劉 凱，孫向羽，張曉玲

(1.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

非周期互補(bǔ)碼也稱Golay互補(bǔ)碼，是Golay互補(bǔ)對的擴(kuò)展形式，它由兩個以上的序列組成[1]。非周期互補(bǔ)碼也是一類周期互補(bǔ)碼，但周期互補(bǔ)碼不一定滿足非周期互補(bǔ)性質(zhì)[2]。多個互補(bǔ)碼中若任意兩碼的互相關(guān)函數(shù)和為零，那么就組成了相互正交的互補(bǔ)碼集，簡稱為互補(bǔ)碼集?；パa(bǔ)碼集應(yīng)用于多載波通信系統(tǒng)時，每個用戶分配一個互補(bǔ)碼作為地址碼，互補(bǔ)碼的各序列調(diào)制到不同的載波上進(jìn)行發(fā)送，因此互補(bǔ)碼的數(shù)量決定了用戶的數(shù)量，互補(bǔ)碼的序列數(shù)代表著載波數(shù)。在接收端，同一用戶信息在不同載波上的序列自相關(guān)函數(shù)之和為沖激函數(shù)，不同用戶信息在不同載波上接收序列的互相關(guān)函數(shù)之和為零，以此消除了用戶之間的干擾。若增大互補(bǔ)碼中序列數(shù)量，則用戶信息就可以調(diào)制到更多的載波上，因此在單位時間內(nèi)傳輸?shù)男畔⒘吭龆啵瑥亩岣邆鬏斔俾?。近年來，正交幅度調(diào)制(QAM)序列設(shè)計得到了廣泛關(guān)注，在通信系統(tǒng)中使用QAM序列作為地址碼不僅可以提升系統(tǒng)的傳輸速率[3-4]，還可以降低系統(tǒng)的峰值與均值能量比(峰均比，PMEPR)[5-8]。為了增加具有最優(yōu)相關(guān)特性的QAM序列的數(shù)量，學(xué)者們相繼提出了16-QAM Golay互補(bǔ)對和互補(bǔ)碼[9-12]，16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集及零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)碼[13-14]等。盡管這些構(gòu)造結(jié)果擴(kuò)大了具有良好自相關(guān)特性的16-QAM地址序列的范圍，但目前構(gòu)造16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集的方法和構(gòu)造結(jié)果數(shù)量還不夠豐富，因此本文為了擴(kuò)展16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集的存在范圍，構(gòu)造了與以往文獻(xiàn)不同的互補(bǔ)碼集，從而擴(kuò)大實際應(yīng)用中地址碼的選擇空間。

本文提出了三種適應(yīng)于周期/非周期序列的交織映射方法，得到大量新的16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集，互補(bǔ)碼中序列的數(shù)目可以靈活選擇，同時在多載波系統(tǒng)中提高了單位時間內(nèi)的信息傳輸速率。

1 基本概念

定義1 設(shè)a=(a(0),a(1),…,a(L-1))和b=(b(0),b(1),…,b(L-1))是長度為L的復(fù)序列，a與b的周期和非周期相關(guān)函數(shù)分別表示為

(1)

(2)

若a=b，式(1)和(2)分別稱為序列a的周期和非周期自相關(guān)函數(shù)，記為Ra(τ)和Ca(τ)，其中b*是b的復(fù)共軛形式。

(3)

(4)

那么集合S分別稱為周期互補(bǔ)碼集和非周期互補(bǔ)碼集(即Golay互補(bǔ)碼集)，表示為PCCS(M,N,L)和ACCS(M,N,L)，Sm稱周期/非周期互補(bǔ)碼，表示為PCC(N,L)和ACC(N,L)，其中M表示集合S包含Sm的數(shù)量，N表示Sm包含序列的數(shù)量，L表示序列長度。

定義3 16-QAM星座由如下字母集表示，

(5)

其中j表示復(fù)數(shù)單元，j2=-1。

引理1[1,7,12]四元坐標(biāo)a,b∈{1,2,3,4}到16-QAM星座坐標(biāo)映射方法有如下四種：

(6)

其中，σ1由文獻(xiàn)[7]提出，σ2由文獻(xiàn)[1]提出，σ3和σ4由文獻(xiàn)[12]提出。

引理2[14]基于四元周期/非周期互補(bǔ)碼集S，參數(shù)為PCCS(M,N,L)或ACCS(M,N,L)，若周期/非周期互補(bǔ)碼Sm的序列數(shù)量N為偶數(shù)，即N=2N′，通過以下方法可以得到參數(shù)為PCCS(M,N,L)或ACCS(M,N,L)的16-QAM的周期/非周期互補(bǔ)碼集G，

(7)

2 16-QAM序列集的三種交織映射構(gòu)造方法

基于四元周期/非周期序列集S以及引理1，提出以下3種交織映射方法，將S中的元素映射到16-QAM星座上。

方法1：

(8)

(9)

(10)

方法2：

將引理2推廣至σ3,σ4的映射中，若Sm包含序列數(shù)量N為偶數(shù)，即N=2N′，可得到序列長度為N的16-QAM序列集T，

(11)

方法3：

結(jié)合引理2及方法2，構(gòu)造集合W。若Sm包含序列數(shù)量N為偶數(shù)，即N=2N′，通過如下操作可得到2N長16-QAM序列集W，

3 16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集

定理1 若S是參數(shù)為PCCS(M,N,L)/ACCS(M,N,L)的四元周期/非周期互補(bǔ)碼集，則集合P、Q、R、T、W是參數(shù)分別為PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)、PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)、PCCS(M,4N,L)/ACCS(M,4N,L)、PCCS(M,N,L)/ACCS(M,N,L)、PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)的16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集。

為了證明定理1需要以下3個引理。

引理3 方法1中集合P、Q、R的相關(guān)函數(shù)值滿足

(13)

(14)

(15)

證明由于非周期相關(guān)函數(shù)的計算與周期相關(guān)函數(shù)的計算相似，在以下證明中只計算周期相關(guān)函數(shù)值。取Pm1,Pm2?P,

(16)

其中，

(17)

(18)

將式(17)、(18)帶入式(16)，有

(19)

同理可證集合Q的相關(guān)函數(shù)值滿足式(14)。下面計算集合R的相關(guān)函數(shù)滿足式(15)，取Rm1,Rm2?R,

(20)

(21)

故引理3成立。

證畢

引理4 方法2構(gòu)造的集合T的相關(guān)函數(shù)值滿足

(22)

證明與引理3的證明過程類似，取Tm1、Tm2?T，

(23)

由此，引理4成立。

證畢

引理5 方法3得到的集合W的相關(guān)函數(shù)值滿足

(24)

證明取Wm1、Wm2?W，

(25)

故引理5成立。

證畢

下面證明定理1，由于非周期互補(bǔ)都是周期互補(bǔ)的，相反卻不成立[2]，加之篇幅的限制，本文只證明周期互補(bǔ)情況。

證明由于S是參數(shù)PCCS(M,N,L)的四元周期互補(bǔ)碼集，所以周期相關(guān)函數(shù)滿足

(26)

將式(26)分別帶入引理3、4、5中，得到集合P、Q、R、T、W的相關(guān)函數(shù)為

(27)

(28)

(29)

由定義2可知，集合P、Q、R、T、W均是周期互補(bǔ)碼集，同理可證非周期互補(bǔ)特殊性亦成立，定理1成立。

證畢

例選取參數(shù)為ACCS(4，4，4)的四元非周期互補(bǔ)碼集

由定理1可得到集合P、Q、R、T、W。下面只列出集合P、Q、R、T、W的其中一個互補(bǔ)碼：

經(jīng)計算，集合S的互補(bǔ)碼非周期自相關(guān)函數(shù)是(0,0,0,16,0,0,0)，集合P、Q、R、T、W的非周期自相關(guān)函數(shù)分別是(0,0,0,320,0,0,0)、(0,0,0,320,0,0,0)、(0,0,0,640,0,0,0)、(0,0,0,160,0,0,0)、(0,0,0,320,0,0,0)，其互相關(guān)函數(shù)值均為0，所以集合P、Q、R、T、W分別是參數(shù)為ACCS(4,8,4)、ACCS(4,8,4)、ACCS(4,16,4)、ACCS(4,4,4)、ACCS(4,8,4)的16-QAM非周期互補(bǔ)碼集。

文獻(xiàn)[7]中證明，若采用四元Golay序列(即Golay互補(bǔ)對中的組成序列之一)作為基序列，通過式(6)σ1的映射操作可得到具有低PMEPR性質(zhì)的16-QAM序列。此結(jié)論可推廣到其他三種映射，因此若四元非周期互補(bǔ)碼集的組成序列由Golay序列構(gòu)成，那么通過本文映射方法得到的16-QAM非周期互補(bǔ)碼集可具有低PMEPR的性質(zhì)。

4 16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集參數(shù)及性能分析

本文提出了3種獲得16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集的交織映射方法，根據(jù)不同交織方法，利用相同四元周期/非周期互補(bǔ)碼集可得到5類不同構(gòu)造結(jié)果、不同集合參數(shù)的16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集。文獻(xiàn)[14]同樣利用了交織映射的方法構(gòu)造周期/非周期互補(bǔ)碼集，在表1中與其進(jìn)行了詳細(xì)對比。

表1 構(gòu)造方法對比表Tab.1 Comparison of the construction methods

本文以四元周期/非周期互補(bǔ)碼集為基礎(chǔ)碼集，現(xiàn)有文獻(xiàn)為其提供了較豐富的構(gòu)造方法和構(gòu)造結(jié)果[15]，保證了本文構(gòu)造方法的實現(xiàn)。互補(bǔ)碼中，碼速率計算公式為R(Sm)=log2|Sm|/L比特/符號[10]，其中|Sm|表示互補(bǔ)碼Sm的序列數(shù)量N，L表示序列長度，可見在L不變的情況下，增大互補(bǔ)碼Sm的序列數(shù)量有利于提升碼速率。由于碼速率僅與N和L有關(guān)，因此表2比較了所構(gòu)造的16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼與基礎(chǔ)四元互補(bǔ)碼的碼速率提升對比值。

表2 碼速率提高比率對比表Tab.2 Comparison of the ratio of code rate increase

由表2可以看出，本文構(gòu)造的周期/非周期互補(bǔ)碼與四元基礎(chǔ)序列的碼速率比值均大于1，與其他文獻(xiàn)相比也有提高，因此本文構(gòu)造方法通過增大互補(bǔ)碼的序列容量提升了單位時間內(nèi)信息的傳輸量。

5 結(jié)論

本文提出了3種將四元周期/非周期互補(bǔ)碼集交織映射為16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集的方法，獲得了新的參數(shù)形式，成倍地提高了互補(bǔ)碼中序列的數(shù)量。本文提出的方法有效地增加了16-QAM周期/非周期互補(bǔ)碼集的存在范圍，可用以提升多載波通信系統(tǒng)的傳輸速率。