王廣文，姚建勇

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

電液伺服系統(tǒng)具有動態(tài)響應快、輸出功率大、體積小以及控制精確度高等優(yōu)點，在工業(yè)生產、國防以及航空航天等領域得到了廣泛的應用.電液伺服系統(tǒng)本身具有較強的非線性特性，如摩擦非線性，電液伺服閥流量壓力非線性等問題.此外，電液伺服閥的流量增益、泄漏系數(shù)、外負載質量以及外部干擾、未建模動態(tài)、輸入飽和等具有建模不確定性[1-2]，這些問題為控制器的設計帶來了較大困難，并限制了電液伺服系統(tǒng)高性能控制器的發(fā)展.

近年來，為了提高非線性系統(tǒng)的控制性能，國內外學者做了大量研究.文獻[3]利用反步方法來控制非線性系統(tǒng)，文獻[4-6]分別將滑模、自適應及自適應魯棒方法應用于液壓系統(tǒng)的控制中，在處理系統(tǒng)未知參數(shù)及減弱干擾方面取得了較好的效果，在很大程度上提高了控制器的性能.然而，實際的液壓系統(tǒng)還存在系統(tǒng)狀態(tài)不可測問題.文獻[9-11]引入一種基于擴張狀態(tài)觀測器的輸出反饋控制算法對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計，同時保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在液壓系統(tǒng)中，反步控制方法應用廣泛，但傳統(tǒng)反步控制方法存在“微分爆炸”問題，需要在每一步的設計中對虛擬控制進行求導，因此增大了計算量.文獻[12-13]提出一種指令濾波技術，可以直接求出虛擬控制量及其導數(shù)，因此可有效降低計算量.文獻[14]結合反步控制和指令濾波技術設計控制器，通過仿真驗證了指令濾波技術的有效性，但液壓系統(tǒng)存在高頻干擾，因此很難測量系統(tǒng)的物理量，進而影響系統(tǒng)的跟蹤精度.

本文針對電液位置伺服系統(tǒng)的不確定非線性及狀態(tài)不可測問題，提出一種基于指令濾波的輸出反饋控制策略.通過設計擴張狀態(tài)觀測器，對系統(tǒng)狀態(tài)及外干擾進行估計，克服狀態(tài)的不可測問題，同時補償時變干擾對控制性能的影響.利用指令濾波技術解決反步計算中的微分爆炸問題，同時保證較好的跟蹤效果.通過對比實驗證明了所設計控制器的有效性.

1 系統(tǒng)建模與問題描述

電液位置伺服系統(tǒng)示意圖如圖1所示，其動力學方程為

(1)

Ps—供油壓力，Pr—回油壓力，u—控制輸入Q1，Q2—液壓缸左，右腔流量，m—負載質量圖1 電液伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Electro-hydraulic servo system schematic

忽略液壓缸的外泄漏，則液壓缸的壓力動態(tài)方程為

(2)

式中：βe為體積彈性模量；Vt為系統(tǒng)控制腔總容積；Ct為內泄漏系數(shù)；QL為負載流量；Q(t)為建模誤差.

對于電液伺服閥，閥芯位移(xv)與控制輸入(u)的關系為xv=kiu，ki為正常數(shù)，因此電液伺服閥流量方程為

(3)

(4)

則整個系統(tǒng)可由如下狀態(tài)方程表示：

(5)

f=-Bx2/m

q(t)=4βeAQ(t)/(Vtm)

對液壓系統(tǒng)有以下合理假設：

假設1系統(tǒng)位置指令x1d∈C3(有界區(qū)間)并且有界，電液伺服系統(tǒng)在實際工作中滿足0

假設2干擾項q(t)和d(t)有界，即

|q(t)|≤M, |d(t)|≤N

(6)

式中：M，N為未知正常數(shù).

假設3函數(shù)g(u,x3)相對于x3為Lipschitz，φ(x2,x3)相對于x2，x3為Lipschitz，f(x2) 相對于x2為全局Lipschitz.

2 控制器的設計

2.1 ESO設計

基于系統(tǒng)模型(5)設計擴張狀態(tài)觀測器(ESO),對系統(tǒng)狀態(tài)及干擾進行估計[15].定義x4=q(t)，系統(tǒng)狀態(tài)擴展為x=[x1x2x3x4]T.用h(t)表示x4的導數(shù)，則模型(5)可以表示為

(7)

(8)

式中：ω0為觀測器唯一的參數(shù)，ω0>0.

擴張狀態(tài)的估計誤差可以表示為

(9)

對于矩陣A，存在一個正定矩陣P滿足如下等式：

ATP+PA=-I

(10)

通過以上設計可以推斷觀測器是穩(wěn)定的，且可以通過增大帶寬ω0來減小狀態(tài)的估計誤差[10].

2.2 指令濾波反步控制器設計

(1) 定義誤差變量：

(11)

式中：z1為位置跟蹤誤差；z2和z3為濾波前后系統(tǒng)狀態(tài)誤差；x1d為位置期望指令；γi(i=1,2)為指令濾波器的輸出虛擬控制量.

為了在反步計算中減小計算量，將標準虛擬控制量α1，α2直接通過指令濾波器輸出其虛擬控制量γ1，γ2及導數(shù).指令濾波器的結構如圖2所示，圖中αi為標準虛擬控制，ζ和ωni分別為濾波器的阻尼及帶寬，s為傳遞函數(shù)過程中的物理量.

圖2 指令濾波器結構圖Fig.2 Command filter structure diagram

指令濾波器的狀態(tài)空間表達式為

(12)

通過分析指令濾波器的結構及表達式可知，虛擬控制量的導數(shù)可以直接獲得，獲得該導數(shù)減小了反步解析計算量.此外，只要選擇足夠大的ωni就可以保證輸入與輸出的誤差足夠小.

(2) 定義補償跟蹤誤差:

(13)

構造標準虛擬控制量為

(14)

結合式(8)和(11)可得

(15)

通過以上分析可得實際控制律為

(16)

式中：k3為反饋增益，k3>0.

3 穩(wěn)定性證明

選擇Lyapunov函數(shù)為

(17)

對式(17)進行求導

(18)

根據(jù)前面定義的ε2和ε3可知，存在常數(shù)c1,c2,c3和c4使得下式成立：

(19)

定義

δi=‖PBi‖,i=2,3,4

κ1=k2ω0+c1，κ3=ω0+c3

根據(jù)以上分析，式(18)可以表示為

κ2|ε3||v3|+κ3|ε2||v3|+

-W+ζ

(20)

其中：

Z=
[|v1| |v2| |v3| |ε1| |ε2| |ε3| |ε4|]T

λ(Λ)為矩陣Λ的特征值.

定義Λ為

對式(18)進行積分得

(21)

式中：τ=2λmin(Λ)min{1,1/λmax(P)}.

通過以上證明可知，當q(t)≠0，d(t)≠0時，V(t)∈L∞，可證明閉環(huán)系統(tǒng)所有信號均有界；當q(t)=0，d(t)=0時，有W∈L2，且W一致連續(xù)，根據(jù)Barbalat引理可知，隨著時間t→∞以及W→∞，控制器可以得到有界漸進跟蹤性能，其中L2和L∞代表有界數(shù)列空間.以上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當選擇足夠大的ωni時可以保證濾波器輸入與輸出誤差足夠小，進而保證跟蹤誤差z1的漸進穩(wěn)定性，關于z1的穩(wěn)定性證明可參考文獻[12].

圖3 電液位置伺服系統(tǒng)實驗平臺Fig.3 The experiment platform for electro-hydraulic position servo system

4 實驗結果及分析

為驗證本文所提控制方法的有效性，利用圖3所示的平臺進行實驗.該平臺的系統(tǒng)參數(shù)為A=9.047×10-4m2，m=30 kg，Ps=12 MPa，kt=1.2×10-8m3/(s·V·Pa0.5)，βe=7×108Pa，B=4 000 N·m·s/rad.

為了測試目標控制器的性能表現(xiàn)，選取3種控制器進行交叉對比，將對比結果用最大值Me、平均值μ和標準差σ3個統(tǒng)計量進行表征[10].

對比控制器如下：

(1) 基于指令濾波的輸出反饋控制器(CFOFRC),該控制器有效結合了擴張狀態(tài)觀測器，為了方便實驗，僅對α1進行濾波，控制器參數(shù)k1=1 200，k2=200，k3=35，ωn1=500，ω0=200，ζ=1.

(2) 輸出反饋控制(OFRC)，該控制策略與(1)中設計方法一致，且所選取的控制參數(shù)與(1)中參數(shù)相同，但該策略未結合指令濾波技術.

(3) 前饋PI控制器(VFPI)，控制器參數(shù)kP=8 000，kI=2 000，kv=35.55 V·s/m.

4.1 工況1

選取期望指令信號的值為x1d=10 arctan[(1-e-t)sin(πt)]/0.785 4 (mm).圖4為控制器位置跟蹤誤差(δ)對比.通過分析可知，本文所提CFOFRC控制器的跟蹤效果優(yōu)于其他控制器，最后兩個跟蹤周期的各項性能指標對比見表1.

表1 工況1下性能指標表Tab.1 Performance indices for Case 1

4.2 工況2

工況2的控制參數(shù)與工況1的控制參數(shù)相同，選取期望指令信號數(shù)值為x1d=10 arctan[(1-e-t)sin(2πt)]/0.785 4 (mm)，該工況下指令頻率的加大會激發(fā)未建模動態(tài)，從而影響控制精度.控制器位置跟蹤誤差如圖5所示，最后兩個跟蹤周期的各項性能指標如表2所示.

圖5 工況2 控制器跟蹤誤差對比圖Fig.5 The controller tracking error comparison for Case 2

表2 工況2下性能指標表Tab.2 Performance indices for Case 2

由此可見，在頻率加大的情況下，CFOFRC的控制效果仍然優(yōu)于其他控制器，進一步驗證了所提控制方法的有效性.

5 結語

針對電液伺服系統(tǒng)模型中存在不匹配的不確定非線性和狀態(tài)不可測的問題，提出一種基于指令濾波的輸出反饋控制算法.設計擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)及時變干擾進行估計，設計指令濾波器減弱反步計算過程中的解析計算量.選擇Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性.通過對比CFOFRC、OFRC和VFPI 3種控制器，驗證了基于指令濾波的輸出反饋控制方法可以有效解決狀態(tài)不可測問題，同時可以降低強干擾對跟蹤性能的影響及反步中解析計算量.實驗結果驗證了方法的有效性.