■ 黃炳 李維（湖南人文科技學院數(shù)學與金融學院）

一、導論

國家經濟已經進入“十三五”規(guī)劃的中后期發(fā)展時期，合理統(tǒng)籌城鄉(xiāng)經濟發(fā)展的二元性問題，縮小城鄉(xiāng)居民消費水平差距對湖南省“三農”問題和經濟社會發(fā)展有著重要影響。湖南省位于中國內陸東南腹地的長江經濟帶國家發(fā)展戰(zhàn)略地帶中，同時對我國的“一帶一路”建設也發(fā)揮一定的作用，因而發(fā)展湖南省經濟顯得尤為重要。黎東升等根據湖北省的農村居民消費支出數(shù)據，建立了GM(1,1)灰色動態(tài)模型，利用精度檢驗對擬合模型修正，最終實現(xiàn)對數(shù)據的推算預測[2]。李群霞研究消費支出及其影響因素之間的關系，建立長期均衡計量經濟模型，通過影響因素之間的動態(tài)關系，對數(shù)據平穩(wěn)性預處理從而達到協(xié)整檢驗分析非平穩(wěn)經濟變量的數(shù)量關系，研究了非平穩(wěn)經濟變量的數(shù)量關系[3]。本文將從湖南省居民消費水平相對差距入手，以湖南省居民消費水平的歷史數(shù)據建立平穩(wěn)的時間序列，構建ARMA模型，為“十三五”目標提供理論和實證依據。

圖1 湖南省1978—2017城鄉(xiāng)居民相對收入差距變化趨勢

圖2 差分處理序列后的趨勢

圖3 差分序列I3的自相關圖和偏自相關圖

圖4 差分序列I3的模型

二、湖南省居民消費水平預測實證分析

（一）ARMA模型的建立

1.時間序列判斷

本文數(shù)據主要來源于2018年湖南統(tǒng)計年鑒、2018年中國統(tǒng)計年鑒和湖南省人民政府網。將湖南省城鎮(zhèn)居民消費水平減去湖南省農民居民消費水平，再除以湖南省城鎮(zhèn)居民消費水平得到相對居民消費水平差距，記為Xt（1978≤t≤2017）。圖1為湖南省城鄉(xiāng)居民相對居民消費水平差距趨勢圖。

由圖1觀察可知，時間序列Xt含有趨勢性，是不平穩(wěn)的。同時通過 ADF 根檢驗進行單位根檢驗判斷平穩(wěn)性，存在單位根，原始序列Xt不平穩(wěn)。

2.數(shù)據平穩(wěn)化處理

對原始數(shù)據Xt進行差分處理，圖2為序列的變化趨勢。

從圖2可以清晰的看到，經過差分處理后的序列是平穩(wěn)的。差分后的t統(tǒng)計量值為-6582427，而顯著性水平為1%、5%和10%的臨界值分別為-2.639210、-1.951687、-1.610579，t統(tǒng)計量明顯小于顯著性水平為1%的臨界值，故而拒絕系數(shù)為零的原假設，即不存在單位根，序列已平穩(wěn)。

3.自相關圖與偏自相關圖識別

根據圖3自相關圖和偏自相關圖，對ACF和PACF進行觀察，發(fā)現(xiàn)該時間序列I3的自相關和偏自相關都具有拖尾的特征，因此可建立ARMA模型。參數(shù)估計結果觀察對比可知ARMA（2,1）和ARMA(5,1)數(shù)值相近且較小，而ARMA（5,1）模型的可決系數(shù)(Adjusted R2)最大，所以ARMA（5,1）模型在這幾個模型中是比較合適的。

4.建立擬合模型

通過之前對模型的識別和選擇，擬合ARMA（5,1）模型：

根據表1可知，擬合的ARMA(5,1)模型是。

圖5 擬合模型殘差序列自相關圖與偏自相關圖

表1 ARMA(5,1)模型的估計及檢驗結果

表2 模型預測表

表3 模型差分預測值

（二）ARMA模型的檢驗與預測

1.擬合模型殘差檢驗

對擬合模型做出殘差序列得到圖4。

通過判斷殘差是否存在白噪聲檢驗擬合模型的信息提取是否完全。對圖4的擬合模型殘差序列進行Q檢驗，根據Q統(tǒng)計量對應的伴隨概率P值的概率大小判斷是否為白噪聲。由圖可知，擬合模型的P值要顯著大于5%，模型不拒絕殘差是白噪聲的零假設，從而說明誤差項不存在自相關，該模型不需要修改。

2.擬合模型預測

本文通過擬合的有效模型ARMA(5,1)進行預測，首先我們需要對模型的擬合值和實際值進行誤差分析，見表1。

從圖5的絕對值和均方誤差充分表明模型的誤差區(qū)間保持在較小的范圍內，ARMA(5,1)擬合的實際值與擬合值的絕對值均在0.05之中，均方誤差幾乎都低于或相近于5%的誤差度。對擬合模型2011年至2017年進行靜態(tài)預測，得到圖6，曲線均在有效區(qū)間內。對比2011年至2017年靜態(tài)預測值和差分序列得到圖7，模型預測值基本和差分序列圖擬合。對2018年、2019年和2020年進行模型預測得到表3和圖3.9：根據ARMA(5,1)模型預測2018—2020年三年的居民消費水平差距預測值為0.000410、0.006399和-0.006342。

圖6 擬合模型樣本內預測圖

圖7 擬合模型樣本內預測效果圖

三、結論

從1978—2017年的城鄉(xiāng)居民消費水平相對差距上看，湖南省居民消費水平呈現(xiàn)一定的波動性，但是總體層面上依然處于差距擴大的局面。隨著居民消費水平的繼續(xù)增長，城鄉(xiāng)的居民消費水平差距繼續(xù)拉大，經濟的持續(xù)增長將會加大兩極分化的速度。通過模型ARMA(5,1)的預測圖可知，在2018年、2019年和2020年三年內，湖南省居民消費水平差距仍呈擴大趨勢，沒有根本上縮小。