朱 帥，劉海濤

(河北工業(yè)大學 機械工程學院，天津 300130)

0 引言

壓電材料是一種各向異性，存在機電耦合性質(zhì)的特殊介電材料，在變形時會產(chǎn)生電場，在外界電場作用時產(chǎn)生機械變形，其在車輛工程、軍工和航天航空等領域有重要的作用，尤其是在傳感器、驅(qū)動器和控制器[1]中有很廣泛的應用。

功能梯度材料[2]是一種本身構(gòu)成和布局連續(xù)變化的材料，材料的力學性質(zhì)不會發(fā)生跳躍性的變化，比如彈性模量、介電常數(shù)和壓電常數(shù)都是以函數(shù)的形式，在空間上以一種均勻過渡的方式呈現(xiàn)一種梯度的變化。這種材料較普通材料而言，可以很大程度上緩解結(jié)構(gòu)中應力集中的問題，從而在不同的位置有著不同的力學性質(zhì)，使整體結(jié)構(gòu)更加改善，不易發(fā)生破壞，廣泛應用于機械配件、光纖、人造器官、軍事等領域。隨著科技的進步，功能梯度被引入到壓電材料中，功能梯度壓電材料的出現(xiàn)可以減緩壓電材料應力集中，大大提高壓電元件的可靠性和使用壽命。但是由于材料在制造和使用過程中會產(chǎn)生各種裂紋缺陷，從而使材料破壞，功能喪失，因此對于含裂紋的功能梯度壓電材料的研究顯得尤為重要。

當前功能梯度壓電材料的研究方法主要是解析法居多，比如匡震邦和馬法尚[3]利用應力函數(shù)解法求出了當材料是橫觀各向同性下，包含橢圓形孔的壓電體的解法。程家幸等[4]研究了含微孔洞的功能梯度壓電材料矩形板的熱屈曲相關特性。孟廣偉[5]利用光滑有限元理論分析了含孔功能梯度壓電材料的力電耦合行為。Almajid等[6]在層合板理論上，分析了功能梯度壓電板的離面位移和應力場。曹志遠[7]在特定的幾何形狀和簡單的邊界條件下，建立了膜彎耦聯(lián)的功能梯度殼體的一般性基本方程。楊權(quán)權(quán)等[8]基于復變函數(shù)理論和保角變換技術(shù)研究了功能梯度材料加強環(huán)孔的應力集中。陳淑萍等[9]引入PLEVAKO解，利用分離變量法，求出了四邊簡支功能梯度矩形板解析解。Lothe 和Bamett[10]以Stroh的方法研究了在線性力和位錯下壓電材料的電場以及彈性場的分布情況。由于解析法需要簡化很多條件，做較多假設，計算推導過程較復雜，導致解析法一般只可以計算特定的幾何形狀和載荷下的解析解。

考慮到功能梯度材料的不均勻性，Wang等[11-12]提出了功能梯度壓電結(jié)構(gòu)分層模型，利用分層近似處理的方法[13-14]劃分為若干層，每層的材料參數(shù)按照所取的函數(shù)進行設置，在界面處連續(xù)變化，防止出現(xiàn)過大的跳躍，相鄰的材料屬性有較好的連續(xù)性，從而提高其計算精度和效率。本文基于分層法的思想，利用有限元分析軟件ABAQUS分析功能梯度壓電材料單裂紋在不同情況下的受力情況，研究了含單裂紋的功能梯度壓電材料在改變梯度參數(shù)、幾何尺寸和裂紋形狀的條件下，功能梯度壓電材料板的裂紋周圍應力分布規(guī)律。本文結(jié)果可以為以后工程中設計功能梯度壓電材料結(jié)構(gòu)起到借鑒作用。

1 功能梯度壓電材料基本方程

功能梯度壓電材料場方程[4]為

(1)

應變和電場相容方程為

(2)

本構(gòu)方程為

(3)

式中，σij、εij、Di和Ei分別是應力、應變、電位移和電場強度；ui為位移；φ為電勢；cijkl為彈性模量系數(shù)；λik為介電系數(shù)；ekij為壓電系數(shù)(i=x,j=y)。

對于功能梯度壓電材料而言，因為功能梯度是在某一個方向上，材料參數(shù)按照特定函數(shù)，比如線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的形式連續(xù)變化。本文研究的材料參數(shù)服從自然指數(shù)分布：

(4)

(5)

(6)

(7)

運用ABAQUS軟件，根據(jù)有限元的基本理論，功能梯度壓電材料的有限元中單元的耦合方程為

(8)

文中研究對象為二維平面，為平面應變狀態(tài)，壓電材料參數(shù)以x-y平面作為材料的等參面，x-z平面則為各向同性面。y軸方向作為極化方向，垂直于該平面，故本文研究是x-y平面問題。

2 建模仿真分析

本數(shù)值算例是以功能梯度壓電材料PZT-5H作為研究對象，板左端的材料參數(shù)見表1。

表1 PZT-5H壓電材料參數(shù)Tab.1 Piezoelectric material PZT-5H parameters

簡化后基本模型如圖1，一塊中心含圓形裂紋的二維正方形板，板邊長a=80 mm，圓形裂紋半徑r=0.5 mm。設置材料的極化方向為y軸正方向，材料的梯度變化方向為x軸正方向，板的左右兩端AB與CD自由，板上下兩端施加力邊界，令施加均布應力100 MPa。材料參數(shù)梯度函數(shù)K=K0eβx，本例中取功能梯度參數(shù)β=0.01。

圖1 功能梯度壓電材料單裂紋板Fig.1 Single crack plate of functionally graded piezoelectric material

如圖2建立有限元模型，根據(jù)分層法思想將功能梯度壓電材料劃分成若干層，每層的材料參數(shù)通過材料梯度函數(shù)計算得到，通過有限元軟件定義每層的材料參數(shù)，從而達到近似擬合功能梯度材料的目的。在滿足一定精度的條件下，將其分為14層。由于關注裂紋周圍應力集中的情況，在圓形裂紋處進行細密分層，在較遠處層間分層距離擴大，對結(jié)果影響不大。板有限元網(wǎng)格劃分如圖3所示，單元類型為8節(jié)點CPE8RE壓電單元，線性縮減積分更準確地反應應力集中的情況，保證研究對象結(jié)果的準確性。

圖2 含裂紋板的分層模型Fig.2 Delamination model of cracked plates

有限元計算最大主應力云圖如圖4所示，從圖中可以看出，從裂紋邊最大主應力值268 MPa到邊上逐漸減小至16.86 MPa，最大主應力呈對稱分布，在裂紋周圍產(chǎn)生明顯的應力集中，距離裂尖越遠時，最大主應力越小。最大主應力最大的位置不在裂紋的尖端，而是在裂紋尖端的兩側(cè)，但左右不對稱。這是由于材料梯度的變化，導致板左邊的彈性模量小于右邊的彈性模量，彈性模量是逐漸過渡增大，材料變得更加具有均勻性，從而避免了裂紋尖端的應力集中，使得應力分布較為均勻，限制了裂尖擴展的趨勢，達到保護材料板不被破壞的目的。

圖3 功能梯度板單元劃分圖Fig.3 Functional gradient plate element partition diagram

圖4 最大主應力云圖Fig.4 Maximum principal stress cloud diagram

3 不同參數(shù)的數(shù)值結(jié)果分析

3.1 不同功能梯度參數(shù)的圓形裂紋

令梯度參數(shù)β=0.02、0.03、0.04、0.05。通過軟件計算得到應力分布云圖，然后給出最大主應力如圖5，可以看到隨著功能梯度參數(shù)的增加，板從左到右彈性模量變化幅度增大，材料屬性變化加快，從而使得材料過渡性變小，材料之間均勻性變差，產(chǎn)生應力集中現(xiàn)象更加明顯，所以導致裂紋周圍的最大主應力上升，材料更加容易發(fā)生破壞。

圓形裂紋環(huán)向應力σθ隨著梯度參數(shù)的變化如圖6所示，可以看到隨著梯度參數(shù)的增加，環(huán)向最大應力增大。同時可以得到裂紋環(huán)向長度上的應力變化，可以看到最大σθ應力集中于裂紋尖端，在兩個尖端處達到應力最大值，與實際力學情況相符。

圖5 圓形裂紋圓周上最大主應力分布圖Fig.5 Distribution of maximum principal stress on circular crack circumference

圖6 圓形裂紋圓周上應力分布圖Fig.6 Distribution of σθ on the circumference of acircular crack

3.2 β=0.05時，不同半徑的圓形裂紋

如圖7所示，當板的大小不變時，改變圓形裂紋的半徑,令圓形裂紋半徑分別為0.2，0.5，0.8 mm，可以看到，圓孔附近發(fā)生了明顯的應力集中現(xiàn)象。

當裂紋較小的時候，功能梯度材料應力集中在小的缺陷集中區(qū)域更加容易產(chǎn)生，且孔徑越小應力集中越明顯，應力突然變大的趨勢變快，從而增大了裂紋邊最大主應力與σyy應力。當裂紋的半徑變大后，應力集中相比較變小，這與文獻[15]結(jié)論相吻合。

圖7 不同半徑的圓形裂紋最大主應力和σyy應力Fig.7 Maximum principal stress of circular crack with different radius and σyy

3.3 不同功能梯度參數(shù)的橢圓形裂紋

裂紋形狀由圓形變?yōu)闄E圓形，且橢圓形裂紋的長軸a=r=0.5mm，短軸b=0.2mm，同時改變功能梯度參數(shù)，令β=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05。如圖8與圖9所示，橢圓形裂紋的應力隨著梯度參數(shù)的變大而變大，這是因為材料均勻性變差，導致應力集中更加明顯，這與圖5中圓形裂紋的模擬結(jié)果相同。當在相同的梯度參數(shù)下，橢圓形裂紋的應力大于圓形裂紋的應力，應力集中現(xiàn)象更加明顯，這是因為橢圓形裂紋與圓形裂紋相比，裂紋的形狀更加凸出，導致更容易產(chǎn)生明顯的應力集中，材料更容易發(fā)生破壞，這與文獻[16]中結(jié)論相同。

圖8 圓形裂紋與橢圓形裂紋的最大主應力對比圖Fig.8 Comparative diagram of maximum principal stress between circular crack and elliptical crack

圖9 圓形裂紋與橢圓形裂紋的σyy應力對比圖Fig.9 Comparative diagram of σyy between circular crack and elliptical crack

4 結(jié)論

本文采用有限元軟件ABAQUS對功能梯度壓電材料單裂紋的力學問題進行了分析。基于功能梯度壓電材料的本構(gòu)關系、幾何關系及邊界條件，利用分層法的理論建立了功能梯度壓電材料單裂紋的有限元模型。

通過改變功能梯度參數(shù)和裂紋半徑尺寸，得到了參數(shù)變化對圓形裂紋的最大主應力和σyy以及環(huán)向應力σθ的影響規(guī)律；同時，對于不同功能梯度參數(shù)下的橢圓形裂紋，給出了最大主應力和σyy的變化規(guī)律，并與圓形裂紋的應力大小進行了對比。

圓形裂紋在不同的梯度參數(shù)下，最大主應力分別是所施加荷載的2～5倍左右，而應力σyy為所施加荷載的2～4倍左右。當梯度參數(shù)β=0.05，在不同半徑的裂紋下，即r=0.2，0.5，0.8 mm時，得到了最大主應力分別是所施加荷載的4.7，4.5和3.8倍左右，而應力σyy分別是所施加荷載的3.5，3.4和3.3倍左右。