江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) (226300) 瞿春波江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 (226300) 瞿國(guó)華

利用基本不等式(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“公式”)求函數(shù)最值時(shí)，變形是基礎(chǔ)，恰到好處的變形是關(guān)鍵.本文就如何構(gòu)造“公式”模型，談?wù)劰P者的一些想法，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1.轉(zhuǎn)化符號(hào)

若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)[1]，再利用“公式”求最值．

2.配湊定值

將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.

3.驗(yàn)證等號(hào)

使用“公式”時(shí)，必須檢驗(yàn)等號(hào)能否成立，否則無(wú)法求得最值；若是多次使用“公式”時(shí)，則要注意多個(gè)取等條件是否同時(shí)成立．

4.常量代換

若已知條件中的“1”(常量可化為“1”)與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系(尤其是整式與分式相乘模型)，則實(shí)施“1”代換，配湊和或積為常數(shù).

例4 (2019南京高三期末)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab=a+2b,abc=a+2b+c，則c的最大值為．

5.代入消元

對(duì)已知條件作適當(dāng)變形，將某個(gè)變量用其余的變量線(xiàn)性表示，代入目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造和或積為定值，從而求得最值.

6.整體換元

通過(guò)設(shè)置主動(dòng)臨時(shí)橫撐可以有效減小由于采用塔梁異步施工工藝引起的塔柱根部拉應(yīng)力，確保塔柱施工質(zhì)量，從而實(shí)現(xiàn)安全、質(zhì)量、進(jìn)度兼顧。該工藝在九江長(zhǎng)江公路大橋的成功實(shí)施，拓展了索塔橫梁的施工方法，具有較高的推廣價(jià)值。

若已知(或待求)因式之間具有某種關(guān)系，則引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，替換掉原先某些因式，構(gòu)造和或積為常數(shù).常見(jiàn)的換元方法有比(倍)值換元、差值(增量)換元[2]、單換元、雙換元等.

7.轉(zhuǎn)化為不等式

若已知“和與積”的等式關(guān)系，求“和與積”的最值，則利用“公式”轉(zhuǎn)化為解不等式.

8.乘方

若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值[1]．

9.拆(添)項(xiàng)

將已知條件中某些項(xiàng)拆(添)成多項(xiàng)之和或多個(gè)因式之積，使得它們的和或積為常數(shù)[1]．

10.引入?yún)?shù)[1]

若對(duì)系數(shù)配湊難以下手時(shí)，則引入?yún)?shù)，利用待定系數(shù)法建立系數(shù)之間的比列關(guān)系或微調(diào)至“各數(shù)”相等.

11.齊次化

將目標(biāo)式變形為齊次分式(分子分母各項(xiàng)次數(shù)相同)，通過(guò)換元或分離等手段得到和或積為定值.

12.確定主次元

若多元問(wèn)題中變量較多時(shí)，則優(yōu)先確定主次元，然后消去次元，從而轉(zhuǎn)化為主元條件下利用“公式”求解目標(biāo)函數(shù)最值.

總之，當(dāng)遇到無(wú)法直接使用“公式”求最值時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)造、變形，轉(zhuǎn)化為“公式”模型.解題時(shí)，不應(yīng)局限于某一種“變換”，應(yīng)多種技法交互，多樣思維融合，這就需要我們因題而異，靈活變通，深挖題目的隱含條件、細(xì)心觀察目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征[2]，從而找到最優(yōu)解法.