李祖雄

[摘? ? ? ? ? ?要]? 恰當(dāng)方程求解是常微分方程的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)， 而在常微分教材中往往只介紹積分求解法和分項(xiàng)組合法，這兩種方法有時(shí)候不容易解出方程的通解，在這里介紹應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性求原函數(shù)的方法來(lái)求解恰當(dāng)方程的通解， 方法簡(jiǎn)便， 學(xué)生容易掌握.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 恰當(dāng)方程;曲線積分;路徑無(wú)關(guān);通解

[中圖分類(lèi)號(hào)]? O151? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）10-0192-02

一、基本概念

定1[1]：方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0中左端正好為某函數(shù)u（x，y）的全微分，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y），則方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰當(dāng)方程.由此可得方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的通解是u（x，y）=c，其中c是任意常數(shù).

定2[2]：如果D？奐R2為單連通閉區(qū)域，又函數(shù)M（x，y）和N（x，y）在閉區(qū)域D內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，并且其一階偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)，就有下列四個(gè)等價(jià)條件：

（1）曲線積分∮LM（x，y）dx+N（x，y）dy=0，這里曲線L是沿D內(nèi)的任意分段光滑的閉曲線.

（2）曲線積分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy與路徑無(wú)關(guān)，只和曲線L的起點(diǎn)與終點(diǎn)相關(guān)，其中封閉曲線L是D內(nèi)的任意分段光滑的曲線.

（3）在D內(nèi)有du（x，y）=M（x，y）dx+N（x，y）dy，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy是D內(nèi)某個(gè)函數(shù)的全微分.

（4）對(duì)于D內(nèi)任意一點(diǎn)處都

二、積分求解法和分項(xiàng)組合法

由常微分方程教材可知方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰當(dāng)方程的充要條件為：

積分求解法的一般步驟為：（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當(dāng)方程，若是則進(jìn)入下一步;（2）求u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）;（3）由x，y）求出φ（y）;（4）寫(xiě)出通解u（x，y）=∫M（x，y）dx+？覫（y）=c.

分項(xiàng)組合法基本步驟為：（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當(dāng)方程，若是則進(jìn)入下一步;（2）分出已構(gòu)成全微分的那些項(xiàng);（3）將剩下的項(xiàng)通過(guò)拆項(xiàng)、增減項(xiàng)湊出全微分;（4）求得全微分，寫(xiě)出通解u（x，y）=c.此方法還需要熟記一些常用的簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.

三、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性方法解恰當(dāng)方程

由，同樣可得曲線積分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy與路徑無(wú)關(guān)，所以可獲得微分M（x，y）dx+N（x，y）dy的（一個(gè)）原函數(shù)為：

u（x，y））dx，（沿（x0，y0）→（x0，y）→（x，y）方向）.

由此我們可得恰當(dāng)方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的解為u（x，y）=c.

通常我在授常微分方程課時(shí)會(huì)將此法介紹給學(xué)生.綜上可知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性求解恰當(dāng)方程的方法的基本步驟是：

（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當(dāng)方程;

（2）若是則有u（x，y）=（x，y）dx;

（3）寫(xiě)出通解u（x，y）=c.

四、例題

我們給出一道例題，用三種方法求解微分方程.下面這道例題由華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系《數(shù)學(xué)分析》[3]中的習(xí)題改編.

例 求解方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0.

這里的M（x，y）=ex[ey（x-y+2）+y]，N（x，y）=ex[ey（x-y）+1]，，

所以方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0為恰當(dāng)方程.

解法1：積分求解法

u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）

=∫ex[ey（x-y+2）+y]dx+φ（y）

=ex[ey（x-y+1）+y]+φ（y）

由此可是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法2：分項(xiàng)組合法

原方程可變?yōu)閑x+y（x-y）（dx+dy）+2ex+ydx+yexdx+exdy=0，

通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)可得（x-y）d（ex+y）+ex+ydx-ex+ydy+ex+y（dx+dy）+d（yex）=0，

也就是（x-y）d（ex+y）+ex+yd（x-y）+ex+yd（x-y）+d（yex）=0，

由此可得d[（x-y+1）ex+y+yex]=0，

可得通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法3：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)求解法

取x0=0，y0=0，可有

=ex[ey（x-y+1）+y]-1，

由此可知通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

由上面三種解法能夠看出：解法1中被積函數(shù)明顯要比解法3的被積函數(shù)復(fù)雜，還得求解，步驟較繁雜，計(jì)算難度大于解法3;解法2的難度在于不好湊微分，這道例題還需要通過(guò)添項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)等技巧才能得到全微分，難度顯然比解法3的難度大.所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān)求解恰當(dāng)方程法是一種易掌握且計(jì)算容易的方法，值得學(xué)習(xí)常微分方程這門(mén)課程的學(xué)生掌握.

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

◎編輯 陳鮮艷