廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

在近年的高考試題中,立體幾何常常以錐體或柱體為載體,命題呈現(xiàn)一題兩法的新格局(即可用綜合法解也可用向量法解).一直以來,立體幾何解答題都是讓廣大學(xué)生又喜又憂.為之而喜是因?yàn)橹灰芙⒖臻g直角坐標(biāo)系,基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問題;為之而憂是因?yàn)閷τ诓灰?guī)則圖形來講,建系的難度較大,問題不能得到很好的解決,而運(yùn)用傳統(tǒng)方法,要作學(xué)生較為畏懼的多條輔助線.本文以三面角為基本圖形,研究其正、余弦定理,并將其應(yīng)用到解高考題中.

三面角的相關(guān)定理直接討論“面角”以及“二面角”的關(guān)系,與高考題常考的二面角問題更為契合,求解過程更為直接.本文以三道高考題為例,簡介對應(yīng)定理的使用方法.

一、三面角的定義及正、余弦定理

三面角是由具有公共端點(diǎn)的不共面的三條射線,以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形.公共端點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn),射線稱為三面角的棱,兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個(gè)面所成的二面角稱為三面角的二面角.

三面角的余弦定理三面角的一個(gè)面角的余弦,等于其余兩個(gè)面角的余弦之積加上這兩個(gè)面角的正弦與這兩個(gè)面角所夾的二面角的余弦的連乘積.設(shè)三個(gè)面角V-ABC的三個(gè)面角的度量分別為α,β,γ,它們所對的二面角分別為：A,B,C,則有：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

圖1

證明本文僅證明α,β,γ及A,B,C都為銳角時(shí)的情況.如圖1,不妨設(shè)BA⊥VA,CA⊥VA,則∠BAC即為定理中的∠A.在RtΔV AB中,可得同理在RtΔV AC中,可得在ΔV BC中利用余弦定理可得：在ΔABC中利用余弦定理可得：代入公式可得：上兩式相加可得：cosβcosγ+sinβsinγcosA=分別在RtΔV AB及RtΔV AC中利用勾股定理即可得結(jié)論成立.

三面角的正弦定理三面角的三個(gè)面角的正弦與它們所對的三個(gè)二面角的正弦成比例.設(shè)三面角V-ABC的三個(gè)面角分別為α,β,γ,它們所對的二面角分別為：A,B,C,則.

讀者可參考上面關(guān)于余弦定理的證明過程證明正弦定理,本文不在贅述.除了該證明方法外,還可以點(diǎn)V為球心,1為半徑構(gòu)造單位球,三面角的三條棱與單位球的交點(diǎn)分別為A′,B′,C′.三面角的正、余弦定理與球面 ΔA′B′C′的正、余弦定理等價(jià).關(guān)于球面三角形的正、余弦定理,讀者可參看文[1],利用向量的內(nèi)積,叉乘積,混合積等公式進(jìn)行證明.

二、三面角正、余弦定理的應(yīng)用

題目1(2017年新課標(biāo)1卷第18題)如圖2,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且 ∠BAP= ∠CDP=90°.

(1)略;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

分析本題的難度并不大,利用綜合法及向量法都可以求解,但都涉及到一些輔助線.接下來本文借助上面的正、余弦定理求解.

解析在三面角B-APC中,設(shè)面角∠ABC,∠PBA,∠PBC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用P,C,A表示.根據(jù)題干信息可得：α=.根據(jù)上文中的余弦定理cosP=,代入數(shù)據(jù)可得：即二面角A-PB-C的余弦值為.

圖2

圖3

題目2(2016年新課標(biāo)1卷第18題)如圖3,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(1)略;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

分析本題的難點(diǎn)在于題干中兩個(gè)二面角的使用,且學(xué)生對于圖形的識別較為困難,建系的難度較大.接下來,本文借助三面角的正、余弦定理求解.

解析在三面角B-AEC中,設(shè)面角∠ABE,∠ABC,∠EBC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用C,E,A表示.根據(jù)題干信息可得：α=.根據(jù)上文中的余弦定理cos∠ABC=cosβ=cosαcosγ+sinαsinγcosE,代入數(shù)據(jù)可得：.利用三面角的正弦定理：觀察圖像可知即二面角A-PB-C的平面角為鈍角,所以該二面角的余弦值為.

題目3(2018年新課標(biāo)2卷第20題)如圖4,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).

(1)略;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

圖4

在文[2]中,筆者詳細(xì)的分析過該問題,從多角度探究過該問題的解法并提出了該問題的一般結(jié)論.接下來,本文以三面角的正、余弦定理為基礎(chǔ)來解決該問題.

該問題是一個(gè)逆向求解過程,點(diǎn)M是未知點(diǎn),需要通過二面角的信息求解點(diǎn)M的信息,這正是本題最大的難點(diǎn).用綜合法涉及到構(gòu)造輔助線,利用向量法涉及到較大地運(yùn)算量.

為了敘述方便,在三面角A-PMC中,設(shè)三個(gè)面角：∠MAC,∠MAP,∠PAC分別用α,β,γ表示,其所對的二面角分別用P,C,M表示.根據(jù)題干信息,則有.

利用三面角的余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosP,代入數(shù)據(jù)可得：

將(1)式代入(2)式可得：

聯(lián)立(2),(3)式,可得：(2sinα)2+(2cosα-3sinα)2=1?tanα=同時(shí)可得：tanβ=2,即α,β恰好互余,代回正弦定理可得：,即二面角P-AM-C的正弦值為.

圖5

結(jié)合向量法,如圖5,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.單獨(dú)考慮平面xOy,直線AM的方程為：y=2x-2,直線BC的方程為：x+y=2.聯(lián)立兩直線方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo)可得：余下的便是常規(guī)的解題步驟,具體環(huán)節(jié),讀者可參看文[2].

能夠利用三面角正、余弦定理解決的高考題很多,本文不在一一列舉.總之,利用三面角的正、余弦定理直接研究面角與二面角的關(guān)系,繞過了復(fù)雜的運(yùn)算過程.與單純運(yùn)用向量法相比,極大地減少了運(yùn)算量.而弊端在于兩個(gè)定理涉及的未知量較多,對于初學(xué)者而言,不夠熟悉.但讀者可以參考三角形的正、余弦定理進(jìn)行類比記憶.