學(xué)生了解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，理解學(xué)科思維和培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。如何將紛紜復(fù)雜的化學(xué)事實(shí)和科學(xué)發(fā)展的坎坷與驚奇展示給學(xué)生需要一些工具。在數(shù)軸上標(biāo)上時(shí)間，數(shù)軸就成了時(shí)間軸。利用時(shí)間軸，可將重要的化學(xué)理論的建立和發(fā)展進(jìn)行梳理和有序展示。如：

圖8 原子結(jié)構(gòu)模型理論發(fā)展時(shí)間軸

同理，電解質(zhì)概念的建立、電池的發(fā)展史、苯的結(jié)構(gòu)的確立等充滿(mǎn)了傳奇的化學(xué)史，都可以用時(shí)間軸幫助學(xué)生理解。

綜上所述，數(shù)軸法是學(xué)習(xí)化學(xué)的一種有效方法，是數(shù)形結(jié)合的一種形式。數(shù)形結(jié)合有利于開(kāi)拓思維、提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)解題的靈活性。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形相助雙翼飛?！盵3]高中階段教師采用數(shù)軸法進(jìn)行教學(xué)，可以使分析更直觀、講解更有序、計(jì)算更簡(jiǎn)單、知識(shí)更系統(tǒng)、教學(xué)更高效。