■江蘇省宿豫中學(xué) 陸敬渠

縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試題，涉及復(fù)數(shù)的內(nèi)容年年都有，主要以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義。考查的方向有兩個(gè)：一是復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，如復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、共軛復(fù)數(shù)等概念，以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算；二是復(fù)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，如復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，復(fù)數(shù)與方程的綜合問(wèn)題等。分值在5 分左右，屬于中低檔題。但是許多學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)，由于不注重方法，往往事倍功半，其實(shí)稍作研究可知，絕大部分試題均可以利用課本中例題、習(xí)題、引申題的結(jié)論快速求解。

一、考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

【母題來(lái)源一】(人教A 版選修2-2 第104頁(yè)練習(xí)題1)說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：

解析因?yàn)樵搹?fù)數(shù)的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則故選A。

【創(chuàng)新應(yīng)用2】已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z 的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是( )。

解析：由題意可得z=a+i，則|z|=|a

評(píng)注：解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)：(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b。(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。

二、考查復(fù)數(shù)的幾何意義

【母題來(lái)源二】(人教A 版選修2-2 第106頁(yè)習(xí)題A 組第5題(節(jié)選))實(shí)數(shù)m 取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的點(diǎn)位于第四象限?

這里的每一道菜，都是美食與京城文化的結(jié)合，從各路民間小吃到宮廷小吃；從傳統(tǒng)小吃到京派改良的各式家常特色，應(yīng)有盡有。除了吃進(jìn)嘴里的美味，還有吃進(jìn)腦海的飲食文化，從京八件、京城四大抓，到京味兒壓桌四涼菜，真是一邊飽胃口一邊漲知識(shí)呀！

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：復(fù)數(shù)1+2i，其共軛復(fù)數(shù)為1-2i，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，-2)，位于第四象限。故選D。

【創(chuàng)新應(yīng)用4】已知z=m2-1+mi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是( )。

A.(-1，1) B.(-1，0)

C.(-∞，1) D.(0，1)

解析：因?yàn)閦=m2-1+mi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(m2-1，m)，且該點(diǎn)在第二象限，所以解得0＜m＜1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1)。故選D。

評(píng)注：復(fù)數(shù)幾何意義問(wèn)題的解題策略：(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z 及向量相互聯(lián)系，即(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀。

三、考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【母題來(lái)源三】(人教A 版選修2-2 第116頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B 組第1 題)把復(fù)數(shù)z 的共軛復(fù)數(shù)記作

A.i B.-1+i

C.-1-i D.-i

解析：由已知可得=-1+i，則z=-1-i。故選C。

評(píng)注：復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略：在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可；復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可；除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式。

四、考查常見(jiàn)結(jié)論的應(yīng)用

【母題來(lái)源四】(人教A 版選修2-2 第116頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B 組第2 題)(1)試求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；

(2)由(1)推測(cè)in(n∈N*)的值有什么規(guī)律? 并把這個(gè)規(guī)律用式子表示出來(lái)。

A.1 B.-1 C.i D.-i

解析：由-i，知z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=-i，故選D。

【創(chuàng)新應(yīng)用7】已知復(fù)數(shù)z 的模為2，則|z-i|的最大值為( )。

解析：因?yàn)閨z-i|≤|z|+|i|=3，即|z-i|的最大值3。故選D。

評(píng)注：一些常見(jiàn)的結(jié)論：(1)(1±i)2==i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*)；(3)i4n+(5)z 為純虛數(shù)為純虛數(shù)。

五、復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的綜合考查

【母題來(lái)源五】(人教A 版選修2-2 第116頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B 組第3 題)已知復(fù)數(shù)z1=m+(4-m2)i(m ∈R)，z2=2cos θ+(λ+3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1=z2，求λ 的取值范圍。

解析：因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以且，所以α 為第二象限角，則cos α故答案為

事實(shí)上，對(duì)復(fù)數(shù)的考查都是圍繞著這五類問(wèn)題展開的。正所謂萬(wàn)變不離其宗，若是抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，不論在高考的考場(chǎng)里遇到的是多么創(chuàng)新的題目，經(jīng)過(guò)分析之后，定能在書本的例題或者練習(xí)題中找到原型，所以重視書本，回歸書本，才能有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才能蓋起經(jīng)得起考驗(yàn)的高樓大廈。人們常說(shuō)：撥開云霧見(jiàn)月明! 在學(xué)習(xí)的道路上，總是會(huì)碰見(jiàn)坎坷，但是只要掌握方法，抬頭便是明月!