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        疊合三角形的性質(zhì)和應(yīng)用

        2019-12-31 09:08:21陳素和
        關(guān)鍵詞:同位角證明題延長(zhǎng)線

        陳素和

        疊合三角形,又稱“A”字型,它的性質(zhì)在八年級(jí)涉及的平面幾何證明題中很實(shí)用.下面,我們來(lái)了解一下疊合三角形的性質(zhì)和應(yīng)用吧!

        性質(zhì)

        如圖1所示,由三角形內(nèi)角和定理,可得圖中存在一個(gè)不變的數(shù)量關(guān)系:∠ADE+∠AED=∠B+∠C.

        利用平行線同位角相等的關(guān)系,通過平移可證在圖2、圖3的情況下,這個(gè)性質(zhì)也成立。

        下面舉例說明這個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用.

        側(cè),如圖4,在△ABC中,已知∠A=∠ABC.直線EF分別交△ABC的邊AB,AC和CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,E,F(xiàn)求證:∠F+∠FEC=2 ∠A.

        分析:很容易找到疊合三角形的模型.

        證明:∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠F+∠FEC+∠C=180°.

        ∴∠F+∠FEC=∠A +∠ABC.

        又∵∠LA=∠ABC.

        ∴∠F+∠FEC=2∠A.

        例2 如圖5.已知AD是△ABC的角平分線.過點(diǎn)B作BF⊥AD.交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:∠α+ ∠β=2∠F

        證明:∵∠α+∠β+∠BAC=180°,

        ∠ABE+∠F+∠BAC=180°.

        ∴∠α+∠β= ∠ABE+ ∠F.

        又AE既是△ABF的高,又是它的角平分線,

        ∴ △ABF為等腰三角形,∠ABE=∠F

        ∴∠α+ ∠β=2 ∠F

        例3 如圖6.在△ABC中.AD為其角平分線.EF是AD的垂直平分線,E為垂足.EF

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