何浩祥， 范少勇， 閆維明

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京,100124)

引 言

地震動(dòng)是由震源釋放的地震波引起的地面運(yùn)動(dòng)，具有復(fù)雜而強(qiáng)烈的時(shí)間-空間隨機(jī)性和非平穩(wěn)性[1-2]。即使在同一次地震過(guò)程中，不同區(qū)域地震動(dòng)的時(shí)頻特性也有所差別。對(duì)地震動(dòng)時(shí)頻兩域的非平穩(wěn)性進(jìn)行深入研究能夠充分了解地震動(dòng)的演變機(jī)制及隨機(jī)性，并可為地震動(dòng)模擬提供重要的評(píng)價(jià)依據(jù)。此外，關(guān)于地震動(dòng)特性的研究是土木工程抗震設(shè)計(jì)與動(dòng)力分析的基礎(chǔ)，建立能夠全面反映地震動(dòng)非平穩(wěn)性的模型可以更準(zhǔn)確地計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)，為結(jié)構(gòu)精細(xì)化隨機(jī)振動(dòng)分析和可靠性評(píng)價(jià)提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

由于通常無(wú)法在一次地震中同一區(qū)域取得多次地震動(dòng)記錄，傳統(tǒng)的隨機(jī)理論通常假定每一條地震動(dòng)記錄均符合各態(tài)歷經(jīng)假定，即認(rèn)為可用時(shí)間的平均來(lái)代替集合的平均[2-3]，這導(dǎo)致具體地震動(dòng)的確定性特征和隨機(jī)成分沒(méi)有被準(zhǔn)確分離，且地震動(dòng)時(shí)頻域非平穩(wěn)性被顯著弱化。如果隨之進(jìn)行的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析對(duì)非平穩(wěn)性考慮不充分，則結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)將更不準(zhǔn)確。在傳統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)研究中通常采用均勻調(diào)制方法反映地震動(dòng)的時(shí)域非平穩(wěn)性，即將真實(shí)地震動(dòng)等效為一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(一般為白噪聲)和一個(gè)隨時(shí)間漸變的確定性強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)的Hadamard乘積(各元素點(diǎn)乘)[1-3]。常用的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)主要有連續(xù)型和分段型兩類[2,4]。采用均勻調(diào)制方法得到的地震動(dòng)時(shí)程包絡(luò)一般均為單峰型曲線，并不能準(zhǔn)確刻畫(huà)地震動(dòng)幅值變化的豐富性和復(fù)雜性，其頻域分布具有明顯的平穩(wěn)性，不能反映地震動(dòng)頻域的強(qiáng)非平穩(wěn)特征和能量分布特點(diǎn)。對(duì)于多階自振周期與地震動(dòng)卓越周期接近的結(jié)構(gòu)，采用均勻調(diào)制地震動(dòng)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析有可能嚴(yán)重影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。

為了解決上述不足，Saragoni等[5]提出通過(guò)時(shí)間段內(nèi)的Gamma函數(shù)調(diào)制過(guò)濾高斯白噪聲的方法，并提出了一種時(shí)域和頻域完全非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)模型(包含強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn))。Lin等[6]提出用散粒噪聲、過(guò)濾白噪聲或三角級(jí)數(shù)疊加信號(hào)等替換均勻調(diào)制方法中的白噪聲。Sanaz[7]提出采用強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)和時(shí)變過(guò)濾白噪聲模型共同模擬地震動(dòng)時(shí)頻域非平穩(wěn)特性。在具體應(yīng)用以上方法時(shí)存在難以精確確定頻帶能量分布的局限，雖然在人工地震動(dòng)生成中易于實(shí)現(xiàn)，而在真實(shí)地震動(dòng)隨機(jī)分析中難以應(yīng)用。梁建文[8]在演化譜理論的基礎(chǔ)上，采用一個(gè)譜表示方法來(lái)模擬頻率非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程，但此方法依賴目標(biāo)譜和權(quán)重函數(shù)。Conte等[9]構(gòu)建了基于sigma振子過(guò)程的完全非平穩(wěn)模型，并可由真實(shí)地震動(dòng)演變功率譜經(jīng)自適應(yīng)最小二乘法擬合確定模型參數(shù)，雖然其合成精度相對(duì)較高但計(jì)算復(fù)雜，且對(duì)時(shí)頻兩域的非平穩(wěn)細(xì)節(jié)模擬仍不充分。此外，部分研究者建議在計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征時(shí)直接將相應(yīng)的輸入白噪聲功率譜改為傳統(tǒng)的地震動(dòng)功率譜工程學(xué)模型[10]，如Kanai-Tajimi模型及其系列修正模型等，但由于相關(guān)的功率譜模型對(duì)頻率非平穩(wěn)性的表征依然不夠精細(xì)[11-12]，且該處理方法在理論上也不嚴(yán)謹(jǐn)，因此不宜作為有效方法。

因此，針對(duì)上述問(wèn)題開(kāi)展新型時(shí)頻域非平穩(wěn)地震動(dòng)模型和相關(guān)隨機(jī)振動(dòng)分析方法具有重要的理論與工程意義。筆者從地震動(dòng)的傳播和演變機(jī)制以及隨機(jī)特性上進(jìn)行探究，提出能夠更準(zhǔn)確全面反映地震動(dòng)時(shí)頻域非平穩(wěn)特性的強(qiáng)度包絡(luò)模型，并改進(jìn)傳統(tǒng)的均勻調(diào)制方法，進(jìn)而建立反映時(shí)頻非平穩(wěn)關(guān)聯(lián)特征的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析方法。

1 非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型

描述地震動(dòng)的物理和數(shù)學(xué)模型眾多[4,13]，從應(yīng)用性的角度可分為地震動(dòng)工程應(yīng)用模型和地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程模型兩種，前者強(qiáng)調(diào)地震動(dòng)模型及其合成信號(hào)的特性應(yīng)滿足指定的反應(yīng)譜或功率譜的需求，而后者更注重于地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)性的描述，并主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析領(lǐng)域。筆者的研究主要針對(duì)地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程模型開(kāi)展。

在傳統(tǒng)的均勻調(diào)制地震動(dòng)隨機(jī)模型中，并不考慮頻率非平穩(wěn)性，并通常將地震動(dòng)表示為

A(t)=G(t)n(t)

(1)

其中：A(t)為非平穩(wěn)地面加速度過(guò)程；G(t)為強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)；n(t)為一零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

在上述模型中，強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)通常是單峰正值函數(shù)，無(wú)法準(zhǔn)確全面地刻畫(huà)地震動(dòng)多次波動(dòng)的多峰現(xiàn)象，也不能體現(xiàn)地震動(dòng)正負(fù)幅值的差異，因而不能充分反映地震動(dòng)在時(shí)域上的隨機(jī)性和非平穩(wěn)性。更重要的是，強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)并不能明顯改變平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在頻域上的能量分布，因此上述模型不能反映頻域非平穩(wěn)特性，更無(wú)法直接轉(zhuǎn)化為有效的速度和位移時(shí)程。增強(qiáng)上述模型對(duì)時(shí)頻域非平穩(wěn)性的表征能力需要同時(shí)對(duì)G(t)和n(t)的內(nèi)涵和形式進(jìn)行改進(jìn)，相關(guān)的改進(jìn)可以從地震動(dòng)的傳播和演變機(jī)制的研究成果中得到借鑒。

在地震發(fā)生時(shí)，震源所產(chǎn)生的尖脈沖經(jīng)地層介質(zhì)的吸收后，其波形將會(huì)被拉長(zhǎng)，這種具有時(shí)延的單個(gè)反射波稱為地震子波。在地震學(xué)和地震勘探中，褶積模型理論認(rèn)為地震波形是地震子波動(dòng)態(tài)疊加的結(jié)果[14-15]。相關(guān)研究表明：從地下許多反射界面發(fā)生反射時(shí)形成的地震子波，其振幅取決于反射界面反射系數(shù)的絕對(duì)值，極性的正負(fù)決定于反射系數(shù)的正負(fù), 到達(dá)時(shí)間的先后取決于界面深度和覆蓋層的波速。實(shí)際的地震記錄A(t)可視為由地震子波w(t)和反射系數(shù)γ(t)褶積組成，相關(guān)公式如下

A(t)=w(t)γ(t)

(2)

比較式(1)和式(2)可發(fā)現(xiàn)，二者的數(shù)學(xué)形式一致但物理意義不同。在褶積模型中，地震子波是振蕩衰減型低頻隨機(jī)信號(hào)，具有多峰性，幅值也呈現(xiàn)正負(fù)交替，這與均勻調(diào)制模型中的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)有明顯區(qū)別。此外，褶積模型中的反射系數(shù)是零均值頻域非平穩(wěn)噪聲信號(hào)，這與均勻調(diào)制模型中的白噪聲也有所區(qū)別。地震子波和反射系數(shù)的非平穩(wěn)特性及其褶積特征能較充分反映地震動(dòng)的時(shí)頻域非平穩(wěn)性，這為均勻調(diào)制模型的改進(jìn)提供了良好的借鑒。

在諸如褶積模型的地震動(dòng)分解處理中，地震子波和反射系數(shù)依然是復(fù)雜隨機(jī)信號(hào)，可以采用信號(hào)處理技術(shù)對(duì)其進(jìn)行更深入的分析，而濾波方法是判斷信號(hào)頻域非平穩(wěn)特征的主要手段之一。大量地震動(dòng)頻譜分析結(jié)果表明，地震動(dòng)的頻域能量主要分布在0～10Hz。由于地震動(dòng)信號(hào)采樣率較高，頻譜分析中最高頻率通常超過(guò)25Hz，因此可以通過(guò)濾波實(shí)現(xiàn)地震信號(hào)中重要成分和次要成分的分離。然而，采用諸如低通濾波器的理想濾波技術(shù)對(duì)信號(hào)的處理過(guò)于嚴(yán)格和刻板，缺乏靈活性和調(diào)控能力。相反，采用移動(dòng)平均算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑處理，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行了低通濾波，且相應(yīng)的濾波器具有從通帶到阻帶平緩過(guò)渡的特點(diǎn)，因此既能分離局部隨機(jī)波動(dòng)的特征又能凸顯整體變化規(guī)律。文獻(xiàn)[16]提出地震動(dòng)時(shí)域信號(hào)可分解為多峰平滑信號(hào)和非平穩(wěn)噪聲信號(hào)兩部分。多峰平滑信號(hào)主要反映了地震產(chǎn)生機(jī)理和演變規(guī)律的基本特征，雖然由于知識(shí)不完備性難以闡釋其細(xì)節(jié)變化，而非平穩(wěn)噪聲信號(hào)則反映了地震動(dòng)傳播過(guò)程中受到的擾動(dòng)和強(qiáng)隨機(jī)性。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16]建立由多峰平滑時(shí)域信號(hào)As(t)和非高斯時(shí)域噪聲信號(hào)An(t)構(gòu)成的地震動(dòng)時(shí)域模型A(t)

(3)

非高斯時(shí)域噪聲信號(hào)An(t)具有如下表達(dá)形式

An(t)=As(t)|αNn(t)|

(4)

其中：Nn(t)為歸一化的高斯白噪聲；α為其調(diào)幅系數(shù)。

由式(3)和式(4)可得到地震動(dòng)時(shí)域模型的綜合表達(dá)式為

(5)

對(duì)比式(2)和式(5)可發(fā)現(xiàn)，地震動(dòng)時(shí)域模型A(t)與褶積模型在表達(dá)形式和物理內(nèi)涵上均類似，因此可以改進(jìn)均勻調(diào)制模型的不足，為精確細(xì)致反映地震動(dòng)非平穩(wěn)特性提供了必要的處理方法和分析工具。

上述地震動(dòng)時(shí)域模型是由信號(hào)能量平衡條件來(lái)約束，雖然精度較高但在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析中不易處理，因此筆者建議將式(3)和式(5)改為如下的非均勻調(diào)制形式

(6)

其中：Acn(t)表示均值為1的白噪聲。

雖然式(6)相當(dāng)于忽略了原地震動(dòng)時(shí)域模型A(t)的能量表達(dá)式中的交叉項(xiàng)，但由于As(t)和An(t)均為隨機(jī)性較強(qiáng)的信號(hào)，其乘積相對(duì)較小，且可通過(guò)再次的平滑處理和調(diào)整調(diào)幅系數(shù)α來(lái)實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的修正，因此依然能較準(zhǔn)確地反映原有地震動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)特性。

此外，多峰平滑時(shí)域信號(hào)As(t)可以通過(guò)以下兩式計(jì)算得到

其中：A0(t)為原始地震動(dòng)信號(hào)；As0(t)為初步平滑信號(hào)；S函數(shù)為平滑函數(shù)，在Matlab程序中可采用smooth命令實(shí)現(xiàn)；n和m均為滑動(dòng)窗寬度或需要考慮的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；sgn為符號(hào)函數(shù)。

由于As(t)需要反映地震動(dòng)本質(zhì)特性，因此試算時(shí)可不斷增加滑動(dòng)窗寬直到其幅值穩(wěn)定為止。在具體分析中，n和m建議取值區(qū)間分別為[150,200]和[5,30]，同時(shí)需要選取適當(dāng)?shù)恼{(diào)幅系數(shù)α,使As(t)的最大峰值與原波A(t)最大峰值相同。

為了驗(yàn)證筆者提出的非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型的精確性，應(yīng)用相關(guān)方法對(duì)Taft(N21E)地震加速度信號(hào)進(jìn)行分解和合成，并與傳統(tǒng)的均勻調(diào)制地震動(dòng)模型進(jìn)行比較，相應(yīng)的結(jié)果如圖1所示。對(duì)原信號(hào)進(jìn)行平滑處理時(shí)，式(7)和式(8)滑動(dòng)窗寬度n和m分別取為200和5，優(yōu)化后的調(diào)幅系數(shù)α為2.25。此外，由于已經(jīng)知道Taft波的具體信息，因此在均勻調(diào)制合成方法中沒(méi)有采用常用的強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)模型，而是通過(guò)直接對(duì)地震波絕對(duì)值進(jìn)行窗寬為500的平滑處理并歸一化獲得。

圖1 不同地震動(dòng)模型加速度合成效果對(duì)比

由圖1可看出，多峰平滑包絡(luò)信號(hào)As(t)具有往復(fù)振蕩的特點(diǎn)，且最大值不必等于1，這與傳統(tǒng)的時(shí)域強(qiáng)度包絡(luò)信號(hào)有明顯的區(qū)別。此外，噪聲信號(hào)Acn(t)的幅值相對(duì)較大。采用非均勻調(diào)制模型合成的地震動(dòng)與真實(shí)地震動(dòng)在時(shí)域上十分接近，而按照均勻調(diào)制模型合成的地震動(dòng)則與真實(shí)值有明顯差別。為了對(duì)比不同模型在頻域上的精度，對(duì)不同信號(hào)進(jìn)行了功率譜分析，如圖2和圖3所示。

圖2 不同地震動(dòng)模型的加速度功率譜對(duì)比

圖3 非均勻調(diào)制模型各部分頻譜分布

結(jié)果表明，由非均勻調(diào)制模型合成的地震動(dòng)的頻譜分布也與真實(shí)地震動(dòng)接近，而均勻調(diào)制模型的頻譜分布較均勻且不能反映卓越頻率特征。從圖3也可看出，多峰平滑包絡(luò)信號(hào)充分保留了真實(shí)地震動(dòng)的主要頻譜成分，是非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型精確性的根本保障。為進(jìn)一步驗(yàn)證非均勻調(diào)制地震動(dòng)在低頻信號(hào)合成方面的能力和精度，對(duì)Taft(N21E)地震位移信號(hào)進(jìn)行合成，滑動(dòng)窗寬度n和m分別取為150和26，優(yōu)化后的調(diào)幅系數(shù)α為4.0，時(shí)域和頻域結(jié)果如圖4所示。由圖可見(jiàn)，非均勻調(diào)制模型依然具有良好的精度，而均勻調(diào)制模型對(duì)低頻能量的表征精度進(jìn)一步下降，該結(jié)論與前人研究結(jié)果吻合[2]。

綜上所述，由于平滑處理后的多峰平滑包絡(luò)信號(hào)具有正負(fù)振蕩特性以及足夠的細(xì)節(jié)刻畫(huà)能力，地震動(dòng)的主要頻譜成分被充分提取，加之噪聲信號(hào)的強(qiáng)隨機(jī)性，由二者合成的地震信號(hào)能夠精確表征原信號(hào)在時(shí)域和頻域的非平穩(wěn)特征。因此，非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型既可以根據(jù)原波產(chǎn)生大量的地震動(dòng)隨機(jī)信號(hào)，從而為基于Monte Carlo方法的結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析提供可靠的隨機(jī)樣本，也可以為基于功率譜的結(jié)構(gòu)時(shí)域隨機(jī)振動(dòng)分析提供更精確的激勵(lì)模式。

圖4 地震動(dòng)位移信號(hào)合成效果對(duì)比

2 全非平穩(wěn)地震動(dòng)模型

目前計(jì)算演變譜的方法雖然較豐富，但精度通常不高。小波包分解方法采用正交小波將信號(hào)分解成各尺度上的正交小波包分量，再對(duì)各分量用其相應(yīng)的小波包基函數(shù)為窗函數(shù)進(jìn)行時(shí)頻變換，其分解機(jī)理明確，由此得到的時(shí)變功率譜從理論表達(dá)上是準(zhǔn)確的，且分辨率高。文獻(xiàn)[16]的研究表明，將小波包分解產(chǎn)生的Paley序子頻帶序列按升頻進(jìn)行重新排列，并采用正交性和緊支撐性的離散Meyer(dmey)小波作為小波包基函數(shù)可以更準(zhǔn)確地描述模擬地震記錄信號(hào)時(shí)頻變化特征。

基于上述研究并參考非均勻調(diào)制地震模型的構(gòu)建模式，筆者提出采用二維平滑技術(shù)的全非平穩(wěn)地震動(dòng)演變譜模型A(ω,t)，該模型由多峰平滑時(shí)頻域譜As(t)和時(shí)頻域非高斯噪聲譜An(t)構(gòu)成，表達(dá)式為

A(ω,t)=As(ω,t)+An(ω,t)=

As(ω,t)[1+αNn(t)]=As(ω,t)Acn(t)

(9)

其中：As(t)和Acn(t)的維數(shù)均為p×q，p為頻率向量的維數(shù)，q為時(shí)域向量的維數(shù)。

為了驗(yàn)證上述全非平穩(wěn)地震動(dòng)演變譜模型的精確性，采用離散Meyer小波函數(shù)對(duì)Taft(N21E)地震加速度信號(hào)進(jìn)行9層小波包分解，從而獲得地震動(dòng)演變譜，如圖5(a)所示；利用穩(wěn)健補(bǔ)償最小二乘計(jì)算方法[19]對(duì)該演變譜進(jìn)行二維平滑處理，總滑動(dòng)窗寬度為2，獲得的多峰平滑演變譜如圖5(b)所示；生成調(diào)幅系數(shù)α為2.50的隨機(jī)噪聲譜，如圖5(c)所示；最后按式(9)合成地震動(dòng)演變譜，如圖5(d)所示。為了便于觀察，上述圖采用譜絕對(duì)值表示原波頻譜和多峰平滑演變譜等結(jié)果。

從結(jié)果可看出：平滑演變譜與原波演變譜在總體變化規(guī)律上類似，但幅值較小，合成后的演變譜與原波演變譜十分接近，能同時(shí)反映時(shí)頻域的非平穩(wěn)變化特征。分別計(jì)算真實(shí)演變譜和合成演變譜的時(shí)域和頻域的邊緣條件，即分別求演變譜在時(shí)域和頻域的疊加值，結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖可知，全非平穩(wěn)合成地震動(dòng)的頻域合成精度較高，而時(shí)域合成精度略低，主要原因在于目前的二維平滑算法不易實(shí)現(xiàn)時(shí)頻兩域同精度的協(xié)調(diào)平滑，該問(wèn)題可以通過(guò)改進(jìn)算法得到進(jìn)一步解決。

圖5 全非平穩(wěn)地震譜分解與合成

圖6 全非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)域信號(hào)

此外，還可基于小波包分解分別獲得由均勻調(diào)制模型和非均勻調(diào)制模型生成的地震波的演變譜，如圖8所示。結(jié)果表明，非均勻調(diào)制模型地震波演變譜與原波演變譜吻合較好，其頻域上的非平穩(wěn)性也較準(zhǔn)確細(xì)致。均勻調(diào)制模型地震波的時(shí)頻分布與真實(shí)波有較大差異，在地震動(dòng)模擬和結(jié)構(gòu)分析時(shí)需謹(jǐn)慎使用。為了進(jìn)一步比較以上不同地震動(dòng)模型的合成精度，筆者選取了Ⅰ～Ⅳ場(chǎng)地的10條地震波進(jìn)行相關(guān)分析，并以合成偏差率作為精度評(píng)判指標(biāo)。時(shí)域合成偏差率定義為原波與合成波各點(diǎn)幅值平方差的累積和與原波幅值平方和的比值；頻域合成偏差率定義為原波與合成波的功率譜幅值差的累積和與原波功率譜的比值。均勻調(diào)制模型地震動(dòng)在時(shí)域和頻域上的平均合成偏差率分別為0.292和0.304；非均勻調(diào)制地震動(dòng)的平均合成偏差率分別為0.076和0.069；全非平穩(wěn)地震動(dòng)的平均合成偏差率分別為0.231和0.091?？梢?jiàn)，非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型和全非平穩(wěn)地震動(dòng)模型的精度均比傳統(tǒng)的均勻調(diào)制模型高，在地震動(dòng)合成或結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析中采用這兩種模型將有效提升計(jì)算精度。

圖7 全非平穩(wěn)地震動(dòng)功率譜

圖8 均勻與非均勻調(diào)制模型時(shí)頻譜對(duì)比

3 基于全非平穩(wěn)譜模型隨機(jī)振動(dòng)分析

由于筆者提出的非均勻調(diào)制模型和全非平穩(wěn)模型的形式已與均勻調(diào)制模型有明顯差別，因此需要在傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)推廣。

若采用非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f(t)表示為前述多峰平滑時(shí)域信號(hào)和均值為1的白噪聲的點(diǎn)乘形式，則在該改進(jìn)均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f(t)的作用下，初始靜止的線性體系響應(yīng)可表示為

(10)

其中：h為脈沖響應(yīng)函數(shù)；τ為0～t的任一時(shí)刻。

由于多峰平滑包絡(luò)的均值為零，故激勵(lì)和體系響應(yīng)均具有零均值，且其協(xié)方差函數(shù)為

Ky(t1,t2)=E[y(t1)y(t2)]=

Ry(t1,t2)-E[y(t1)]E[y(t2)]=Ry(t1,t2)

(11)

響應(yīng)y(t)的協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)Ry(t)相等，且有

(12)

根據(jù)Wiener-Khinchin定理，對(duì)于寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Acn(t)有

E[Acn(τ1)Acn(τ2)]=Rx(τ1-τ2)=

(13)

其中：Scn為非均勻調(diào)制模型中噪聲Acn(t)的自功率譜密度函數(shù)。

因此，式(11)可表示為

(14)

其中

(15)

令t1=t2=t，則可得到響應(yīng)y(t)的方差為

(16)

其中：σy為響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。

響應(yīng)y(t)的自演變譜密度為

Sy(ω,t)=I*(ω,t)I(ω,t)Scn(ω)=

(17)

對(duì)于多自由度線性結(jié)構(gòu)，在非均勻調(diào)制地震激勵(lì)A(yù)(t)=As(t)Acn(t)的作用下，其隨機(jī)動(dòng)力方程為

(18)

令Y(t)=Φq(t)，其中Φ為結(jié)構(gòu)振型向量，將其帶入上式并在方程兩側(cè)同乘ΦT，則有

-γ*M*As(t)Acn(t)

(19)

其中：M*=ΦTMΦ;C*=ΦTCΦ;K*=ΦTKΦ;γ*=ΦTMI/M*。

考慮到結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣與振型的正交性，上式可表示為n個(gè)單自由度方程

(20)

該系統(tǒng)的響應(yīng)Y(t)的方差為

(21)

若由于結(jié)構(gòu)自由度數(shù)較多或計(jì)算效率偏低，可考慮采用虛擬激勵(lì)法計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)[20-21]?；谔摂M激勵(lì)法構(gòu)造一個(gè)虛擬的外部激勵(lì)，則式(18)變?yōu)?/p>

(22)

仍可采用振型分解法得到該系統(tǒng)的響應(yīng)Y(t)的方差，有

(23)

(24)

上述分析方法是針對(duì)非均勻調(diào)制激勵(lì)的，當(dāng)采用完全非平穩(wěn)地震模型時(shí)，需要按式(9)計(jì)算全非平穩(wěn)地震動(dòng)演變譜模型A(ω,t)，并按下式計(jì)算Ii

(25)

其他計(jì)算公式類同。由于本研究提出的非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型的精度主要取決于多峰平滑信號(hào)的時(shí)頻域特性，加之實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析需要考慮地震動(dòng)傳播條件和場(chǎng)地特征的影響，因此對(duì)于具體結(jié)構(gòu)的隨機(jī)分析應(yīng)選取相應(yīng)場(chǎng)地的典型地震動(dòng)或滿足工程要求的人工生成地震波進(jìn)行計(jì)算，并確保其多峰平滑信號(hào)具有代表性。

4 算例與分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證非平穩(wěn)地震動(dòng)模型及其在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析中的有效性，筆者建立了層數(shù)分別為1～20的20個(gè)二維剪切型鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)并進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析。為便于比較不同結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，各個(gè)結(jié)構(gòu)的層高均為3 m，層重均為5.2×108kg。假定各個(gè)結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼基本周期為0.06n(n為相應(yīng)總層數(shù))，則可算出各層的等效剪切剛度，進(jìn)而建立剛度矩陣。假定各結(jié)構(gòu)阻尼比均為5%，則可構(gòu)建Rayleigh阻尼矩陣，最終按式(16)建立結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。將Taft波作為水平向地震動(dòng)輸入，按照隨機(jī)振動(dòng)方法計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)。為了研究地震動(dòng)合成模型對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，筆者基于均勻調(diào)制模型、非均勻調(diào)制模型和全非平穩(wěn)模型分別對(duì)以上20個(gè)具有不同自振周期結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算分析?；诰鶆蛘{(diào)制模型和非均勻調(diào)制模型的5層結(jié)構(gòu)的1層、3層和5層的位移標(biāo)準(zhǔn)差如圖9所示，其他典型結(jié)構(gòu)頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果依次如圖10所示，5層結(jié)構(gòu)的頂層位移演變譜絕對(duì)值如圖11所示。

圖9 結(jié)構(gòu)典型樓層位移標(biāo)準(zhǔn)差

圖10 典型結(jié)構(gòu)頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差比較

圖11 結(jié)構(gòu)的頂層位移演變譜絕對(duì)值

從以上結(jié)果可以看出，基于非均勻調(diào)制模型和全非平穩(wěn)模型的結(jié)果較接近，且其波動(dòng)規(guī)律與地震動(dòng)幅值的變化規(guī)律相關(guān)，表明其隨機(jī)響應(yīng)能夠較細(xì)致地反映地震動(dòng)時(shí)域非平穩(wěn)性對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。此外，當(dāng)基本周期較小時(shí)基于上述兩種模型的結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間變化劇烈，隨著周期增大其變化趨緩，反映了地震動(dòng)頻域非平穩(wěn)性的影響。與此相反，由于均勻調(diào)制模型反映時(shí)頻域非平穩(wěn)性的能力均明顯不足，相應(yīng)的結(jié)果通常變化平緩且最大值偏小，不能充分反映地震動(dòng)非平穩(wěn)性對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。

為了進(jìn)一步對(duì)比3種方法結(jié)果的差異并探究其原因，提取基于均勻調(diào)制模型和全非平穩(wěn)模型的所有結(jié)構(gòu)頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差最大值，并與基于非均勻調(diào)制模型的結(jié)果相比獲得最大值的比值，根據(jù)結(jié)構(gòu)基本頻率(基本周期倒數(shù))列出上述結(jié)果，如圖12所示。

圖12 結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差最大值比值規(guī)律

可以發(fā)現(xiàn)，均勻調(diào)制模型最大值均小于非均勻調(diào)制模型最大值，且其變化規(guī)律與原地震動(dòng)的功率譜外形相近。這是因?yàn)榫鶆蛘{(diào)制模型地震動(dòng)功率譜的頻率能量分布是均勻的，而非均勻調(diào)制模型地震動(dòng)的頻譜特征能夠充分反映地震動(dòng)頻域非平穩(wěn)性，因而與真實(shí)功率譜吻合，而二者的差異仍然具有真實(shí)功率譜的特征，最終導(dǎo)致按照均勻調(diào)制模型計(jì)算短周期結(jié)構(gòu)(基本周期小于0.3s)時(shí)很可能嚴(yán)重低估結(jié)構(gòu)響應(yīng)。此外，如果地震動(dòng)的長(zhǎng)周期成分較顯著或結(jié)構(gòu)屬于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)，由均勻調(diào)制模型得到隨機(jī)響應(yīng)也可能偏低，不利于結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計(jì)。由全非平穩(wěn)模型得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與非均勻調(diào)制模型結(jié)果較接近，但由于其在時(shí)頻兩域的非平穩(wěn)特征相對(duì)不夠精確，因此建議作為參考方法。

綜上，可認(rèn)為按照傳統(tǒng)均勻調(diào)制模型計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)不能充分獲得結(jié)構(gòu)時(shí)頻域的非平穩(wěn)特性，結(jié)果偏于不安全，基于筆者提出的非均勻調(diào)制模型的結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算方法能夠較好地解決上述問(wèn)題。基于全非平穩(wěn)模型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法在原理上更嚴(yán)格而全面，但由于現(xiàn)有多維平滑技術(shù)的協(xié)調(diào)性和精度略低，因此需要進(jìn)行更深入的研究和改進(jìn)。

5 結(jié) 論

1) 地震動(dòng)在時(shí)域和頻域均具有復(fù)雜的隨機(jī)性和非平穩(wěn)性，傳統(tǒng)的地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程模型通常采用均勻調(diào)制模型，并不能全面細(xì)致地表征地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)性。筆者根據(jù)地震褶積模型理論以及之前的研究成果，提出由多峰平滑信號(hào)和非平穩(wěn)噪聲信號(hào)點(diǎn)乘而成的非均勻調(diào)制地震動(dòng)模型。該模型能夠在時(shí)域上充分反映地震波的波動(dòng)和衰減特性，其頻譜分布也與真實(shí)地震動(dòng)十分接近，因此可以同時(shí)表征時(shí)頻域非平穩(wěn)性。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)演變譜原理和需求提出了以時(shí)間和頻率為變量的全非平穩(wěn)地震動(dòng)建模方法。分析結(jié)果表明，筆者提出的兩種模型在時(shí)域和頻域的合成精度上均優(yōu)于均勻調(diào)制模型。

2) 針對(duì)非均勻調(diào)制模型和全非平穩(wěn)模型的形式和特點(diǎn)，在傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析理論的基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)求解方法進(jìn)行了改進(jìn)。通過(guò)算例證明了按照均勻調(diào)制模型計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)不能充分獲得結(jié)構(gòu)時(shí)頻域的非平穩(wěn)特性，且結(jié)果偏于不安全，而利用筆者提出的兩種模型可以獲得更精確的結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率特征和更細(xì)致的非平穩(wěn)性演變過(guò)程。本研究主要針對(duì)具體地震動(dòng)特性開(kāi)展，在今后研究中可根據(jù)不同場(chǎng)地條件和工程需求獲取具有典型非平穩(wěn)特征和概率統(tǒng)計(jì)特征的地震波形，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)特征的分析和預(yù)測(cè)。