王哲陽，王震虎，張松波，李落星

（1.湖南大學，汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.湖南大學機械與運載工程學院，長沙 410082；3.重慶長安汽車歐尚研究院，重慶 400023）

前言

由于汽車各性能之間的相互影響與制約，多目標、多學科優(yōu)化方法在近幾年已廣泛應(yīng)用于解決各種工程問題中［1-2］。然而由于優(yōu)化時的反復迭代導致CAE模型計算時間較長，使整個優(yōu)化過程需要付出昂貴的計算代價。為解決該問題，設(shè)計人員通常使用近似模型來代替有限元模型。近似模型的建立往往需要采集大量的樣本點，這就導致計算量同樣巨大而不能滿足項目進度要求，序貫采樣法運用較少的樣本點建立高精度的近似模型，能大大提高計算效率從而很好地滿足項目進度要求。

序貫采樣法的關(guān)鍵在于如何根據(jù)初始樣本點信息確定新增樣本點在設(shè)計空間中的位置，國內(nèi)外學者對此進行了一系列的研究。Currin和Sacks等［3-5］針對Kriging近似模型提出最大熵、MSE和IMSE 3種方法來定位新增樣本點位置，但以上3種方法只適用于Kriging近似模型，不具有普遍性。Johnson等［6］提出以最大距離法（maximin distance approach，MDA）來判斷新增樣本點位置，該方法實現(xiàn)了樣本點在樣本空間中的均勻分布，但是對于局部波動大的問題預測效果不佳。Jin等［7］在Johnson的基礎(chǔ)上提出了最大比例距離法（maximin scale distance approach，MSDA）與基于交叉驗證的均方根誤差法（cross-validation approach，CVA），前者是對最大距離法的修正，但其尋找新樣本點時并未使用初始近似模型的信息，采樣效果同樣偏向于樣本點在樣本空間中的均勻分布，后者使用交叉驗證的方式來預測近似模型在任意一點的誤差，但在對任意一點的預測過程中，該點越接近交叉驗證時去除的樣本點，它的預測精度就越比實際精度低［8］，這會使尋優(yōu)出的響應(yīng)誤差最大樣本點位置與某一初始樣本點接近甚至重合，產(chǎn)生樣本點聚集現(xiàn)象。文獻［7］、文獻［9］和文獻［10］通過增加距離約束來防止樣本點聚集，但是距離約束的閾值如何確定并無有效方法。本文中參考CVA法的尋優(yōu)思路，針對交叉驗證導致的近似模型局部精度驗證偏低問題，引入樣本點距離參數(shù)對其進行修正，提出了一種新的序貫采樣法—CVDA法，并通過測試函數(shù)將CVDA法與另外多種采樣法進行對比，體現(xiàn)CVDA法的優(yōu)越性。最后基于一款全鋁車架對其彎扭剛度、彎扭模態(tài)等性能采用CVDA采樣建立近似模型并進行輕量化設(shè)計。

1 序貫采樣法

1.1 序貫采樣法流程

序貫采樣法本質(zhì)上是一個再采樣以提升近似模型精度的過程，而精度提升的效果取決于新增樣本點在設(shè)計空間中的位置。一般來說，新增樣本點位于設(shè)計空間的平坦區(qū)域，則對近似模型精度的影響不大，新增樣本點位于設(shè)計空間中波動較大區(qū)域，會有助于近似模型的精度提升。序貫采樣法流程如圖1所示。

圖1 序貫采樣流程圖

1.2 序貫采樣法原理

對于如何確定新增樣本點位置，國內(nèi)外已經(jīng)有了一定的研究，較為經(jīng)典的有最大距離法、最大比例距離法和基于交叉驗證的均方根誤差法等。

1.2.1 最大距離法（MDA）

Johnson等［6］提出了關(guān)于最大距離法的標準，基于已存在的樣本點集XP，使新加入的樣本點XC距離已存在最近樣本點的距離最大，即

式中：XAj∈XA＝XC∪XP，XA為總樣本集，XAj為XA中的第j組樣本點；XCi為新增的第i組樣本點；m為新增樣本點個數(shù)；l為初始樣本點個數(shù)。

1.2.2 最大比例距離法（MSDA）

最大比例距離法［7］是對最大距離法的修正，考慮各設(shè)計變量對響應(yīng)貢獻量的大小，對設(shè)計變量之間的距離公式進行修正，認為高貢獻量的設(shè)計變量有更大的比例系數(shù)ah，數(shù)學模型為

式中：ah為第h個設(shè)計變量對響應(yīng)的靈敏度值；vh為第j個已有樣本點中第h個設(shè)計變量的值；wh為第i個新增樣本點中第h個設(shè)計變量值。

1.2.3 基于交叉驗證的均方根誤差法（CVA）

Jin等［7］提出采用留一法交叉驗證的方式來預測近似模型在任意一點x處的誤差。其值通過交叉驗證下誤差均方根e（x）來估計，即

式中：y-i（x）為去除第i個樣本點后的樣本集建立的近似模型在x處的估計值；y（x）為通過已存在所有樣本點建立的近似模型在x處的估計值；n為已有樣本點個數(shù)。以e（x）最大為目標對x進行尋優(yōu)，結(jié)果即為新增樣本點的位置。

1.3 CVDA序貫采樣法

考慮到交叉驗證時去除點與新增樣本點x之間因為距離不同而導致的對預測誤差值的影響，提出一種新的序貫采樣法（CVDA）：引入距離比例系數(shù)ωi，當x距離去除點越近時，ωi的值越小，以此來解決因為去除樣本點所導致的局部精度降低的問題，數(shù)學模型為

2 數(shù)學算例

為能更直觀地對比各采樣方法新增樣本點在設(shè)計空間中的位置，展現(xiàn)CVDA序貫采樣法能更為準確地將新增樣本點定位到近似模型精度低區(qū)域的能力，在這部分中，選取一維測試函數(shù)Farhang Mehr，以確定性系數(shù)R2作為評價近似模型精度的指標，對CVDA法的有效性進行驗證，且與其他采樣方法包括最優(yōu)拉丁超立方［11］（OLHD）、MDA、MSDA和CVA等進行對比。其中，由于設(shè)計變量只有一個，所以MDA法與MSDA法在本例中效果相同。測試函數(shù)的解析式為

該函數(shù)在（0，0.4）范圍內(nèi)變化較劇烈，而在（0.4，1.0）的范圍內(nèi)變化較為平緩。首先，使用OLHD法選取11個樣本點，11個樣本點均勻分布在（0，1）的區(qū)間范圍內(nèi)，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立近似模型，預測精度初始值為0.787，樣本點在設(shè)計區(qū)間內(nèi)的分布如圖2所示?？梢钥闯觯诟卟▌訁^(qū)域（0，0.4）中，近似模型預測精度很低。

圖2 初始樣本點分布圖

圖3 （a）～圖3（d）表示分別采用OLHD、MDA、CVA和CVDA 4種采樣方法新增樣本數(shù)至21個時的預測效果圖。其中OLHD為非序貫采樣方法，在新增樣本點過程中初始樣本會隨之改變，MDA、CVA和CVDA為序貫采樣法，在新增樣本點的過程中初始樣本不變，預測精度采用1 000個額外樣本點進行驗證。

由圖3（a）～圖3（c）可以看出，OLHD與MDA采樣方法講究樣本點在設(shè)計空間中的均勻分布，不能將新增樣本點很好地定位到函數(shù)波動大、近似模型精度低的區(qū)域。CVA法由于其本身的局限性，新增樣本點與初始樣本點產(chǎn)生聚集現(xiàn)象，對近似模型實際精度并無太大提升效果。從圖3（d）中可以看出，根據(jù)CVDA法計算出的新增樣本點大多在局部波動較大的（0，0.4）范圍內(nèi)，并與函數(shù)值的波峰、波谷有一定的重合度，預測精度提升明顯。

圖3 21個樣本點的預測效果對比

4種采樣方法采樣建立的近似模型預測精度變化如表1所示。

表1 4種采樣方法近似模型精度變化

由表1可以看出，經(jīng)過10次序貫采樣后，使用CVDA法采樣的近似模型精度從0.837增加到了0.950，增幅13.5%，較通過OLHD、MDA和CVA 3種采樣方法采樣而建立的近似模型預測精度分別高出11.1%，11.1%和30.3%。由此可以得出結(jié)論，與其余3種方法相比，CVDA法可以使用更少的樣本點建立更高精度的近似模型。

3 鋁合金車架仿真建模與精度驗證

3.1 有限元模型的建立

車架主要由鋁合金型材焊接而成，因此建立的有限元模型具有以下特征：（1）型材采用shell單元進行模擬，賦予相應(yīng)的材料與屬性，面與面之間共節(jié)點連接；（2）綜合考慮計算的精度和效率，網(wǎng)格的基本尺寸采用5 mm；（3）鋁型材之間的MIG保護焊采用shell單元進行模擬，具體模擬方式見圖4。由此得到鋁合金車架有限元模型，如圖5所示。其中網(wǎng)格節(jié)點794 281個，殼單元個數(shù)共808 652個。

MIG保護焊的模擬參數(shù)：

圖4 MIG保護焊模擬方式

圖5 鋁合金車架有限元模型

式中t1和t2分別為兩焊接面的厚度。兩焊接材料中屈服強度較小的一方作為焊縫的材料。

3.2 有限元模型的精度驗證

通過對比有限元車架模型與實際車架的彎扭剛度、彎扭模態(tài)等性能來驗證有限元模型建模的可靠性。

3.2.1 彎曲剛度仿真與測試

約束前后臺架左右底部X，Y，Z 3個方向的平動和轉(zhuǎn)動自由度，在兩邊門檻中部各垂直向下加載1 000 N的作用力。彎曲剛度的計算公式為

式中：F為施加載荷，N；Z1，Z2分別左右測點的Z向絕對位移，mm。

彎曲剛度的仿真云圖和實驗現(xiàn)場如圖6和圖7所示。

圖6 彎曲剛度位移云圖

圖7 彎曲剛度實驗

3.2.2 扭轉(zhuǎn)剛度仿真與測試

約束臺架中部X，Y，Z 3個方向的平動自由度，約束臺架后端左右兩邊底部X，Y，Z 3個方向的平動和轉(zhuǎn)動自由度。在臺架前端左側(cè)施加2 000 N的作用力。扭轉(zhuǎn)剛度的計算公式為

(1)在304L不銹鋼基體中添加了1%～7%的FeCrBSi作為燒結(jié)助劑，在燒結(jié)溫度為1340 ℃時，試樣的燒結(jié)密度隨著FeCrBSi添加量的增加而升高，但孔隙度逐漸降低．當添加量為3%～5%時，燒結(jié)密度達到7.80～7.85 g/cm3．

式中：F為施加載荷，N；L為加力點到臺架左側(cè)支撐點的距離，mm；Z1～Z4為4個測點的Z向絕對位移，mm；L1，L2分別為測點1與2和3與4的間距，mm。

扭轉(zhuǎn)剛度的仿真云圖和實驗現(xiàn)場如圖8和圖9所示。

圖8 扭轉(zhuǎn)剛度位移云圖

圖9 扭轉(zhuǎn)剛度實驗

3.2.3 模態(tài)仿真與測試

采用Lanczos法計算白車身的各階模態(tài)和振型，頻率范圍為1-100 Hz，根據(jù)模態(tài)振型提取白車身的1階彎曲和1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，模態(tài)實驗如圖10所示。

圖10 模態(tài)實驗圖

表2為有限元模型彎扭剛度、1階彎扭模態(tài)仿真值與實車實驗值的對比。模型誤差均控制在10%以內(nèi)，表明鋁合金有限元車架模型能用于項目詳細設(shè)計階段的性能評估與優(yōu)化。

表2 有限元模型仿真值與實驗值對比

4 基于CVDA序貫采樣的多學科優(yōu)化

4.1 基于CVDA法近似模型的建立與精度對比

首先通過靈敏度分析挑選出對稱的17根梁作為本次優(yōu)化的主要部件，優(yōu)化部件如圖11所示，共有壁厚變量12個。

圖11 設(shè)計變量圖

首先使用OLHD法抽取彎扭剛度工況和質(zhì)量性能初始樣本點26組，彎扭模態(tài)工況初始樣本點50組，通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行近似模型擬合，得出預測精度R2分別為0.917，0.939，0.989，0.772和0.779。由于質(zhì)量性能預測精度已經(jīng)很高，不需要再新增樣本點。

分別對彎扭剛度、彎扭模態(tài)4種工況進行基于CVDA法的序貫采樣。剛度工況精度達到0.98，模態(tài)工況精度達到0.9時采樣停止，并與OLHD、MDA和CVA法進行對比來驗證該方法在工程應(yīng)用上的可行性。4種工況精度提升如圖12～圖15所示。

圖12 彎曲剛度近似模型精度增長對比

圖13 扭轉(zhuǎn)剛度近似模型精度增長對比

圖14 彎曲模態(tài)近似模型精度增長對比

圖15 扭轉(zhuǎn)模態(tài)近似模型精度增長對比

由圖14和圖15可知，彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)工況中，在初始樣本點的基礎(chǔ)上，分別進行12次和10次CVDA采樣近似模型精度即可達到0.9以上。R2值均為0.907，與初始近似模型相比分別提升了17.51%和16.45%，最終樣本點個數(shù)為62和60，比在相同數(shù)量樣本點個數(shù)下預測精度最高的MDA法分別高出6.90%和7.21%。

4.2 多學科優(yōu)化數(shù)學模型的定義

本次優(yōu)化旨在保持車架原有性能（彎扭剛度和1階彎扭模態(tài)）不降低的情況下，獲得車架質(zhì)量最輕時的壁厚匹配，即

min：MASS

s.t.：BENDstiffness＞9500 N／mm

TORSIONstiffness＞300000 N·m／rad

BENDmodal＞75 Hz

TORSIONmodal＞41 Hz

T1～T12＝｛1.0，1.1，1.2，…，4.8，4.9，5.0｝

式中：BENDstiffness為彎曲剛度；TORSIONstiffness為扭轉(zhuǎn)剛度；BENDmodal為1階彎曲模態(tài)頻率；TORSIONmodal為1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

采用退火算法，經(jīng)過3 671次全局迭代，獲得滿足約束條件下的全局最優(yōu)解，優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 全鋁車架優(yōu)化前后性能對比

由表3可知，彎曲剛度提升2.54%，扭轉(zhuǎn)剛度提升3.38%，1階彎曲模態(tài)頻率提升0.68%，1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率提升2.75%，質(zhì)量減輕7.47 kg，減重率為7.20%，優(yōu)化效果明顯。

優(yōu)化后的壁厚如表4所示。

表4 壁厚優(yōu)化結(jié)果 mm

5 結(jié)論

（1）通過數(shù)值算例對比OLHD法、MDA法、CVA法和CVDA法等4種采樣方法對近似模型精度的影響，得出采用CVDA法采樣可以準確定位低精度區(qū)域，在同樣采取21個樣本點下，預測精度較OLHD法、MDA法、CVA法分別高出11.1%，11.1%和30.3%。

（2）運用CVDA序貫采樣法分別建立彎扭剛度、彎扭模態(tài)工況的近似模型，彎扭剛度分別采取32和31個樣本點即可建立精度高達0.98的近似模型，彎扭模態(tài)分別采取62和60個樣本點即可建立精度高達0.9的近似模型，大大提高了建模效率。

（3）全鋁合金車架經(jīng)過多學科優(yōu)化，在彎曲剛度增加2.54%，扭轉(zhuǎn)剛度增加3.38%，1階彎曲模態(tài)頻率增加0.68%，1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率增加2.75%的情況下，質(zhì)量減輕7.47 kg，減重率為7.20%，輕量化效果明顯，為后續(xù)設(shè)計提供指導。