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        安振平老師的博客中兩個不等式證明

        2019-12-31 01:59:12陜西省綏德縣綏德中學718000
        中學數(shù)學研究(江西) 2019年11期
        關(guān)鍵詞:綏德縣綏德證法

        陜西省綏德縣綏德中學 (718000) 王 煒

        問題4737 已知x、y、z≥0,xy+yz+zx=1,求證:2(x2+y2+z2)+5xyz+6≥5(x+y+z).

        證法一:設(shè)s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明:2(s2-2)+5p+6≥5s等價于5p≥-2s2+5s-2(1).

        綜上所述,原不等式成立.

        綜上所述,原不等式成立.

        證法三:記s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明:2(s2-2)+5p+6≥5s?5p≥-2s2+5s-2?5p+(s-2)(2s-1)≥0(2).

        當s≥2時,(2)成立.

        問題4738 已知x、y、z≥0,xy+yz+zx+xyz=1,求證:2(x2+y2+z2)+2xyz+6≥5(x+y+z).

        綜上所述,原不等式成立.

        綜上所述,原不等式成立.

        證法三:設(shè)s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2(1-xyz),只需證明

        2[s2-2(1-xyz)]+2xyz+6≥5s?6xyz≥-2s2+5s-2?6xyz+(s-2)(2s-1)≥0(2).

        當s≥2時,(2)成立.

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