李群霞

（北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟管理學(xué)院，北京 100083）

1 引言

在傳統(tǒng)庫存管理環(huán)節(jié)下，供應(yīng)鏈中的每個成員都有自己的庫存管理策略。由于各自的庫存管理策略相互封閉，因此不可避免地造成客戶的需求與生產(chǎn)商的生產(chǎn)不匹配、不協(xié)調(diào)現(xiàn)象。供應(yīng)鏈庫存管理可以打破原有各自為政的庫存管理模式，體現(xiàn)了供應(yīng)鏈的集成化管理模式，適應(yīng)市場變化的要求。

Liao、Tsai 和Su[1]在批量訂貨庫存管理模型中允許延遲付款。Aggarwal 和Jaggi[2]假設(shè)產(chǎn)品存在變質(zhì)現(xiàn)象，變質(zhì)率服從指數(shù)分布。Goyal[3]是第一個在批量訂貨庫存管理模型中引入商業(yè)信用機制的人。Huang和Hsu[4]在供應(yīng)鏈庫存管理模型中采用兩層商業(yè)信用機制，除生產(chǎn)商提供給零售商商業(yè)信用外，零售商也可以提供部分商業(yè)信用給客戶。Rau、Wu 和Wee[5]假設(shè)不存在缺貨，只研究缺陷品對供應(yīng)鏈庫存的影響。Viswanathan和Piplani[6]研究共同補貨機制，供應(yīng)商提供一個共同補貨的時間，要求所有客戶只能在這段時間內(nèi)補貨。為了讓客戶更容易接受，供應(yīng)商在這段時間內(nèi)提供了價格折扣機制。Sucky[7]為了引起客戶的積極性，實現(xiàn)庫存聯(lián)合決策協(xié)調(diào)，提供給客戶多種議價機制。Sana[8]在三級供應(yīng)鏈庫存管理模型中考慮了缺陷品對上級供應(yīng)商和中級生產(chǎn)商的影響。Wu 和Ho[9]允許存在缺貨，將訂貨點作為決策變量，同時優(yōu)化訂貨量、訂貨點、提前期和訂貨次數(shù)。李群霞[10]研究缺貨和缺陷品對庫存成本的影響，并采用模糊優(yōu)化方法進行優(yōu)化求解。Zhou和Wang[11]分析了缺貨和缺陷品對庫存成本的影響。李群霞等[12]假設(shè)供應(yīng)鏈含有一個生產(chǎn)商和多個客戶，建立了供應(yīng)鏈聯(lián)合庫存優(yōu)化決策模型。

本文在文獻[12]基礎(chǔ)上對其作進一步研究，假設(shè)供應(yīng)鏈中的多個客戶都存在缺貨情況，根據(jù)生產(chǎn)商的生產(chǎn)庫存水平變化特點和所有客戶的訂貨庫存水平變化特點，分別建立了生產(chǎn)庫存模型和缺貨訂貨庫存模型，由此確定了供應(yīng)鏈缺貨庫存模型，在此基礎(chǔ)上，研究聯(lián)合優(yōu)化決策方法以及在聯(lián)合優(yōu)化決策下的客戶缺貨行為對供應(yīng)鏈中各個成員的庫存成本和庫存決策參數(shù)的影響。

2 供應(yīng)鏈庫存描述

文中所涉及的變量及含義見表1，變量中下標(biāo)“m”表示生產(chǎn)商，下標(biāo)“b”表示客戶，下標(biāo)“bi”表示第i個客戶。

表1 變量及其含義

圖1只給出了三個客戶和一個生產(chǎn)商的兩級供應(yīng)鏈庫存系統(tǒng)的例子?？蛻?、客戶2 和客戶3 的起始庫存水平分別是Qb1-Sb1、Qb2-Sb2和Qb3-Sb3，他們的產(chǎn)品需求率分別為db1、db2和db3，當(dāng)庫存消耗完，所有客戶開始缺貨，在各自的訂貨周期末達到最大缺貨量，分別為Sb1、Sb2和Sb3。假設(shè)每個客戶都能夠瞬時補貨，則庫存在訂貨周期結(jié)束或者在訂貨周期起始得到及時補充。對于生產(chǎn)商，以生產(chǎn)率Pm進行生產(chǎn)產(chǎn)品，因此庫存水平在不斷地變化中，通過客戶的訂貨及時地削減庫存水平。當(dāng)時間到達Tm2時，生產(chǎn)商已生產(chǎn)能滿足所有客戶在Tm1周期內(nèi)所需的產(chǎn)品，因此停止生產(chǎn)產(chǎn)品。當(dāng)時間到達Tm1時，生產(chǎn)商的庫存水平正好降為0。

這里存在如下假設(shè)：

（1）每個客戶的庫存在每個訂貨周期結(jié)束或每個訂貨周期起始能夠瞬時補貨，補貨量或訂貨量Qbi ＞Sbi；

（2）每個客戶都存在缺貨現(xiàn)象；

（3）每個客戶的產(chǎn)品需求率是線性的；

（4）每個客戶的單位缺貨成本要大于單位持有成本；

（5）生產(chǎn)商不存在缺貨現(xiàn)象；

（6）生產(chǎn)商的產(chǎn)品生產(chǎn)率大于所有客戶的總需求率，因此生產(chǎn)商的產(chǎn)品生產(chǎn)時間Tm2小于生產(chǎn)時間間隔Tm1；

（7）生產(chǎn)商的生產(chǎn)量正好滿足所有客戶的訂貨量，這說明生產(chǎn)商需要生產(chǎn)等同數(shù)量的產(chǎn)品。

（8）生產(chǎn)商一次生產(chǎn)正好滿足所有客戶訂貨量的產(chǎn)品，生產(chǎn)完后停止生產(chǎn)。

圖1 供應(yīng)鏈中各個成員的庫存水平變化情況

3 供應(yīng)鏈缺貨庫存模型

3.1 缺貨訂貨庫存模型

客戶的平均庫存成本包括客戶的平均訂貨成本、平均持有成本和平均缺貨成本。

（1）平均訂貨成本：客戶的每次訂貨費用為Abi，每次訂貨可滿足客戶Tbi時間內(nèi)的需求，因此平均訂貨成本，則平均訂貨成本可改為

（2）平均持有成本：客戶需求率dbi為常數(shù)，平均持有庫存水平，則持有成本=，平均持有成本=

（3）平均缺貨成本：客戶需求率dbi為常數(shù)，平均缺貨庫存水平則缺貨成本平均缺貨成本

綜上所述，客戶的平均庫存成本為：

3.2 生產(chǎn)庫存模型

生產(chǎn)商的平均庫存成本包括平均生產(chǎn)準(zhǔn)備成本和平均庫存持有成本。

（1）平均生產(chǎn)準(zhǔn)備成本：生產(chǎn)商每次生產(chǎn)準(zhǔn)備成本為Am，生產(chǎn)時間間隔為Tm1，因此平均生產(chǎn)準(zhǔn)備成本

（2）平均庫存持有成本：如圖1所示，Tm1時間內(nèi)，所有客戶的總需求率為，另外需求是線性的，因此總需求量為了滿足所有客戶的產(chǎn)品需求，生產(chǎn)商需要生產(chǎn)個產(chǎn)品。因為生產(chǎn)商的生產(chǎn)率要大于總需求率，即Pm＞Db＞0，因此生產(chǎn)商在Tm2＜Tm1時間內(nèi)就完成生產(chǎn)指標(biāo)。因此生產(chǎn)商的平均庫存持有成本為：

綜上所述，供應(yīng)商的總平均庫存成本為

3.3 供應(yīng)鏈缺貨庫存模型

結(jié)合式（1）的客戶缺貨訂貨成本模型和式（2）的生產(chǎn)商生產(chǎn)成本模型，供應(yīng)鏈環(huán)境下的庫存模型，即供應(yīng)鏈的總庫存成本為：

對上式中Sbi分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，有：

將其代入式（3），可得C：

對上式中Tm1分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，有：

由式（7）的二階導(dǎo)大于0可知，式（6）存在最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔，保證式（6）存在最小的庫存成本值。令式（7）的一階導(dǎo)等于0，可得最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔

將其代入式（6），可得C：

繼續(xù)對式（9）中訂貨次數(shù)mbi求一階導(dǎo)，并令其為0，即：

整理后可得：

將式（11）代入式（10），并整理可得：

因k＞1，則，因此λ＞0假設(shè)成立。從式（12）可知，λ其實與mbi是無關(guān)的。對式（9）中訂貨次數(shù)mbi求二階導(dǎo)：

結(jié)合一階導(dǎo)推導(dǎo)出的式（11）和式（12），可獲得最優(yōu)訂貨次數(shù)

將式（14）-式（17）代入式（1）-式（3）可得客戶的最小庫存成本、生產(chǎn)商的最小庫存成本和供應(yīng)鏈的最小庫存成本分別為：

4 算例分析

假設(shè)供應(yīng)鏈由一個供應(yīng)商和三個客戶組成，其參數(shù)如下：

（1）客戶（一次訂貨）：Ab1=150 元/次，Ab2=200元/次，Ab3=180元/次；db1=15 000 件/年，db2=10 000件/年，db3=8 000 件/年；hb1=15 元/件/年，hb2=20 元/件/年，hb3=25 元/件/年；sb1=30 元/件/年，sb2=25 元/件/年，sb3=35 元/件/年。

（2）生產(chǎn)商（一次生產(chǎn)）：Am=30 000 元/次；Pm=60 000件/年；hm=8元/件/年。

將這些參數(shù)代入式（14）-式（18），可得供應(yīng)鏈環(huán)境下各個成員的最優(yōu)庫存參數(shù)和最小庫存成本。

（1）客戶1的最優(yōu)訂貨次數(shù)、最優(yōu)訂貨時間、最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)缺貨量和最小庫存成本為：

（2）客戶2的最優(yōu)訂貨次數(shù)、最優(yōu)訂貨時間、最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)缺貨量和最小庫存成本為：

（3）客戶3的最優(yōu)訂貨次數(shù)、最優(yōu)訂貨時間、最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)缺貨量和最小庫存成本為：

（4）生產(chǎn)商的最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔、最優(yōu)生產(chǎn)時間、最優(yōu)生產(chǎn)量和最小庫存成本為：

（5）供應(yīng)鏈的最小庫存成本為：C*=1.278 6e+06。

5 敏感性分析

5.1 缺貨量Sbi*對訂貨量Qbi*的影響

缺貨量Sbi*對訂貨量Qbi*的影響如圖2所示，對所有客戶的曲線變化趨勢都是一樣的，Sbi*與Qbi*成反比關(guān)系。缺貨量對客戶3的訂貨量影響更加明顯，因為隨著缺貨量增大，訂貨量下降得非常明顯。

5.2 缺貨量Sbi*對生產(chǎn)時間間隔Tm1*的影響

圖2 缺貨量Sbi*對訂貨量Qbi*的影響

缺貨量Sbi*對生產(chǎn)時間間隔Tm1*的影響如圖3所示，對所有客戶的影響都一樣，Sbi*與Tm1*沒有直接的聯(lián)系，這個也可以從式（15）得出，Tm1*只與生產(chǎn)商的準(zhǔn)備成本Am、生產(chǎn)商的單位持有成本hm、生產(chǎn)商的生產(chǎn)率Pm和客戶的總需求率Db有關(guān)，與客戶的單位持有成本和單位缺貨成本無關(guān)，因此對于所有客戶，趨勢都是一樣的，都為水平直線的關(guān)系。

5.3 缺貨量Sbi*對訂貨次數(shù)mbi*的影響

缺貨量Sbi*對訂貨次數(shù)mbi*的影響如圖4所示，對所有客戶，Sbi*與mbi*成正比關(guān)系。根據(jù)曲線的斜率信息，可以確定缺貨量對客戶3的訂貨次數(shù)影響更大，對客戶2的訂貨次數(shù)影響最小。

5.4 缺貨量Sbi*對客戶庫存成本Cbi*的影響

缺貨量Sbi*對客戶庫存成本Cbi*的影響如圖5所示，Sbi*與Cbi*成正比關(guān)系。由曲線的斜率信息可知，對客戶3的影響最大，對客戶2的影響最小。

5.5 缺貨量Sbi*對生產(chǎn)商庫存成本Cm*的影響

缺貨量Sbi*對生產(chǎn)商庫存成本Cm*的影響如圖6所示，Sbi*與Cm*成反比關(guān)系。Sbi*對客戶3的庫存成本造成的影響最大，對客戶1 的影響次之，對客戶2的影響最小。

5.6 缺貨量Sbi*對供應(yīng)鏈的總庫存成本C*的影響

缺貨量Sbi*對供應(yīng)鏈的總庫存成本C*的影響如圖7所示，Sbi*與C*還是呈反比關(guān)系。缺貨量對客戶3的影響最大，對客戶1的影響次之，對客戶2的影響最小。供應(yīng)鏈庫存成本包括客戶的庫存成本和生產(chǎn)商庫存成本，盡管缺貨量與客戶庫存成本的變化關(guān)系成正比關(guān)系，但是由于生產(chǎn)商的庫存成本遠遠大于客戶的庫存成本，因此生產(chǎn)商的庫存成本決定了缺貨量與供應(yīng)鏈庫存成本之間的關(guān)系。由圖6可知，缺貨量與生產(chǎn)商的庫存成本成反比關(guān)系，因此缺貨量與供應(yīng)鏈庫存成本的變化也成反比關(guān)系。

6 結(jié)語

圖3 缺貨量Sbi*對生產(chǎn)時間間隔Tm1*的影響

圖4 缺貨量Sbi*對訂貨次數(shù)mbi*的影響

本文對一個生產(chǎn)商和多個客戶構(gòu)成的兩級供應(yīng)鏈庫存系統(tǒng)進行了研究，假設(shè)所有客戶都存在缺貨現(xiàn)象，構(gòu)建了以缺貨量、訂貨次數(shù)和生產(chǎn)時間間隔為自變量、以平均庫存成本為目標(biāo)函數(shù)的供應(yīng)鏈缺貨庫存管理模型。聯(lián)合優(yōu)化決策方法，在保證獲得最小供應(yīng)鏈庫存成本基礎(chǔ)上，可得到最優(yōu)缺貨量、最優(yōu)訂貨次數(shù)和最優(yōu)生產(chǎn)時間間隔。敏感性分析表明缺貨量對訂貨次數(shù)和客戶庫存成本成正比關(guān)系，但是因為對生產(chǎn)商的庫存成本成反比的關(guān)系，導(dǎo)致整體上對供應(yīng)鏈的庫存成本也成反比關(guān)系。

圖5 缺貨量Sbi*對客戶庫存成本Cbi*的影響

圖6 缺貨量Sbi*對生產(chǎn)商庫存成本Cm*的影響

圖7 缺貨量Sbi*對供應(yīng)鏈庫存成本C*的影響