賈寶華，王丹丹，李 革，顧永強

(內蒙古科技大學，內蒙古 包頭 014010)

0 引 言

TC18鈦合金具有淬透性、鍛透性、塑性好的特點，近些年作為承力件被廣泛應用于航空航天等高科技領域。在實際使用中，承力件不可避免的要承受沖擊載荷作用[1]，因此對TC18鈦合金進行動態(tài)力學性能方面的研究十分必要。由于TC18鈦合金在準靜態(tài)下的強度非常高，再加上材料的應變速率效應，進行動態(tài)力學性能試驗比較困難，可優(yōu)先考慮采用數值模擬方法進行研究。數值模擬結果的精確性主要取決于合金本構方程的精確性。當采用ABAQUS軟件進行沖擊載荷下的動態(tài)力學性能模擬時，僅可使用經典的J-C模型。該模型適用于描述大多數金屬材料的動態(tài)力學性能，具有良好的通用性。在常溫下，J-C模型的應變速率強化項采用了較為簡單的對數關系,即認為流動應力與應變速率的對數呈線性關系[2]。高應變速率會使塑性變形階段的本構關系表達式產生較大誤差。另外在整個動態(tài)力學響應過程中，不同材料會呈現出不同的微觀結構變化，統(tǒng)一采用經典的J-C模型時，其精確性較差。

根據以往研究，大多數金屬材料屬于應變速率敏感材料，在高應變速率和準靜態(tài)下的力學性能截然不同[3-4]。近年來，國內很多學者針對金屬材料的動態(tài)力學性能進行了試驗研究[5-6]。Ran等[7]采用分離式Hopkinson壓桿技術，對Ti-55511合金在350～2 900 s-1等應變速率下進行了室溫動態(tài)壓縮試驗，結果表明:Ti-55511合金的應變速率硬化效應和應變速率敏感性顯著，在高應變速率加載條件下形成脆性剪切帶。秦建峰等[8]采用分離式霍普金森壓桿對TC4鈦合金熱氧化后的沖擊性能進行了研究。結果表明，熱氧化使得 TC4鈦合金具有較好的靜態(tài)力學性能和較高的應變速率強化效應；用修正后的J-C模型對其進行實驗數據擬合，能更好地表征其力學性能。張長清等[9]采用分離式霍普金森壓桿對TC4-DT鈦合金進行動態(tài)壓縮試驗,得到真實應力-應變曲線，使用改進的J-C本構模型擬合實驗數據,得到該材料室溫下的動態(tài)塑性本構方程,對比模擬結果和實驗數據，證明該本構模型可以更精確可靠地預測TC4-DT鈦合金高應變速率下的塑性流變應力。陳小翠等[10]為了更高精度地模擬高應變速率下金屬材料的局部變形特征，在混合有限元的基礎上，基于有限元分析程序重新編寫了新單元，計算精度明顯提高。

綜上所述，對金屬材料的沖擊性能研究十分必要。由于試驗研究難度大，耗資多,載荷作用時間極短，對儀器精度和采集速度要求很高，尤其對于TC18鈦合金這類高強度材料，試驗研究難度更大。有限元分析(finite element analysis, FEA)利用數學近似的方法對真實物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進行模擬，操作簡單，可以方便地實現更高應變速率下的動態(tài)力學性能研究。

為了更精確地實現高強度金屬材料更高應變速率下的數值模擬，以TC18鈦合金試驗數據為基礎，在J-C模型的基礎上做了調整，利用ABAQUS軟件的子程序接口自定義了材料本構子程序UMAT，以代碼的形式來擴展ABAQUS程序的功能。通過與ABAQUS/Standard軟件分析結果以及實驗結果的對比，驗證自定義材料本構子程序UMAT計算結果的精確性與可靠性。

1 UMAT用戶材料子程序

1.1 實驗

在常溫狀態(tài)下，采用分離式霍普金森壓桿(SHPB)裝置對TC18鈦合金試件進行高應變速率(500、1 000、1 500 s-1)下動態(tài)壓縮實驗。試件為φ6 mm×6 mm的圓柱體。在入射桿和透射桿上貼有應變片，對實驗數據進行采集和存儲。

1.2 沖擊載荷下TC18鈦合金本構方程

用J-C模型模擬TC18鈦合金受沖擊載荷的應力σ，如式(1)所示。

(1)

(2)

為了提高擬合精度，也為給其他材料的沖擊模擬提供更為合理的本構方程，對經典的J-C本構方程加以調整，使得應變速率和應變耦合效應更加精確，具體如式(3)。

(3)

式中:D、E、F為常數，可由實驗數據擬合得出。

基于調整后的J-C本構方程(式3)，對TC18鈦合金在常溫沖擊載荷下的實驗數據進行精細擬合。其應力-應變關系描述如式(4)。

σ=(1 060-6 882.3ε2+3 094.3ε-1.652)×

(4)

1.3 應力更新算法

將修正的J-C方程應用于應力更新算法，基于Von-Mises屈服面，采用J2流動法則，使塑性流動沿著屈服面的法線方向進行。為了避免顯示積分算法的誤差累積以及不穩(wěn)定性，采用完全隱式的積分算法。

首先給定一個彈性預測步，在彈性預測階段，塑性應變保持不變。之后塑性調整步返回至更新屈服面上，總體應變和塑性流動方向在塑性修正階段保持不變。

(5)

(6)

(7)

式中:G為剪切模量。用牛頓迭代法調整參數，至屈服函數無盡趨近于0，即滿足屈服準則時迭代過程終止。

(8)

(9)

這樣，塑性應變、內變量和塑性參數更新為方程組(10)。

(10)

Δλn+1=Δλn+δλn

1.4 材料雅克比矩陣

在完全隱式的積分算法中，會用到材料雅克比矩陣來求解平衡方程，用DDSDDE矩陣來表示。

λ*和μ為拉梅常數，可以用彈性模量E和泊松比υ來表示它們。

(11)

(12)

1.5 UMAT子程序流程

基于上述的應力更新算法和一致切線剛度矩陣，ABAQUS軟件主程序在增量步開始時在積分點上調用UMAT子程序，UMAT子程序流程圖如圖1所示。

圖1 UMAT子程序計算流程圖Fig.1 Computational flow diagram of UMAT subroutine

2 模型的建立

2.1 有限元模型的建立

壓縮試件模型為φ6 mm×6 mm的圓柱體。入射桿和透射桿均簡化為φ25 mm×1 000 mm的圓柱體。模型的幾何尺寸、載荷及其約束均關于中心軸線對稱，故選用二維軸對稱單元。對稱軸設置為對稱性邊界條件；壓桿和試件之間的接觸設置為光滑無摩擦的硬接觸；透射桿末端設置固定約束；在壓桿接觸試件的桿端做了網格加密。圖2為TC18鈦合金試件受沖擊時的二維有限元模型圖。

圖2 TC18鈦合金試件受沖擊時的二維有限元模型Fig.2 Two-dimensional finite element model diagram of TC18 titanium alloy specimen under impact loads

2.2 材料參數

模擬過程中的模型信息如表1所示。入射桿和透射桿的材料參數如表2所示。在使用經典的J-C本構方程計算時，TC18鈦合金試件的材料參數如表3所示。在使用UMAT子程序計算時，UMAT子程序中一共設有10個材料常數組成PROPS數組，物理含義如表4所示。并申請一個13維的存儲狀態(tài)變量矩陣，其中1～6為彈性應變，7～12為塑性應變，13為塑性應變速率。

表1模型信息

Table 1 Model information

表2入射桿和透射桿的材料參數

Table 2 Material parameters of incident and transmission bar

表3TC18鈦合金試件的材料參數

Table 3 Material parameters of TC18 titanium alloy specimen

表4UMAT子程序的材料參數

Table 4 Material parameters of UMAT subroutine

2.3 施加載荷

為了簡化模型，模擬過程中用入射桿端部施加沖擊載荷速度來代替撞擊桿的應力脈沖作用。沖擊載荷速度與應變速率的關系如下:

(13)

式中:L為試件長度；V1(t)、V2(t)分別為試件入力端和出力端的速度。模擬過程中，在應變速率為500、1 000、1 500 s-1時，沖擊速度分別為4 500、5 750、7 000 mm/s。

3 結果與分析

使用ABAQUS軟件模擬了應變速率為500、1 000、1 500 s-1時TC18鈦合金的受力情況。對比分析了在相同邊界條件及相同載荷條件下，UMAT子程序的計算結果、ABAQUS軟件自帶本構模型計算結果和實驗數據。

3.1 應變速率分析

為了驗證ABAQUS/Standard軟件結合UMAT子程序計算的正確性，輸出應變和時間的數據，擬合求導得到應變速率進行驗證，如圖3所示。由圖3可以看出，在沖擊速度為4 500、5 750、7 000 mm/s時，應變速率均十分接近500、1 000、1 500 s-1。由此驗證UMAT子程序和模型的正確性。

3.2 應力-應變曲線分析

為了進一步驗證UMAT子程序的精確性，將 ABAQUS/Standard軟件結合 UMAT子程序進行應變速率分別為500、1 000、1 500 s-1的有限元模擬。在相同模型、接觸條件及載荷下，使用ABAQUS軟件自帶本構模型進行模擬計算。圖4為TC18鈦合金試件在應變速率500、1 000、1 500 s-1下的UMAT計算數據和ABAQUS自帶本構模型計算數據和實驗數據的對比圖。從圖4可以看出， UMAT子程序計算的應力-應變分布曲線更接近實驗數據。

圖3 UMAT子程序擬合的不同沖擊速度下應變速率曲線Fig.3 Strain rate curves fitted by UMAT subroutine under different impact velocities: (a)4 500 mm/s; (b)5 750 mm/s; (c)7 000 mm/s

圖4 不同方法得到的不同應變速率下應力-應變數據對比圖Fig.4 Comparison of stress-strain data obtained by different methods under different strain rates: (a)500 s-1; (b)1 000 s-1; (c)1 500 s-1

圖4比較直觀地表明了UMAT子程序的計算結果相比ABAQUS軟件更精確。為了定量地證明上述結論，引入統(tǒng)計分析參數平均相對誤差絕對值AARE來表征，其數學表達式如下。

(14)

式中:N為流變應力數據點的個數；Ei表示流變應力的實驗值；Pi表示流變應力值的模擬值。分別將由2個本構模型計算的流變應力值代入式(14)，得到各自的平均相對誤差絕對值，如表5所示。由表5可看出，在應變速率為500、1 000、1 500 s-1下，由UMAT子程序模擬的平均相對誤差絕對值均低于ABAQUS軟件自帶本構模型進行模擬的平均相對誤差絕對值。

表5UMAT子程序和ABAQUS軟件在不同應變速率下的平均相對誤差絕對值(%)

Table 5 Average absolute value of relative error under different strain rates obtained by UMAT subroutine and ABAQUS software

綜上，從定性和定量2方面均表明本研究開發(fā)的UMAT子程序相比ABAQUS軟件自帶模型具有更高的模擬計算精度，能夠更準確地反應TC18鈦合金在沖擊載荷下的力學性能，從而為TC18鈦合金的力學性能仿真計算奠定基礎。

3.3 嵌入UMAT后應力云圖分析

基于以上對模型和子程序的驗證，嵌入UMAT子程序計算結束時，提取不同應變速率下TC18鈦合金的應力云圖。圖5分別取自應變速率500、1 000、1 500 s-1下計算結束時刻的應力分布云圖。由圖5可見，TC18鈦合金試件的應力云圖呈現均勻的紅色，說明應力分布均勻，Mises應力分布相差不超過1 MPa，該精度十分可靠[11]。另外，隨著應變速率的增大，應力最大值隨之增加，應變速率為1 500 s-1時最大應力達到1 615 MPa。

4 結 論

(1)經過對J-C模型的修正，利用ABAQUS軟件重新定義材料子程序UMAT。修正后的J-C本構模型嵌入UMAT子程序后，計算結果相比常規(guī)的ABAQUS模擬結果更精確。

圖5 TC18鈦合金在不同應變速率下的應力云圖Fig.5 Stress contours of TC18 titanium alloy under different strain rates: (a)500 s-1； (b)1 000 s-1； (c)1 500 s-1

(2)通過對TC18鈦合金在不同應變速率下的應力云圖進行分析，表明試件上的應力分布均勻，符合理論預期，并且應力最大值隨著應變速率的增加而增大。

在實際工作中，TC18鈦合金構件除了承受高應變速率沖擊載荷，還可能同時承受高溫載荷的作用。今后將進一步考慮對高溫及高應變速率共同作用下的TC18鈦合金動態(tài)力學性能進行模擬程序的二次開發(fā)。