云浮市郁南縣西江中學(xué)(527100) 周坤榮

“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”是近三年全國卷高考數(shù)學(xué)題“二選一”的第一題,分值為10分.從選擇性來看,近三年每年都有百分之九十左右的廣東考生選做這題,足見考生和教師對這題的青睞!從平均分來看,18年這道題廣東理科平均分為5.23分,文科為3.87分,2019年的文理平均分都有下降的趨勢!大部份學(xué)生只能做這道題的第一問,在第二問方程的應(yīng)用上很難取得突破!事實上,此題在解答題中屬于中易難度題,屬于必得分?jǐn)?shù)題,考生只要充分理清三種方程各自的特性,準(zhǔn)確選擇方程的形式,定能取得“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”應(yīng)用的突破!

筆者曾對本校高三級三百多名文科生做過關(guān)于“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”這道選做題的問卷調(diào)查,調(diào)查顯示68%高中文科生都把極坐標(biāo)系中的問題轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系中的問題來解決,學(xué)生對極坐標(biāo)系的方程和圖形的關(guān)系不熟悉,對參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義沒理解透徹,對直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式理解不完整,怕出錯不得不選擇直角坐標(biāo)系進(jìn)行復(fù)雜的代數(shù)運算.認(rèn)清三種方程各自的特性是突破這道題的前題.

1.熟悉的直角坐標(biāo)方程

直角坐標(biāo)方程是學(xué)生最熟悉的方程,學(xué)生易跟據(jù)曲線的直角坐標(biāo)方程看出曲線的類別,作出圖象,得出基本特征且便于學(xué)生進(jìn)行相計算和解有關(guān)方程組.對于求曲線間的交點,定點到線的距離和處理直線與圓的位置關(guān)系等較直觀的問題,可選用直角坐標(biāo)方程去解決!

例1(2013年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ.

(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;

(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π).

分析(1)略;(2)求兩個圓交點的極坐標(biāo),問題的關(guān)鍵在于解方程組,若選擇用極坐標(biāo)表示曲線的方程,解極坐標(biāo)方程組學(xué)生明顯較為生梳,解方程組過程出現(xiàn)的三角函數(shù)化簡與變換對學(xué)生也是不小的挑戰(zhàn).若曲線的方程用直角坐標(biāo)方程表標(biāo),所解方程組學(xué)生相對是熟悉的,學(xué)生只要先求出兩圓交點的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)表示即可!

解析(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25.即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.將代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0.由

例2(2018年高考全國Ⅰ卷理科)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ=0.

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.

分析(1)略;(2)考查圓與動直線的位置關(guān)系,在直角坐標(biāo)系中,有關(guān)直線與圓的圖象,性質(zhì)及相互間的位置關(guān)系學(xué)生都比較熟悉,所以本題第二問曲線的方程選用直角坐標(biāo)方程表示,方便學(xué)生作圖,進(jìn)而理清直線與圓的位置關(guān)系.

解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.

當(dāng)l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以故k=或k=0.檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)k=時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.

當(dāng)l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以故k=0或經(jīng)檢驗,當(dāng)k=0時,l1與C2沒有公共點;當(dāng)時,l2與C2沒有公共點.綜上,所求C1的方程為

2.靈動的參數(shù)方程

曲線的參數(shù)方程選擇的參數(shù)不同,可有不同的形式.參數(shù)方程的參數(shù)一般有特殊的幾何意義,如果對參數(shù)的幾何意義能理解透徹,處理起某些問題能起到事半功倍的效果!參數(shù)方程能把曲線上的點用一個變量(參數(shù))表達(dá)出來,這比用直角坐標(biāo)少了一個變量,便于后面的化簡、求值和處理有關(guān)取值范圍的問題.對于處理直線與曲線相交的長度或與曲線上一個動點有關(guān)的問題,曲線的方程可選用參數(shù)方程,把曲線上的動點用參數(shù)表示,這樣可以把目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成于參數(shù)θ(或t等)的目標(biāo)函數(shù)!

例3(2019年高考全國Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ++11=0.

(1)求C和l直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

分析(1)利用代入消元法,可求得C的直角坐標(biāo)方程;(2)利用參數(shù)方程表示出C上點的坐標(biāo),根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式,從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.

解析(1)由x=得：t2=,又y2=,所以

整理得C的直角坐標(biāo)方程為：又x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以l的直角坐標(biāo)方程為：11=0.

(2)設(shè)C上點的坐標(biāo)為：(cosθ,2sinθ),則C上的點到直線l的距離

例4(2016年高考全國ⅠⅠⅠ卷)在直線坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為

(Ⅰ)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

(ⅠⅠ)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

分析(1)略;(2)這是關(guān)于兩線上兩動點距離最值問題,通過作圖分析知當(dāng)直線的平行線與橢圓相切時,|PQ|取得最值,難點是學(xué)生是否會把問題轉(zhuǎn)化為相切;動點Q在直上,|PQ|的最小值等價于P到直線x+y-4=0距離的最小值,可把兩個動點的問題轉(zhuǎn)化成一動點的問題,利用參數(shù)表示出P的坐標(biāo),再用點到線的距離公式把目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的三角表達(dá)式,最后用三角函數(shù)相關(guān)知識求出最值即可!

解析(Ⅰ)C1的普通方程為的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.

(ⅠⅠ))由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為因為C2是直線,所以|PQ|的最小值,即為P到C2的距離d(α)的最小值,

3.最有幾何性的極坐標(biāo)方程

極坐標(biāo)系是坐標(biāo)系的一類,相對于直角坐標(biāo)系學(xué)生會感到有些生梳,但對于有特殊性的幾何圖形,極坐標(biāo)系更易表達(dá)出相關(guān)點、邊間的特殊關(guān)系.

對于過極點的直線,垂直等特殊的圖形及出現(xiàn)多個動點的問題,曲線的方程可選用極坐標(biāo)方程來表示.有多個動點的問題,要注意找出動點間極角的關(guān)系,盡可能用一個變量表示出所有動點的極角,最后把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于極角的目標(biāo)函數(shù)!

例6(2018年佛山一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為

曲線C的參數(shù)方程為

以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)C與l交于M,N兩點(異于原點),求|OM|+|ON|的最大值.

分析(1)略;(2)作出相關(guān)圖形易知,直線l經(jīng)過圓C的圓心,則△MON為直角三角形,若用極坐標(biāo)表示,則M,N兩點的極角只需引入一個變量即可,而|OM|,|ON|剛好為M,N兩點的極徑,根據(jù)極坐標(biāo)方程極徑可以用關(guān)于極角的三角函數(shù)表達(dá),最后對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡整理即可求得最值!

解析(1)因為曲線C的參數(shù)方程為(β為參數(shù)),所以消去參數(shù)β,得曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4.化簡得x2+y2=4y,則ρ2=4ρsinθ,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

(2)因為直線l的參數(shù)方程為

所以由直線l的參數(shù)方程可知,直線l必過點(0,2),也就是圓C的圓心,則∠MON=,不妨設(shè)M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+),其中則

教師在“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊的解題教學(xué)中,要結(jié)合相關(guān)圖形,理清三種曲線方程的本質(zhì)與特性,對題型進(jìn)行分析、比較和歸類.只要善于進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)和綜合分析,就能發(fā)現(xiàn)和掌握知識的內(nèi)在規(guī)律,從而舉一反三,觸類旁通,收到“一覽眾山小”的效果!