■張志猛

題目新高考改革方案實(shí)施“3+3”的考試辦法，出現(xiàn)20種選科組合，于是“走班制”上課方案應(yīng)運(yùn)而生，但教室數(shù)量少、師資人數(shù)少和優(yōu)化配置上課教室等新矛盾產(chǎn)生?！镀胀ㄖ行W(xué)校建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》(2015年征求意見稿)中增設(shè)機(jī)動(dòng)教室、選修課教室配置等條款，進(jìn)而增加生均建筑面積，以此緩解矛盾。其中第四章第二十四條“普通中小學(xué)必配生均建筑面積指標(biāo)”表部分摘要如表1。

表1

試用回歸分析知識(shí)中最小二乘法求出回歸直線方程，并計(jì)算某學(xué)校班級(jí)數(shù)量設(shè)置為42個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的生均建筑面積是多少平方米。[注：對(duì)于具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線方程為=bx+a，其中斜率b=截距a=

正解：根據(jù)回歸分析中最小二乘法求回歸直線方程的基礎(chǔ)知識(shí)可知，y3+y4+y5)=10.14，所以=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=77400，=。故b=。 因?yàn)閍=y-bx=10.14-，于是可得當(dāng)x=42時(shí)，故某學(xué)校班級(jí)數(shù)量為42個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)生均建筑面積是9.45m2。

錯(cuò)解：數(shù)據(jù)分析部分同上面正解，數(shù)學(xué)抽象部分改為五組數(shù)對(duì)坐標(biāo)A(18，11.2)，B(24，10.6)，C(30，10.0)，D(36，9.6)，F(xiàn)(48，9.3)，求新數(shù)對(duì)坐標(biāo)E(42，y)中y的值。運(yùn)用最小二乘法求回歸直線方程，可得到^y=10.065，結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。

錯(cuò)解分析：原因之一是班級(jí)數(shù)量不是學(xué)生總體個(gè)數(shù)，與生均建筑面積組成數(shù)對(duì)后，再求生均建筑面積是本質(zhì)性錯(cuò)誤。原因之二是由于表中增設(shè)機(jī)動(dòng)教室或選修課教室，增加了普通教室數(shù)量和面積，進(jìn)而也不同比例地改變了生均建筑面積。所以，這種抽象概括的五組數(shù)對(duì)坐標(biāo)，對(duì)于運(yùn)用最小二乘法先求回歸直線方程，再求生均建筑面積是錯(cuò)誤的。

小結(jié)：若本題未要求“用回歸分析知識(shí)中最小二乘法求出回歸直線方程”，則可以借助回歸直線方程的結(jié)論思想，直接利用中學(xué)課本中向量的平行(共線)、向量坐標(biāo)運(yùn)算及拓展知識(shí)“定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式”，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算完成解答。高中數(shù)學(xué)中的回歸直線方程相對(duì)應(yīng)于大學(xué)數(shù)學(xué)中插值函數(shù)的線性插值法(線性插值法是指使用連接兩個(gè)已知量的直線來確定在這兩個(gè)已知量之間的一個(gè)未知量的值的方法)，此類題目也可以運(yùn)用線性插值法進(jìn)行計(jì)算。